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  • Bonjour, merci pour ce cours bien fourni. J'ai un petit proble sur le MDI à la page 150. à quoi correspond les U1 et U2 j'ai beau chercher dans tout les sens mais je ne vois pas à quoi ce la correspond.

    Merci pour vos reponses.
    cldt
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  • 1. Cours de robotique fondamental David.Daney sophia.inria.fr Projet Coprin INRIA Sophia AntipolisD. Daney INRIA Cours Robotique 200x 1 / 165
  • 2. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 2 / 165
  • 3. Être artificiel et corvéable : Il y a 4000 ans, Talos, l’homme de cuivre, option catapultes et lance flamme. Le Dieu Héphaïtos l’a forgé et offert au roi Minos en Crète pour défendre cette île des envahisseurs. Selon le chant XVIII de l’Iliade (Homère, Talos IXe siècle avant J.C.) Héphaïstos (Vulcain) fut le premier fabricant de créatures artificielles "techniques". Mythe de Pigmalion, jeune roi de Chypre, un homme "crée" la vie. 384-322 av JC Aristote, Machines pour accomplir nos tâches Aristote D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 3 / 165
  • 4. Les premières réalisationsAvant IXèmes siècle (entre mythe et réalité): En Égypte, mâchoire articulé d’un masque Anubis, le bras de Amon bouge pour designer le nouveau pharaon. Ctébios et Heron d’Alexandrie, fontaines avec des figures animées et des oiseaux qui chantent. Systèmes hydrauliques ou pneumatiques (270 av. J-C). Champs d’application : ludique, mais pourquoi pas militaire En Chine, les sphères armillaires équatoriales (assemblage d’anneaux ou de globes figurant les Automate, Heron mouvements célestes) de Guo Shouchang (52 av. J-C) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 4 / 165
  • 5. Les premiers automates (Horloges et fontaines)IXèmes - XIIIèmes siècle: 809, le sultan Haroun Al-Rachid offre à Charlemagne le premier automate mécanique (horloge). fin 12ième, les fontaines d’Al-Jazari pour le confort de l’homme. (système pouvant nous rappeler la chasse d’eau de nos toilettes) 1193-1280 L’évêque Albert le Grand aurait passé trente ans à construire un robot fait de métal et de bois que son élève, le futur saint Thomas d’Aquin, persuadé que cela avait quelque chose à voir avec le démon, envoya au feu Fontaine, Al-Jazari D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 5 / 165
  • 6. Les premiers automates (Horloges et fontaines)XIIIèmes - XVIIèmes siècle: 13ième-15ième Automates mécaniques, hydrauliques etc. En 1350, on a érigé sur la Cathédrale de Strasbourg un coq mécanique qui battait ses ailes et chantait tous les jours à midi. Les jacquemarts, ces figurines frappant les heures en enchaînant toutes sortes de mouvement. 1496-1499 La tour de l’horloge, Venise. 1452-1519 Léonard de Vinci (1452-1519), développe un lion articulé qu’il fait marcher à l’aide de roues et d’engrenagesdevant le roi Horloge, Venise François Ier. "La science des automates doit s’inspirer à la fois de la mécanique et de l’anatomie. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 6 / 165
  • 7. Les premiers automates programmable(Horloges et fontaines)IXèmes - XVIIèmes siècle: 1576-1626 Salomon de Caus, mécanismes hydrauliques et la première machine programmable. Automate hydraulique, 1642 Pascal invente la Pascaline, Salomon de Caus première calculatrice. fin XVII Thomas Hobbes estime que penser et calculer ne font qu’un. René Descartes assimile le corps des animaux à un automate. La Pascaline D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 7 / 165
  • 8. Les automates XVIIIème siècleImitation des mouvement de l’humain 1721-1790 Pierre Jacquet-Droz, Un écrivain, un dessinateur et une joueuse de tympanon (piano simplifié). "Sa poitrine se soulève et s’abaisse comme dans la respiration, sa tête remue, ses yeux regardent tantôt ses mains, tantôt la musique, et tantôt les auditeurs ; elle se penche sur la partition comme pour mieux lire ou écouter, et à la fin de la La joueuse de tympanon partition elle salue poliment" D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 8 / 165
  • 9. Les automates XVIIIème siècleImitation des mouvement de l’humain Le joueur d’échecs (1770, Wolfgang von Kempelen) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 9 / 165
  • 10. Les automates XVIIIème siècleImitation des mouvement de l’humain 1709-1782 Jacques de Vaucanson, Le Flûtiste, dont les lèvres et les doigts jouent une douzaine de mélodies à la flûte traversière ; le Canard, qui peut picorer du grain, boire et éjecter des crottes (dixit Vaucanson) ; un joueur de tambourin et de flageolet (genre de flûte à bec) reproduisant 20 airs diffèrents. Un système de programmation de l’automate. Le programme est constitué Le canard par un cylindre à picots, comme ceux qui équipent D. Daney INRIA Cours Robotique encore, de nos jours,200x 10 / 165
  • 11. Les automates XIXème siècleUtilisation industrielle 1709-1782 Jacques de Vaucanson, nommé inspecteur des manufactures de soie, a l’idée d’utiliser son cylindre à picot pour programmer les métiers à tisser. C’est le premier automate utile. 1805 Joseph-Marie Jacquard, programmation par cartes perforées. Charles Babbage adapte l’idée pour les calculatices. Machine à tisser 1943, dans le premier ordinateur, le Mark I, utilisé par la marine américaine pour calculer la trajectoire des obus. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 11 / 165
  • 12. Les automates XIXème siècleUtilisation industrielle 1890 Thomas Edison, une poupée parle grace à une phonograghe. 1898 Nikola Tesla, bateau controlé sans fils Bateau télécommandé D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 12 / 165
