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1. Evaluación de Proyectos
USO HERRAMIENTAS EXCEL PARA LA PREDICCION
Nassir Sapag Chain
MÉTODO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
El método de Regresión Lineal (o Mínimos cuadrados) busca determinar una recta, o más bien la
ecuación de una recta, que mejor represente la tendencia de observaciones históricas de una variable
y permita predecir o proyectar el comportamiento de dicha variable en el futuro.
Ejemplo
Una empresa requiere proyectar la demanda potencial de juegos de entretenimientos electrónicos
para niños antes de decidir respecto de la conveniencia de emprender una ampliación de sus
instalaciones en otro sector de la ciudad. La información disponible en la cadena de negocios de la
empresa (12 locales en total), muestra los promedios históricos anuales de venta por local:
Fig.1-1. Datos históricos de la cadena de negocios
Excel proporciona varias alternativas para realizar una regresión lineal las que se distinguen
básicamente por el mayor o menor grado de complejidad en la operación, o por el mayor o menor
nivel de detalle en los resultados entregados.
Método 1: Comando Análisis de datos del menú Herramientas
Este comando es un “Add-In” o complemento de Excel (macro-comando que se integra a su
plataforma de trabajo), por lo que es posible que en un principio no se encuentre activa y visible en el
menú Herramientas.
Para activarla puede hacer lo siguiente:
1. En el menú Herramientas, elija Complementos.
2. En el cuadro de diálogo de Complementos, active la opción Herramientas para análisis y elija
Aceptar.
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Fig. 1-2. Cuadro de diálogo Complementos
Una vez ingresados los datos en una hoja de cálculo, tal como se muestra en la Fig.1-2 , puede iniciar
el proceso de datos como sigue:
1. En el menú Herramientas, elija Análisis de datos.
2. En el cuadro de diálogo Análisis de datos, seleccione la opción Regresión y elija Aceptar.
3.
Fig.1-3. Cuadro de diálogo Análisis de datos
4. En el cuadro de diálogo Regresión, use el casillero Rango Y de entrada para especificar la posición
de los datos de la variable dependiente (Ventas).
5. Use el casillero de Rango X de entrada para especificar la posición de los datos de la variable
independiente (Pob. infantil).
6. Si incluye los títulos de columna, no olvide activar la casilla de verificación Rótulos. Esto le permitirá
identificar de mejor manera las variables en la salida de regresión.
7. Utilice las Opciones de salida para especificar el lugar donde quiere ubicar los resultados. Si elige
la opción En una hoja nueva, asígnele un nombre.
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Fig.1-4. Especificación de las opciones de regresión
8. Finalmente, elija Aceptar. Excel insertará una nueva hoja de cálculo con los resultados de la regresión.
Fig.1-5. Resultados de la regresión
De acuerdo a los resultados de la regresión la ecuación de la recta que mejor representa el
comportamiento de las ventas (y), en función de la población infantil (x) es:
y = 1.113,20 + 212,03*x
De este modo, si la población infantil asociada al sector donde se quiere instalar el nuevo local fuera
45 (45.000 personas) entonces el modelo predeciría ventas de 10.645,45.
Fig. 1-6. Utilización de los resultados de la regresión
Otro dato importante en los resultados de la regresión es el llamado Coeficiente de determinación
(R2
), el que puede ser interpretado como un índice de la “bondad” del ajuste del modelo a la
realidad. El valor de 0,8715 de este coeficiente nos indica que la variación en las ventas es explicada
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en un 87,15% por las variaciones en la población infantil.
Método 2: Funciones TENDENCIA y COEFICIENTE.R2
Otra alternativa útil, cuando se desea determinar rápidamente cuál es el pronóstico de un modelo de
regresión, basándose en datos históricos de las variables dependientes e independientes, es la
utilización de la función TENDENCIA.
Esta función ajusta una recta (calculada con el método de mínimos cuadrados) a los valores de la
variable dependiente y devuelve el pronóstico para un nuevo valor de la variable independiente (x)
especificado.
Por otra parte la función COEFICIENTE.R2 devuelve el valor R cuadrado para una línea de
regresión lineal creada con los datos de las variables x e y conocidas. Esta función le permitirá
conocer que tan bien se ajusta el modelo y puede constituir un complemento a los resultados
entregados por la función TENDENCIA.
Para usar estas funciones asegúrese de tener los datos históricos disponibles en una hoja de cálculo
e ingrese en alguna otra celda el nuevo valor de la variable independiente (x) para la cual se desea
hacer el pronóstico (Fig.1-7).
