Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES Alicia Cecilia Flores Rodríguez reg: 9310117

Introducción
Una ecuación diferencial es una igualdad donde intervienen una función incógnita y sus derivadas operadas con funciones conocidas.
Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales surgen a partir de intentar resolver problemas dinámicos principalmente de la física e inicialmente de problemas de caída libre.

Grado de una ecuación diferencial
Existe si la función incógnita se puede expresar como un polinomio en los distintos órdenes, el grado de la ecuación diferencial se considera el grado mayor en que aparece el orden mayor.
EJEMPLO:
3º 2º

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y
linealidad.
Según su tipo distinguimos entre:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: estas ecuaciones contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: contienen derivadas parciales respecto de dos o mas variables independientes.
DEF. Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene
en la ecuación.
DEF. Si F es un polinomio, se define grado de la ecuación diferencial como el grado de y(x) y
sus derivadas.

Clasificación por TIPO :
Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).
EJEMPLO:
Si F es esta relaciono función la EDO es:
Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes, de dos o más variables independientes se le llama ecuación diferencial parcial (EDP).
EJEMPLO:

CLASIFCACIÓN SEGÚN EL ORDEN:
Es el orden de la derivada mayor en la ecuación ejemplo:
En este ejemplo tendríamos una ecuación diferencial de
Segundo Orden.
Cuando f es una función continua de valores reales se
denomina forma normal.
Ejemplo:
forma normal 1orden:
4xy+y=x es y`=(x-y)/4x
La forma normal 2 orden:
y ˆ-y´+6y=0y´´=y’-6y

Clasificación por Linealidad :
Se dice que una ecuación diferencial yn) = f(x, y, y0, · · · , yn−1)) es lineal cuando f es una
función lineal de y, y0, ..., yn−1).
Se puede escribir: an(x)yn) + an−1(x)yn−1) + · · · + a1(x)y0 + a0(x)y = g(x)
Se trata de una ecuación diferencial de grado 1 en y y en todas sus derivadas.
Cada coeficiente sólo depende de x.

Representación geométrica
La representación geométrica se da cuando la solución general representa unas familias de curvas. Ejemplo:
x²+y²=c²
Hay otra familia, que son las curvas que se intersecan formando un ángulo recto, si una familia de curvas tiene la ecuación F(x,y,y´)=0 la ecuación diferencial de las trayectorias ortagonales a ella, es otra familia de la forma:
F(x,y,-1/y´)=0

SOLUCIONES
DEF. Se llama solución (o integral) de la ecuación diferencial a cualquier función y = y(x) que introducida en la ecuación diferencial la transforma en igualdad.
Cualquier función Ø , definida en un intervalo I y con menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una entidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.

Tipos de soluciones:
Solución general :
Una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y ( x ) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
Solución particular :
Si fijando cualquier punto P ( X 0, Y 0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P ( X 0, Y 0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.

Tipos de soluciones:
Solución singular : una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
Explicitas: La variable dependiente y se expresa tan sólo en términos de la variable independiente x y constantes.
Implícitas: Se trata de una relación G(x, y) = 0 en la que no se puede despejar y mediante
funciones elementales. Son soluciones todas las y(x) que cumplen G(x, y) = 0.
Una ecuación diferencial puede tener una cantidad infinita de soluciones que corresponden a las posibles elecciones de valores para los parámetros.
DEF. Se dice que la familia n-paramétrica
G(x, y,C1,C2, · · · ,Cn) = 0

BIBLIOGRAFIA
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones al modelado. Zill octava edición.
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/obras_publicas/203/pdfs/introduc_edo.pdf

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