  • 13. La notion de robotique au XXème siècle 1816 Mary Shelley, le docteur Frankenstein 1921 Karel Capek (écrivain tchéque, 1890-1938) invente le mot "Robot" (Robota, travail forcé , tâche pénible , servitude). La pièce RUR, les Robots Universels de Rossum décrit la révolte de robots ! 1926 Fritz Lang, Metropolis 1941 Isaac Asimov, invente le terme "Robotique", prédit l’augmentation de la robotique industrielle. Il recadre les robots en temps que machine RUR servant l’homme et non-dangeureuse. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 13 / 165
  • 14. Les Robots du XXème siècle 1935 Machine de Turing, Alan Mathison Turing. Enigma D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 14 / 165
  • 15. Les Robots du XXème siècle 1961 Unimate, 1970 Shakey, General Motors Stanford Research Institute. 1947 premier manipulateur électrique téléopéré. 1954 premier robot programmable. 1961 apparition d’un robot sur une chaîne de montage de General Motors. 1968 Walking Truck, 1961 premier robot avec contrôle en effort. General Electric 1963 : utilisation de la vision pour commander un robot. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 15 / 165
  • 16. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 16 / 165
  • 17. Définitons Un robot est un système mécanique poly-articulé mû par des actionneurs et commandé par un calculateur qui est destiné à effectuer une grande variété de tâches. "Un appareil automatique qui peut effectuer des fonctions normalement effectuer par des humains." Traduit du dictionnaire Webster’s "Appareil automatique capable de manipuler des objets ou d’exécuter des opérations selon un programme fixe ou modifiable." Petit Larousse "Un manipulateur reprogrammable multifonctionnel concu pour deplacer des matériaux,des outils, des pièces ou des composantes spécialisés à travers une série de mouvements programmés pour effectuer une tache précise." Robot Institut de robotique d’Amérique,1979 "A robot is a machine designed to execute one or more tasks repeatedly, with speed and precision." whatis.com D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 17 / 165
  • 18. Définitons "Manipulateur commandé en position, reprogrammable, polyvalent, à plusieurs degrés de liberté, capable de manipuler des matériaux, des pièces, des outils et des dispositifs spécialisés, au cours de mouvements variables et programmés pour l’exécution d’une variété de tâches. Il a souvent l’apparence d’un ou plusieurs bras se terminant par un poignet. Son unité de commande utilise, notamment, un dispositif de mémoire et éventuellement de perception et d’adaptation à l’environnement et aux circonstances. Ces machines polyvalentes ont généralement étudiées pour effectuer la même fonction de façon cyclique et peuvent être adaptées à d’autres fonctions sans modification permanente du matériel." AFNOR Association Française de Normalisation D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 18 / 165
  • 19. Génération 3 Définition £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ D. Daney INRIA £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ Capteurs £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ propriocétifs ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ © © © © © © © © © ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ Robot £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ Structure mécanique ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Systéme de décision ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ Système de commande £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ Cours Robotique Systéme de communication £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ Environnement ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ Actionneurs £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             § § § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ £ £ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡             ... Clavier Joystick Boite à bouton exteroceptifs Informations 200x19 / 165
  • 20. Robotique mobileRobots mobiles Robots volants Anis, Icare, INRIA AirRobot GmbH Co.KGRobots sous-marins Problèmes de commande Intégration des informations fournies par des capteurs TAIPAN, Lirmm, CNRS D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 20 / 165
  • 21. Robotique bio-inspirée Hexapode Bipéde 15 dll Bipéde oiseau Quadipode D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 21 / 165
  • 22. Micro-, Mano- robotique Robot mobile Nano robot parallèle Nano moteur Interaction avec le sang D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 22 / 165
  • 23. Robotique des manipulateurs Robots Hybrides (parallèle/série)Robots séries Kuka Tricept, NeosRobots parallèles Robots à câbles Delta, ABB Système à retour d’effort (Haptic) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 23 / 165
  • 24. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 24 / 165
  • 25. Domaines d’expertises Analyse numérique, Optimisation, Géométrie algérique, Algorithmique, Vision par ordinateur, Traitement Mécanique d’images, Automatique Intelligence artificielle, Informatique CAO, Mathématique appliquée Mécatronique, Psychologie , Expertise Médicale ... D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 25 / 165
  • 26. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 26 / 165
  • 27. Domaînes d’applicationsde la robotique industrielle à la robotique de service Pour une grande majorité des robots ... tâche simple tâche répétitive (grande série) qualité sur la tâche (vitesse, précision) pénibilité de la tâche (peinture, charge lourde, environnement hostile, ...). L’avenir est à l’autonomie ... tâche complexe interaction avec l’environement (+ utilisateur) module de décision (+ sécurité) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 27 / 165
  • 28. La robotique industrielleAutomobile Robot soudeur Robot peintre Chaîne d’assemblage D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 28 / 165