Fig.1-7. Modelo de planilla para realizar un pronóstico usando TENDENCIA y COEFICIENTE.R2
Para el cálculo de la venta estimada, proceda como sigue:
1. Seleccione la celda donde desea realizar la estimación (G3 en el ejemplo de la Fig.1-7).
2. Haga clic sobre el botón Pegar función en la barra de herramientas Estándar.
3. En el cuadro de diálogo Pegar función, desde la categoría de funciones Estadísticas seleccione la función
TENDENCIA y elija Aceptar.
4.
Fig.1-8. Cuadro de diálogo Pegar función
5. En el cuadro de la función TENDENCIA, utilice el recuadro Conocido_y para establecer la
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ubicación de los valores de la variable dependiente (y). Fig.1-9.
6. Utilice el recuadro Conocido_x para establecer la ubicación de los valores de la variable
independiente (x). Fig.1-9.
7. En el recuadro Nueva_matriz_x, indique la posición de la celda donde anotó el nuevo valor de la
población infantil (x), para la cual se desea hacer la estimación y elija Aceptar.
Fig.1-9. Utilización de la función TENDENCIA
8. Para calcular el valor de R cuadrado seleccione la celda G4 (como en el ejemplo de la Fig.1-8) haga
clic en el botón Pegar función de la barra de herramientas Estándar.
9. En el cuadro de diálogo Pegar función, desde la categoría de funciones Estadísticas, seleccione la
función COEFICIENTE.R2 y elija Aceptar.
10.En el cuadro de la función COEFICIENTE.R2, utilice el recuadro Conocido_y para establecer la
ubicación de los valores de la variable dependiente (y). Fig.1-10.
11.Utilice el recuadro Conocido_x para establecer la ubicación de los valores de la variable
independiente (x). Finalmente elija Aceptar. Fig.1-10.
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6. Evaluación de Proyectos
Fig.1-10. Utilización de la función COEFICIENTE.R2
Los valores obtenidos para la venta estimada y el Coeficiente R cuadrado deberían coincidir con los
obtenidos a través del método anterior. Esto se debe a que en ambos caso se utilizó el método de los
mínimos cuadrados y las diferencias están sólo en la forma.
Método 3: Ajuste de líneas de tendencia a un gráfico de dispersión
Este método aprovecha las posibilidades que proporciona Excel de ajustar una línea de tendencia
para una serie de datos en un gráfico de dispersión (XY) y visualizar la función y R cuadrado
asociados a esta línea de tendencia.
El hecho es que Excel debe utilizar el método de los mínimos cuadrados para ajustar esta línea de
tendencia, por lo que los resultados no deberían ser diferentes de los obtenidos con los métodos
descritos previamente.
Para utilizar este método, siga estos pasos:
1. Asegúrese de tener visible la barra de herramientas “Gráfico”.
Fig.1-11. Barra de herramientas Gráfico
Seleccione las series de datos x (Pob. Infantil) e y (Ventas). Si las series de datos se encuentran en columnas no
adyacentes, seleccione la primera serie normalmente y luego seleccione la segunda serie mientras mantiene presionada
la tecla CTRL (Control). Fig.1-12.
2. Desde la barra de herramientas, elija la paleta Tipo de gráfico y seleccione el tipo Gráfico de
dispersión. Fig.1-12.
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Fig.1-12. Construcción de un gráfico de dispersión
3. Un nuevo objeto flotante se mostrará sobre la hoja de cálculo, conteniendo el gráfico deseado. Dé
un clic, con el botón derecho del mouse, sobre uno de los puntos de la serie en el gráfico y elija la
opción Agregar línea de tendencia... Fig.1-13.
Fig.1-13. Agregar una línea de tendencia a un gráfico de dispersión
4. En la ficha Tipo del cuadro de diálogo Agregar línea de tendencia, seleccione el tipo Lineal.Fig.1-
14.
Fig.1-14. Cuadro de diálogo Agregar línea de tendencia, ficha Tipo
5. En la ficha Opciones del cuadro de diálogo Agregar línea de tendencia, asigne un nombre a la
línea de tendencia y active las casillas Presentar ecuación en el gráfico y Presentar el valor R
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8. Evaluación de Proyectos
cuadrado en el gráfico.Fig.1-15.
Fig.1-15. Cuadro de diálogo Agregar línea de tendencia, ficha Opciones
6. Elija Aceptar. El gráfico se mostrará con la correspondiente línea de tendencia y los datos
requeridos para que usted pueda hacer sus estimaciones. Notará que los valores obtenidos
nuevamente no difieren de los métodos anteriores.
Tendencia lineal
y = 212,03x + 1113,2
R2
= 0,8715
-
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
- 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Ventas
(y)
Tendencia lineal
Fig.1-16. Gráfico de dispersión con tendencia lineal
El criterio inicial para escoger el tipo de línea de tendencia es la forma que adoptan los puntos de la
serie de datos. Por ejemplo, si usted aprecia que la serie de datos muestra un crecimiento a tasas
constantes, es probable que una tendencia lineal se ajuste mejor, en cambio si el crecimiento
mostrado es a tasas crecientes o decrecientes, es probable que logre mejores ajustes con una línea
de tendencia exponencial o logarítmica, respectivamente.
Finalmente, el mejor indicador del grado de ajuste de la línea de tendencia es su R cuadrado.
Cuanto más cercano a 1 (uno) sea este valor, mejor es el ajuste.
De acuerdo a lo anterior, usted puede probar con distintas líneas de tendencias y quedarse con
aquella que muestre un mayor R cuadrado. La siguiente sección describe de mejor manera la
situación.
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9. Evaluación de Proyectos
AJUSTE DE UNA CURVA O FUNCIÓN POLINÓMICA
Una curva o función polinómica es de la forma:
y = a0 + a1x + a2x2
+...+ anxn
Donde n es el grado u orden de la función y a0, a1,..., an simbolizan los coeficientes de la función que
se pretende determinar.
Para llevar a cabo esta estimación, puede utilizar alguno de los métodos descritos previamente o
emplear el complemento Solver disponible en Excel, como se muestra más adelante.
Método 1: Por ajuste de líneas de tendencia a un gráfico de dispersión
El método para ajustar una tendencia lineal empleado en la sección anterior puede ser utilizado de
igual modo para encontrar una función polinómica. La única diferencia consistirá en escoger el tipo
Polinomial en la ficha Tipo del cuadro de diálogo Agregar línea de tendencia que se muestra en la
figura 1-14.
De este modo, para el ejemplo dado, obtendrá un gráfico como el siguiente:
Tendencia polinomial y = 3,22x2
+ 17,43x + 3538,4
R2
= 0,9
-
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
- 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00
Ventas
(y)
Tendencia polinomial
Fig.1-17. Gráfico de dispersión con una curva de tendencia polinomial
Notará que el valor de R cuadrado 0,9 es superior al de 0,87 que se obtuvo ajustando una tendencia
lineal a la serie de datos históricos.
Los valores de los coeficientes a0=3538,4 ; a1=17,43 ; a2=3,22 para una población infantil de 45.000
hab. (45)., permiten predecir que las ventas serán:
Ventas(y) = 3,22*(45)2
+ 17,43*(45) + 3538,4 = 10843,25
Método 2: Comando Análisis de datos del menú Herramientas
Equivalentemente, es posible usar el comando Análisis de datos-Regresión, descrito previamente
para encontrar los valores de los coeficientes de la función polinómica. Para ello bastará con calcular
una nueva columna elevando los valores de la variable independiente al cuadrado (x2
) y utilizarla
como una segunda variable independiente
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10. Evaluación de Proyectos
Fig.1-18. Análisis de Regresión para una función polinómica
De este modo, el resumen de resultados de la regresión mostrará ahora el valor de tres coeficientes
(el término libre o intercepto y los coeficientes asociados a la variable independiente y la variable
independiente al cuadrado).
Fig.1-19. Resultados de regresión para estimar una función polinómica
Método3: Uso de Solver para estimar una función polinómica
Solver es otro complemento que se adhiere y funciona como un comando o herramienta más en el
ambiente de trabajo de Excel. Por tanto, deberá verificar si este comando (Solver) aparece disponible
en el menú Herramientas, de no ser así, deberá activarlo desde las opciones disponibles en el
comando Complementos del mismo menú.
El propósito básico de Solver es encontrar una solución -es decir, valores para un conjunto de
Variables de decisión o celdas variables de un modelo- que satisfaga restricciones y que maximice,
minimice o alcance un valor, para una Función objetivo o Celda objetivo.
Para dar solución al ejemplo dado usando esta herramienta, deberá “configurar” una planilla de
cálculo que le permita manejar el problema como un “modelo de Solver”.
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Fig.1-20. Modelo de planilla para estimar una función polinómica usando Solver
Las celdas B2, B3 y B4 solo contienen valores cero (0). La fórmula empleada para el cálculo de la
columna Pronóstico no es más que la construcción de la función polinómica a0+a1x+a2x2
usando la
población infantil como valores de x, y cuyos coeficientes corresponden a los valores de las celdas
B2, B3 y B4. La columna Error se calcula empleando la función ABS, de modo de obtener el valor
absoluto de la diferencia entre valor real de las ventas registradas y el pronóstico. La última columna
sólo registra el cuadrado de los errores calculados en la columna adyacente.
Una vez construido este modelo proceda como sigue:
1. En el menú Herramientas, elija Solver. El cuadro de diálogo Parámetros de Solver se mostrará.
Fig.1-21. Cuadro de diálogo Parámetros de Solver
2. Use el casillero Celda objetivo para establecer la suma de los errores al cuadrado, como la función
que se pretende optimizar (celda F19).