  • 29. La robotique industrielleChaîne de production (industrie) Chaine de production (ABB) Manipulateur rapide (ABB) Manipulateur fonderie (ABB) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 29 / 165
  • 30. Environnement hostileNucléaire Figure: Robot décontamineur Figure: TéléopérationFigure: Robot adapté au milieunucléaire D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 30 / 165
  • 31. Environnement hostileExploration spatiale Spirit, NASA, 2003 sur Mars Canadarm 1 et 2 Sojourner, NASA, 1997 sur Mars Beagle 2 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 31 / 165
  • 32. Environnement hostileExploration sous-marine Robot sous-marin Scorpio 2000, France Télécom D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 32 / 165
  • 33. Agriculture Tracteur autonome Robot pour planter les melons Récolte de concombre D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 33 / 165
  • 34. Sécurité, Militaire Robot reconnaissance Irak 2003 Demineur Drone Predator General atomics D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 34 / 165
  • 35. Service à la clientèle Aspirateur CyCab Laveur de vitres (C. Pompidou) - Robosoft D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 35 / 165
  • 36. Loisirs Aibo, Sony Robot Cup Robotique selon Lego D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 36 / 165
  • 37. Humnoïde Robot visage P3 et Asimo, Honda Expression du visage D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 37 / 165
  • 38. Médicale Manipulateur pharmacetique Manipulateur hospitalié Manipulateur pharmacetique Mélangeur pharmacetique D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 38 / 165
  • 39. Chirurgie da Vinci Endoscope MIPS, Inria Physik Instrumente Simulation, Chir, Inria D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 39 / 165
  • 40. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 40 / 165
  • 41. Degrés de libertédans l’espace Combien de degrés de libertés a un solide dans l’espace ? ou encore... Combien de paramètres indépendants (nombre minimal) sont-ils nécessaires pour définir la situation (positionnement) du solide dans l’espace (par rapport à un repère de référence) ? D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 41 / 165
  • 42. Degrés de libertédans l’espace 3 en position 6 3 en orientation α β P P Z γ Z Y Y X X D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 42 / 165
  • 43. Degrés de libertédans l’espace 3 en position 6 3 en orientation α β P P Z γ Z Y Y X X D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 42 / 165
  • 44. Degrés de libertédans l’espace 3 en position 6 3 en orientation α β P P Z γ Z Y Y X X D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 42 / 165
  • 45. DDL d’un solidedans l’espace D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 43 / 165
  • 46. DDL d’un solidedans le plan Quels sont les degrés de liberté de la brosse à effacer se déplaçant sur le tableau ? Y θ X 2 en position (X,Y), 1 en orientation (θ) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 44 / 165
  • 47. DDL d’un solidedans le plan Quels sont les degrés de liberté de la brosse à effacer se déplaçant sur le tableau ? Y θ X 2 en position (X,Y), 1 en orientation (θ) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 44 / 165
  • 48. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 45 / 165
  • 49. Un exemple simpleToto le petit robot Roues Il tourne Il se deplace en ligne droite θ X t Vue de haut Vue de profile Y Toto le petit robot. Déplacements de Toto. Questions : Dans le plan, quel sont les coordonnées d’un solide ? Quel sont les degrés de liberté du robot ? Est-ce équivalent ? Le robot avance de t puis tourne de θ. Le robot tourne de θ puis avance de t. Donner les coordonnées du robot. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 46 / 165
  • 50. Un exemple simplePositionnement d’un objet X A partir d’une position initiale, le robot tourne de θ puis avance de t. Donner sa nouvelle position Y Position initiale X = t × cos(θ) Y = t × sin(θ) Θ=θ ou bien Y t 0 1 t. cos(θ) θ X = @ t. sin(θ) A θ X Position initiale D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 47 / 165
  • 51. Un exemple simplePositionnement d’un objet X A partir d’une position initiale, le robot tourne de θ puis avance de t. Donner sa nouvelle position Y Position initiale X = t × cos(θ) Y = t × sin(θ) Θ=θ ou bien Y t 0 1 t. cos(θ) θ X = @ t. sin(θ) A θ X Position initiale D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 47 / 165
  • 52. Un exemple simpleDéplacement d’un robot Question: A partir d’une position initiale, le robot tourne de θ puis avance de t puis tourne de α puis avant de d. Donner son positionement. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 48 / 165
  • 53. Un exemple simpleDéplacement d’un robot Le robot tourne de θ puis avance de t. → → − − Dans le repère ΩO = (O, i , j ) p → − „ « „ « u cos θ D d T ΩO = = t. (1) y v sin θ α Puis, le robot tourne de α q puis avance de d. x → → − − u Dans le repère ΩC = (C, x , y ) Cj T → − „ « „ « p cos α t D ΩC = = d. (2) q sin α θ v O i Question : Déterminer la position du robot dans ΩO . D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 49 / 165
  • 54. Un exemple simpleDéplacement d’un robot Solution : la position du robot est égale à : D → − − → → − y V = T Ω O + D ΩO (3) V Sous-problème : → − x θ+α Déterminer D dans ΩO Cj l’orientation de Toto est égale à θ + α. T O i 0 1 t. cos θ + pΩO @ t. sin θ + qΩ A O (4) θ+α D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 50 / 165
  • 55. → −Déterminer D dans ΩO1/2 → − Dans ΩO le vecteur D peut s’exprimer en D → − − → y fonction des axes de x et y . V → − → − → − x D ΩO = p. x ΩO + q. y ΩO (5) C j O i −sinθ → − − → Exprimons les axes x et y dans ΩO „ « „ « j → − cos θ → − − sin θ y cos θ x ΩO = y ΩO = (6) cos θ sin θ cos θ sin θ x θ i D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 51 / 165
  • 56. → −Déterminer D dans ΩO2/2 eq. (6) → eq. (5) → eq. (3) → − − → → − „ « „ « „ « cos θ cos θ − sin θ V = T ΩO + D ΩO = t. + p. + q. (7) sin θ sin θ cos θ eq. (2) → eq. (7) → − „ « „ « „ « cos θ cos θ − sin θ V = t. + d. cos α. + d. sin α. (8) sin θ sin θ cos θ „ « „ « cos θ cos (θ + α) = t. + d. (9) sin θ sin (θ + α) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 52 / 165
  • 57. → − → −Déterminer D dans ΩO Dans ΩO le vecteur D peut s’exprimer en → − − →Forme matricielle fonction des axes de x et y . → − → − → − D Ω = p. x Ω + q. y Ω O O O → − − → D Exprimons les axes x et y dans ΩO y V „ « „ « x → − cos θ → − − sin θ xΩ = yΩ = C O sin θ O cos θ j → − → − → − DΩ = p. x Ω + q. y Ω O i O O O „ « „ « cos θ − sin θ −sinθ = p. sin θ + q. cos θ „ «„ « cos θ − sin θ p = j sin θ cos θ q y cos θ cos θ − sin θ − → „ « cos θ = DΩ sin θ sin θ cos θ ”− C → θ “− → → − x = xΩ yΩ DΩ O O C → − i = R. D Ω C D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 53 / 165
  • 58. → − → −Déterminer D dans ΩO Dans ΩO le vecteur D peut s’exprimer en → − − →Forme matricielle fonction des axes de x et y . → − → − → − D Ω = p. x Ω + q. y Ω O O O → − − → D Exprimons les axes x et y dans ΩO y V „ « „ « x → − cos θ → − − sin θ xΩ = yΩ = C O sin θ O cos θ j → − → − → − DΩ = p. x Ω + q. y Ω O i O O O „ « „ « cos θ − sin θ −sinθ = p. sin θ + q. cos θ „ «„ « cos θ − sin θ p = j sin θ cos θ q y cos θ cos θ − sin θ − → „ « cos θ = DΩ sin θ sin θ cos θ ”− C → θ “− → → − x = xΩ yΩ DΩ O O C → − i = R. D Ω C D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 53 / 165
  • 59. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 54 / 165
  • 60. Changement de repèreCas plan y j C x O i Figure: Deux repères dans le plan − − → → − − → → Soit le repère de base Ω0 = (O, Oi, Oj) et le repère ΩC = (C, Cx, Cy ). −→ La position P du repère ΩC par rapport à Ω0 est donné par le vecteur OC. (C exprimé dans Ω0 ) La matrice d’orientation R du repère ΩC par rapport à Ω0 est donné par “−→ − ” → R = Cx Cy (C, x, y exprimés dans Ω0 ) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 55 / 165
  • 61. Changement de repèreCas plan Remarque : La matrice R est une matrice orthogonal qui a des propriété: det(R) = 1 (10) −1 t R = R (11) „ « cos θ − sin θ R = (12) sin θ cos θ Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO . VO = R.VC + P (13) VC = R t .VO − R t .P (14) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 56 / 165
  • 62. Changement de repèreCas plan Remarque : La matrice R est une matrice orthogonal qui a des propriété: det(R) = 1 (10) −1 t R = R (11) „ « cos θ − sin θ R = (12) sin θ cos θ Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO . VO = R.VC + P (13) VC = R t .VO − R t .P (14) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 56 / 165
  • 63. Changement de repèreCas Spatial Soit le repère de base Ω0 et le repère ΩC . La position P du repère ΩC par rapport à Ω0 . La matrice d’orientation R du repère ΩC par rapport à Ω0 . Soit VC un vecteur exprimé dans ΩC et VO sa valeur dans ΩO . VO = R.VC + P (15) t t VC = R .VO − R .P (16) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 57 / 165
  • 64. Une paramétrisation de la matrice d’orientation 0 1 1 0 0 Rx (θx ) = @0 cos θx − sin θx A 0 sin θx cos θx 0 1 cos θx 0 sin θx Ry (θy ) = @ 0 1 0 A − sin θx 0 cos θx 0 1 cos θz − sin θz 0 Rz (θz ) = @ sin θx cos θx 0A 0 0 1 R = Rx (θx ).Ry (θy ).Rz (θz ) Angles de Bryant R = Rz (θz1 ).Rx (θx ).Rz (θz2 ) Angles d’Euler D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 58 / 165
  • 65. Une paramétrisation de la matrice d’orientation 0 1 1 0 0 Rx (θx ) = @0 cos θx − sin θx A 0 sin θx cos θx 0 1 cos θx 0 sin θx Ry (θy ) = @ 0 1 0 A − sin θx 0 cos θx 0 1 cos θz − sin θz 0 Rz (θz ) = @ sin θx cos θx 0A 0 0 1 R = Rx (θx ).Ry (θy ).Rz (θz ) Angles de Bryant R = Rz (θz1 ).Rx (θx ).Rz (θz2 ) Angles d’Euler D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 58 / 165
  • 66. Matrice d’orientation représenté par les angles deBryant R = Rx (φ).Ry (θ).Rz (ψ) − cos θ sin ψ ! cos θ cos ψ sin θ R = sin φ sin θ cos ψ + cos φ sin ψ cos φ cos ψ − sin φ sin θ sin ψ − sin φ cos θ − cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ + sin φ cos ψ cos φ cos θ D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 59 / 165
  • 67. Matrice d’orientation représenté par un vecteurnormalisé et un angle 0 1 ux R : Rotation d’un angle θ autour de l’axe @uy A. uz 2   ux .a + cos θ ux .uy .a − uz . sin θ ux .uz .a + uy . sin θ 2 R = ux .uy .a + uz . sin θ uy .a + cos θ uy .uz .a − ux . sin θ 2 ux .uz .a − uy . sin θ uy .uz .a + ux . sin θ uz .a + cos θ avec a = 1 − cos θ D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 60 / 165
  • 68. Matrice d’orientation représenté par les paramètres deRodrigues 1 + Q2 − Q2 − Q2 0 1 1 2 3 2(Q1 Q2 − Q3 ) 2(Q1 Q3 + Q2 ) 1 R= @ 2(Q1 Q2 + Q3 ) 1 − Q2 + Q2 − Q2 1 2 3 2(Q2 Q3 − Q1 ) A 1 + Q2 + Q2 + Q2 1 2 3 2(Q3 Q1 − Q2 ) 2(Q2 Q3 + Q1 ) 1 − Q2 − Q2 + Q2 1 2 3 0 1 ux R : Rotation d’un angle θ autour de l’axe @uy A. uz θ Q1 = ux tan 2 θ Q2 = uy tan 2 θ Q3 = uz tan 2 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 61 / 165
  • 69. Matrice d’orientation représenté par les paramètres deEuler normalisés Q0 + Q2 − Q2 − Q2   1 2 3 2(Q1 Q2 − Q0 Q3 ) 2(Q1 Q3 + Q0 Q2 ) R=  2(Q1 Q2 + Q0 Q3 ) Q0 − Q2 + Q2 − Q2 1 2 3 2(Q2 Q3 − Q0 Q1 )  2(Q3 Q1 − Q0 Q2 ) 2(Q2 Q3 + Q0 Q1 ) Q0 − Q2 − Q2 + Q2 1 2 3   ux R : Rotation d’un angle θ autour de l’axe uy . uz θ Q0 = cos 2 θ Q1 = ux sin 2 θ Q2 = uy sin 2 θ Q3 = uz sin 2 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 62 / 165