3. En la sección Valor de la celda objetivo, elija la opción Mínimo, de modo de minimizar la suma de
los cuadrados de los errores
4. Utilice el casillero Cambiando las celdas para establecer la ubicación de coeficientes de la función
que se pretende encontrar (rango B2:B4).
En este caso no se incorporaran restricciones. Dado que la función objetivo es una función
cuadrática y además a2>0, es dable suponer que esta acotada inferiormente y debe existir un mínimo
que es único.
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12. Evaluación de Proyectos
5. Elija el botón Resolver. Solver iniciará el proceso de búsqueda de una solución y mostrará el cuadro
de diálogo Resultados de Solver al finalizar.
Fig.1-22. Cuadro de diálogo Resultados de Solver
6. En el cuadro de diálogo Resultados de Solver, puede elegir Utilizar solución de Solver,
seleccionar los Informes adicionales de resultados que desee examinar y finalmente el botón
Aceptar. Solver empleará las celdas designadas como Cambiando las celdas (B2:B4) para
mostrar los resultados.
7.
Fig.1-22. Utilización de los resultados de Solver
MODELOS DE SERIES DE TIEMPO Y PROMEDIOS MÓVILES
Un modelo de serie de tiempo asume que el comportamiento de una variable dependiente es
explicado por el paso del tiempo y extrapola el comportamiento histórico de la variable para
pronosticar su comportamiento futuro.
En esta categoría se encuentra el Promedio Móvil Ponderado. Este método consiste en promediar
las n últimas observaciones de la variable dependiente, pero dando un mayor peso relativo a las
observaciones más recientes. La dificultad de este método radica en la elección de los
coeficientes de ponderación a utilizar, a fin de minimizar el error medio absoluto y de este modo,
optimizar la calidad de la predicción.
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13. Evaluación de Proyectos
Ejemplo
La Fig.1-23 muestra datos sobre ventas mensuales del año anterior en una empresa que aplica un
promedio móvil ponderado 4 meses para pronosticar su nivel de ventas. La misma figura muestra
la estructura y las fórmulas del modelo de planilla a utilizar para estimar los coeficientes de
ponderación, utilizando Solver.
Fig.1-23. Modelo de planilla para estimar coeficientes de ponderación
Para una mejor interpretación del modelo, a continuación se describen e identifican los elementos
que lo conforman (para mayor información véase el apéndice “Elementos de un modelo de Solver”,
al final de esta sección).
I. El rango de celdas B1:B4 representa los coeficientes de ponderación que se desea estimar y
constituyen las variables de decisión o Celdas variables del modelo de Solver.
II. La celda D22 representa el error medio absoluto que se quiere minimizar y constituye la función
objetivo o Celda objetivo del modelo de Solver
III. Las Restricciones del modelo las identificamos como sigue:
• Cada uno de los valores del rango B1:B4 (coeficientes) debe ser mayor o igual que cero y menor o
igual que 1. En términos de Solver esto queda como B1:B4>=0 y B1:B4<=1.
• Cada valor de las celdas del rango B1:B4 (coeficientes) debe ser mayor o igual que el anterior, de
modo de dar más peso relativo a las últimas observaciones (a3≥a2≥a1≥a0). En el modelo de Solver
esto queda como B4>=B3, B3>=B2 y B2>=B1.
• El valor de la celda B5, equivalente a la suma de los coeficientes de ponderación, debe ser igual 1.
En el modelo esto queda como B5=1.
Para iniciar la estimación de los coeficientes, proceda como sigue:
1. En el menú Herramientas, elija Solver. El cuadro de diálogo Parámetros de Solver se mostrará.
2. En el cuadro de diálogo Parámetros de Solver, use el casillero Celda objetivo para establecer la
celda D22, como la función que se pretende optimizar.
3. En la sección Valor de la celda objetivo, elija la opción Mínimo, de modo de minimizar el error
medio absoluto
4. Utilice el casillero Cambiando las celdas para establecer el rango B1:B4 como las celdas
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14. Evaluación de Proyectos
variables o valores que se desea estimar.
5. Elija el botón Agregar para desplegar el cuadro de diálogo Agregar restricción e incorporar las
restricciones descritas previamente.
Fig.1-24. Cuadro de diálogo Agregar restricción
6. Una vez agregadas todas las restricciones el cuadro de diálogo Parámetros de Solver debería
verse como en la siguiente figura.
Fig.1-25. Cuadro de diálogo Parámetros de Solver en la estimación de coeficientes de ponderación
7. Elija el botón Resolver. Y luego el botón Aceptar en el cuadro de diálogo Resultados de Solver. La
Figura 1-26 muestra la planilla con los resultados obtenidos
.Fig.1-26. Resultados para la estimación de los coeficientes de ponderación
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