  • 70. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Nous avons déjà vue que nous pouvons le représenter par ... 6 paramètres (3 pour la position Tx , Ty , Tz , 3 pour l’orientation Rx , Ry , Rz ), 12 paramètres (3 pour la position Tx , Ty , Tz , 9 pour représenter la matrice d’orientation R). 7 parametres (3 pour la position Tx , Ty , Tz + un vecteur et un angle) mais aussi 9 paramètres (3 × 3 coordonnées de 3 points sur le solide) ... Mais il n’y en a que 6 indépendants dans les autres cas un certain nombre sont liés par des équations D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 63 / 165
  • 71. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Nous avons déjà vue que nous pouvons le représenter par ... 6 paramètres (3 pour la position Tx , Ty , Tz , 3 pour l’orientation Rx , Ry , Rz ), 12 paramètres (3 pour la position Tx , Ty , Tz , 9 pour représenter la matrice d’orientation R). 7 parametres (3 pour la position Tx , Ty , Tz + un vecteur et un angle) mais aussi 9 paramètres (3 × 3 coordonnées de 3 points sur le solide) ... Mais il n’y en a que 6 indépendants dans les autres cas un certain nombre sont liés par des équations D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 63 / 165
  • 72. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Nous avons déjà vue que nous pouvons le représenter par ... 6 paramètres (3 pour la position Tx , Ty , Tz , 3 pour l’orientation Rx , Ry , Rz ), 12 paramètres (3 pour la position Tx , Ty , Tz , 9 pour représenter la matrice d’orientation R). 7 parametres (3 pour la position Tx , Ty , Tz + un vecteur et un angle) mais aussi 9 paramètres (3 × 3 coordonnées de 3 points sur le solide) ... Mais il n’y en a que 6 indépendants dans les autres cas un certain nombre sont liés par des équations D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 63 / 165
  • 73. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Plusieurs changements de repères successifs R12,P 12 R01,P 01 2 1 R23,P 23 3 V R34,P 34 0 4 V3 = R34 .V + P34 V2 = R23 .V3 + P23 = R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 V1 = R12 .(R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 ) + P12 V0 = R01 .(R12 .(R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 ) + P12 ) + P01 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 64 / 165
  • 74. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Coordonnées Homogène 0 1 w.px Bw.py C P=B @w.pz A C (17) w Représentation d’un point, w = 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 65 / 165
  • 75. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Transformations Homogènes 0 1 R1,1 R1,2 R1,3 P1 B R2,1 R2,2 R2,3 P2 C Hi,j =B @ R3,1 C R3,2 R3,3 P3 A 0 0 0 1 4×4 H0,4 = H0,1 .H1,2 .H2,3 .H3,4 Hi,i = I „ « „ « Vi Vj = Hi,j . 1 4×1 1 4×1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 66 / 165
  • 76. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Transformations Homogènes 0 1 R1,1 R1,2 R1,3 P1 B R2,1 R2,2 R2,3 P2 C Hi,j =B @ R3,1 C R3,2 R3,3 P3 A 0 0 0 1 4×4 H0,4 = H0,1 .H1,2 .H2,3 .H3,4 Hi,i = I „ « „ « Vi Vj = Hi,j . 1 4×1 1 4×1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 66 / 165
  • 77. Représentation d’un positionnement d’un solide dansl’espace Transformations Homogènes 0 1 R1,1 R1,2 R1,3 P1 B R2,1 R2,2 R2,3 P2 C Hi,j =B @ R3,1 C R3,2 R3,3 P3 A 0 0 0 1 4×4 H0,4 = H0,1 .H1,2 .H2,3 .H3,4 Hi,i = I „ « „ « Vi Vj = Hi,j . 1 4×1 1 4×1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 66 / 165
  • 78. Matrices homogènes R(θ) V’ V = R(θ)V + P V PMatrice Homogène: 0 1 Utilisation de la matrice homogène. R1,1 R1,2 P1 Hi,j = @ R2,1 R2,2 P2 „ « „ « „ « A V R P V = . 0 0 1 3×3 1 0 0 1 1 0 1 „ « cos θ − sin θ P1 R.V + P = = @ sin θ cos θ P2 A 1 0 0 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 67 / 165
  • 79. Matrices homogènes R(θ) V’ V = R(θ)V + P V PMatrice Homogène: 0 1 Utilisation de la matrice homogène. R1,1 R1,2 P1 Hi,j = @ R2,1 R2,2 P2 „ « „ « „ « A V R P V = . 0 0 1 3×3 1 0 0 1 1 0 1 „ « cos θ − sin θ P1 R.V + P = = @ sin θ cos θ P2 A 1 0 0 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 67 / 165
  • 80. Matrices homogènesPlusieurs changements de repères successifs R12,P 12 3 R01,P H12 2 H23 01 1 R23,P H R34,P 34 23 H01 34 V 4 V0 0 V3 = R34 .V + P34 V2 = R23 .V3 + P23 = R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 V1 = R12 .(R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 ) + P12 V0 = R01 .(R12 .(R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 ) + P12 ) + P01 ou alors „ « „ « V0 V = H01 .H12 .H23 .H34 . 1 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 68 / 165
  • 81. Matrices homogènesPlusieurs changements de repères successifs R12,P 12 3 R01,P H12 2 H23 01 1 R23,P H R34,P 34 23 H01 34 V 4 V0 0 V3 = R34 .V + P34 V2 = R23 .V3 + P23 = R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 V1 = R12 .(R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 ) + P12 V0 = R01 .(R12 .(R23 .(R34 .V + P34 ) + P23 ) + P12 ) + P01 ou alors „ « „ « V0 V = H01 .H12 .H23 .H34 . 1 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 68 / 165
  • 82. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 69 / 165
  • 83. Liaisons entre deux solides Une liaison entre deux solides est une relation de contact entre deux solides. Degrés de liberté d’une liaison : C’est le nombre de déplacements élémentaires indépendants autorisés par cette liaison. Classe d’une liaison : C’est le nombre de déplacements élémentaires interdits. On notera que pour une liaison, la somme des degrés de liberté et de la classe de la liaisons est égale à 6. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 70 / 165
  • 84. Liaisons entre deux solides : exempleContact Plan/Plan 1 ddl, Rx Décomposition des contacts D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 71 / 165
  • 85. Les différents types de contact contact linéique contact linéique contact ponctuel contact surfacique contact surfacique D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 72 / 165
  • 86. Les différents types de contact contact linéique contact linéique contact ponctuel contact surfacique contact surfacique D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 72 / 165
  • 87. Les différents types de contact contact linéique contact linéique contact ponctuel contact surfacique contact surfacique D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 72 / 165
  • 88. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 0 0 Encastrement de centre B @ 0A @0A Anim 0 0 0 1 0 1 Tx 0 Glissière de centre A et d’axe X @0A @0A Anim 0 0 0 1 0 1 0 Rx Pivot de centre A et d’axe X @0A @0A Anim 0 0 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 73 / 165
  • 89. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 0 0 Encastrement de centre B @ 0A @0A Anim 0 0 0 1 0 1 Tx 0 Glissière de centre A et d’axe X @0A @0A Anim 0 0 0 1 0 1 0 Rx Pivot de centre A et d’axe X @0A @0A Anim 0 0 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 73 / 165
  • 90. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 0 0 Encastrement de centre B @ 0A @0A Anim 0 0 0 1 0 1 Tx 0 Glissière de centre A et d’axe X @0A @0A Anim 0 0 0 1 0 1 0 Rx Pivot de centre A et d’axe X @0A @0A Anim 0 0 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 73 / 165
  • 91. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 Tx Rx Pivot glissant de centre C et @0A @0A Anim d’axe X 0 0 0 1 0 1 0 0 Hélicoïdale de centre B et d’axe @ Ty A @Ty ∗ 2p/pA Anim Y 0 0 0 1 0 1 Tx 0 Appui Plan de centre D et de @ Ty A @0A Anim normale Z 0 Rz 0 1 0 1 0 Rx Rotule de centre O @ 0A @Ry A Anim 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
  • 92. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 Tx Rx Pivot glissant de centre C et @0A @0A Anim d’axe X 0 0 0 1 0 1 0 0 Hélicoïdale de centre B et d’axe @ Ty A @Ty ∗ 2p/pA Anim Y 0 0 0 1 0 1 Tx 0 Appui Plan de centre D et de @ Ty A @0A Anim normale Z 0 Rz 0 1 0 1 0 Rx Rotule de centre O @ 0A @Ry A Anim 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
  • 93. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 Tx Rx Pivot glissant de centre C et @0A @0A Anim d’axe X 0 0 0 1 0 1 0 0 Hélicoïdale de centre B et d’axe @ Ty A @Ty ∗ 2p/pA Anim Y 0 0 0 1 0 1 Tx 0 Appui Plan de centre D et de @ Ty A @0A Anim normale Z 0 Rz 0 1 0 1 0 Rx Rotule de centre O @ 0A @Ry A Anim 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
  • 94. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 Tx Rx Pivot glissant de centre C et @0A @0A Anim d’axe X 0 0 0 1 0 1 0 0 Hélicoïdale de centre B et d’axe @ Ty A @Ty ∗ 2p/pA Anim Y 0 0 0 1 0 1 Tx 0 Appui Plan de centre D et de @ Ty A @0A Anim normale Z 0 Rz 0 1 0 1 0 Rx Rotule de centre O @ 0A @Ry A Anim 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 74 / 165
  • 95. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 0 0 rotule à doigt de centre O d’axe @0A @Ry A Anim X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéaire annulaire de centre B @0A @Ry A Anim et d’axe X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéïque rectiligne de centre C, @Ty A @0A Anim d’axe X et de normale Z 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Ponctuelle de centre O et de @Ty A @Ry A Anim normale Z 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
  • 96. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 0 0 rotule à doigt de centre O d’axe @0A @Ry A Anim X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéaire annulaire de centre B @0A @Ry A Anim et d’axe X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéïque rectiligne de centre C, @Ty A @0A Anim d’axe X et de normale Z 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Ponctuelle de centre O et de @Ty A @Ry A Anim normale Z 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
  • 97. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 0 0 rotule à doigt de centre O d’axe @0A @Ry A Anim X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéaire annulaire de centre B @0A @Ry A Anim et d’axe X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéïque rectiligne de centre C, @Ty A @0A Anim d’axe X et de normale Z 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Ponctuelle de centre O et de @Ty A @Ry A Anim normale Z 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
  • 98. Tableau des liaisons usuelles Nom de la Représentations Perspective Degrés de liberté mobilités liaison planes Trans Ori 0 1 0 1 0 0 rotule à doigt de centre O d’axe @0A @Ry A Anim X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéaire annulaire de centre B @0A @Ry A Anim et d’axe X 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Linéïque rectiligne de centre C, @Ty A @0A Anim d’axe X et de normale Z 0 Rz 0 1 0 1 Tx Rx Ponctuelle de centre O et de @Ty A @Ry A Anim normale Z 0 Rz D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 75 / 165
  • 99. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 76 / 165
  • 100. Les articulations des robots Articulation prismatique, noté P Articulation rotoïde, noté R1 ddl en translation Tz . 1 ddl en rotation Rz .Valeur articulaire q = longueur [m]. Valeur articulaire q = angle [rad], [◦ ]. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 77 / 165
  • 101. Les articulations des robots Articulation prismatique, noté P Articulation rotoïde, noté R1 ddl en translation Tz . 1 ddl en rotation Rz .Valeur articulaire q = longueur [m]. Valeur articulaire q = angle [rad], [◦ ]. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 77 / 165
  • 102. Articulation de ddl ≥ 2 Dans la plupart des cas, pour modéliser une articulation de ddl ≥ 2, nous nous ramenerons à une succession d’articulations P ou R. Exemples : Articulation cardan RR (2 ddl) Articulation rotule RRR=S (3 ddl) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 78 / 165
  • 103. Articulation de ddl ≥ 2 Dans la plupart des cas, pour modéliser une articulation de ddl ≥ 2, nous nous ramenerons à une succession d’articulations P ou R. Exemples : Articulation cardan RR (2 ddl) Articulation rotule RRR=S (3 ddl) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 78 / 165
  • 104. Les chaînes cinématiques Figure: Chaîne cinématique RPRP Une chaîne cinématique sera définie par une succession d’articulations rotoïdes ou prismatiques. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 79 / 165
  • 105. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 80 / 165
  • 106. Les Robots Séries £¢¢£ Mobile   ¡¡   ¡¡ ¤¤¦¤¤¥ ¥ §§¨§¨ §§¨§¨ Base Description Générale Un exemple D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 81 / 165
  • 107. Vocabulaire Actionneur, moteur Axe, articulation Corps, segment Organe terminal Effecteur, outil Base Danse avec les robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 82 / 165
  • 108. Vocabulaire Coordonnées généralisé X = [P, R] (position P / orientation R) Coordonnées articulaire q (consignes données aux moteurs : soit rotation autour d’un axe soit translation suivant un axe) Paramètres géométriques ζ qui définissent de façon statique les dimension du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 83 / 165
  • 109. Indice de mobilité et ddl d’un robot série à n corps Définition : L’ indice de mobilité M est le nombre de paramètres variables qui déterminent la configuration du manipulateur M=n Si La chaîne cinématique est simple (chaque articulation a, au plus, un successeur et un prédécesseur) Chaque articulation est de classe 5 En géneral, le degré de liberté du robot (DLr ) est égal à M sauf si le robot est redondant. Dans tous les cas ... DLr ≤ M D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 84 / 165
  • 110. Robot redondant le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal nombre variables articulaires actives (d’articulations motorisées). plus de 6 articulations plus de trois articulations rotoïdes d’axes concourants plus de trois articulations rotoïdes d’axes parallèles plus de trois articulations prismatiques deux axes d’articulations prismatiques parallèles deux axes d’articulations rotoïdes confondus D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 85 / 165
  • 111. Robot redondant le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal nombre variables articulaires actives (d’articulations motorisées). plus de 6 articulations plus de trois articulations rotoïdes d’axes concourants plus de trois articulations rotoïdes d’axes parallèles plus de trois articulations prismatiques deux axes d’articulations prismatiques parallèles deux axes d’articulations rotoïdes confondus D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 85 / 165
  • 112. Configurations singulières (localement redondant) Quelque soit le robot (redondant ou non), il se peut qu’il existe certaines configurations dites singulières telle que le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal soit inférieur à la dimension de l’espace opérationnel (espace dans lequel on représente les ddl de l’OT). deux axes d’articulations prismatiques se retrouvent parallèles deux axes d’articulations rotoïdes se retrouvent confondus D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 86 / 165
  • 113. Configurations singulières (localement redondant) Quelque soit le robot (redondant ou non), il se peut qu’il existe certaines configurations dites singulières telle que le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal soit inférieur à la dimension de l’espace opérationnel (espace dans lequel on représente les ddl de l’OT). deux axes d’articulations prismatiques se retrouvent parallèles deux axes d’articulations rotoïdes se retrouvent confondus D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 86 / 165
  • 114. Nombre de morphologies possibles vs nombre de ddldu robot 2 possibilités d’angle entre deux articulations successives : 0◦ et 90◦ ddl nb structure 2 8 3 36 4 168 5 776 6 3508 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 87 / 165
  • 115. Nous appelerons ... Porteur Poignet ... D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 88 / 165
  • 116. Type de robot Scara RRP Cylindrique RPP Sphérique RRP Cartésien PPP Anthropomorphique 6R D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 89 / 165
  • 117. Propriétés des robots Précision : positionnement absolu imprécis (1 mm): Répétabilité : la répétabilité d’un robot est l’erreur maximale de positionnement répété de l’outil en tout point de son espace de travail ( 0.1 mm) Vitesse maximale de translation ou de rotation de chaque axe, de translation maximale de l’organe terminal Accélération maximale Est donnée pour chaque axe dans la configuration la plus défavorable (inertie maximale, charge maximale). Dépend fortement de l’inertie donc de la position du robot Charge utile : C’est la charge maximale que peut porter le robot sans dégrader la répétabilité et les performances dynamiques. La charge utile est nettement inférieure à la charge maximale que peut porter le robot qui est directement dépendante des actionneurs. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 90 / 165
  • 118. Caractéristique D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 91 / 165
  • 119. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 92 / 165
  • 120. Les Robots ParallèlesDescription Générale, chaîne fermée Un exemple D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 93 / 165
  • 121. Exemples Robots Parallèles Différents types d’architectures La plate-forme de Gough D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 94 / 165
  • 122. La plate-forme de Gough C Mobile Bi Li Segments li O Ai Base D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 95 / 165
  • 123. Exemple de déplacement DDL Gough Cercles, Poignet actif (INRIA) Hexapode CMW Alcatel Déploiement D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 96 / 165
  • 124. Caractéristiques Il a une meilleure précision (rigidité, accumulation des erreurs) Il peut transporter de lourdes charges Il a de bonnes performances dynamiques Son espace de travail est plus limité (que pour les robots série) Son étude est Complexe D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 97 / 165
  • 125. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 98 / 165
  • 126. Le Modèle Géométrique DirectDes robots (séries ou parallèles) Déterminer: Les coordonnées généralisées (X ) en fonction des coordonnées articulaire (q): X = FMGD (q1 , q2 , . . . , qi , ζ) avec ζ les paramètres géométriques (paramètres qui définissent la géométrie du robot série). D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 99 / 165
  • 127. Le MGDexemple Repère mobile Identifier les coordonnées articulaires t3 Identifier les paramètres géométriques qui définissent le mécanisme θ3 Associer à chacune des articulations un t2 repère Déterminer le positionnement (matrice R, t1 θ2 vecteur P) de chaque repères par rapport au précedent. Metter ces changements de repères sous θ1 Repère base la forme de matrice homogène mécanisme 3R plan Montrer comment calculer le MGD de ce mécanisme Quels sont les degrés de liberté de ce mécanisme plan 3R ? D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 100 / 165
  • 128. Le MGDexemple Repère mobile Identifier les coordonnées articulaires t3 Identifier les paramètres géométriques qui définissent le mécanisme θ3 Associer à chacune des articulations un t2 repère Déterminer le positionnement (matrice R, t1 θ2 vecteur P) de chaque repères par rapport au précedent. Metter ces changements de repères sous θ1 Repère base la forme de matrice homogène mécanisme 3R plan Montrer comment calculer le MGD de ce mécanisme Quels sont les degrés de liberté de ce mécanisme plan 3R ? D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 100 / 165
  • 129. Le MGDsolution Identifier les coordonnées articulaires Solution: q1 = θ1 , q2 = θ 2 , q3 = θ3 Identifier les paramètres géométriques qui définissent le mécanisme Solution: ζ = {t1 , t2 , t3 } D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 101 / 165
  • 130. Le MGDsolution Identifier les coordonnées articulaires Solution: q1 = θ1 , q2 = θ 2 , q3 = θ3 Identifier les paramètres géométriques qui définissent le mécanisme Solution: ζ = {t1 , t2 , t3 } D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 101 / 165
  • 131. Le MGDSolution Associer à chacune des articulations un repère Repère mobile t3 θ3 t2 θ 2 t1 θ1 Repère base mécanisme 3R plan D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 102 / 165
  • 132. Le MGDSolution Déterminer le positionnement (matrice R, vecteur P) de chaque repères par rapport au précedent. cos θj − sin θj Repère mobile Ri,j = 3 sin θj cos θj t3 θ3 T 2,3 tj . cos θj Ti,j = tj . sin θj R 2,3 i ∈ 0, 1, 2, j ∈ 1, 2, 3 2 t2 θ T1,2 2 R1,2 Mettre ces changements de repères sous la forme de matrice 1 homogène t1 T 0,1 R 0,1 θ1 Repère base Ri,j Ti,j 0 Hi,j = mécanisme 3R plan 00 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 103 / 165
  • 133. Le MGDSolution Déterminer le positionnement (matrice R, vecteur P) de chaque repères par rapport au précedent. cos θj − sin θj Repère mobile Ri,j = 3 sin θj cos θj t3 θ3 T 2,3 tj . cos θj Ti,j = tj . sin θj R 2,3 i ∈ 0, 1, 2, j ∈ 1, 2, 3 2 t2 θ T1,2 2 R1,2 Mettre ces changements de repères sous la forme de matrice 1 homogène t1 T 0,1 R 0,1 θ1 Repère base Ri,j Ti,j 0 Hi,j = mécanisme 3R plan 00 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 103 / 165
  • 134. Le MGDSolution Repère mobile 3 t3 θ3 T 2,3 R 2,3 2 t2 θ T1,2 Montrer comment calculer le MGD de 2 R1,2 ce mécanisme 1 t1 T 0,1 R 0,1 0 cos θ1 − sin θ1 t1 . cos θ1 1 θ1 Repère base H0,3 = @ sin θ1 cos θ1 t1 . sin θ1 A × . . . 0 0 0 1 0 10 1 cos θ2 − sin θ2 t2 . cos θ2 cos θ3 − sin θ3 t3 . cos θ3 @ sin θ2 cos θ2 t2 . sin θ2 A @ sin θ3 cos θ3 t3 . sin θ3 A 0 0 1 0 0 1 − sin (θ1 „cos (θ t . cos θ + t . cos (θ + θ ) + t . cos (θ + θ + θ ) 1 + θ 2 + θ3 ) +θ +θ ) « 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 = sin (θ1 + θ2 + θ3 ) cos (θ1 + θ2 + θ3 ) t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) 0 0 1 0 1 t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) X = @ t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) A θ1 + θ2 + θ3 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 104 / 165
  • 135. Le MGDSolution Repère mobile 3 t3 θ3 T 2,3 R 2,3 2 t2 θ T1,2 Montrer comment calculer le MGD de 2 R1,2 ce mécanisme 1 t1 T 0,1 R 0,1 0 cos θ1 − sin θ1 t1 . cos θ1 1 θ1 Repère base H0,3 = @ sin θ1 cos θ1 t1 . sin θ1 A × . . . 0 0 0 1 0 10 1 cos θ2 − sin θ2 t2 . cos θ2 cos θ3 − sin θ3 t3 . cos θ3 @ sin θ2 cos θ2 t2 . sin θ2 A @ sin θ3 cos θ3 t3 . sin θ3 A 0 0 1 0 0 1 − sin (θ1 „cos (θ t . cos θ + t . cos (θ + θ ) + t . cos (θ + θ + θ ) 1 + θ 2 + θ3 ) +θ +θ ) « 2 3 1 1 2 1 2 3 1 2 3 = sin (θ1 + θ2 + θ3 ) cos (θ1 + θ2 + θ3 ) t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) 0 0 1 0 1 t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) X = @ t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) A θ1 + θ2 + θ3 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 104 / 165
  • 136. Le Modèle Géométrique Directdes robots séries X=( 0R 0 P ) 0 1 Repère mobile q4 q3 q2 q1 Repère de base D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 105 / 165
  • 137. Le Modèle Géométrique Directcomment modéliser systèmatiquement une chaîne cinématique Dans l’espace, nous utiliserons le formalisme de Denavit-Hartenberg 1 Placer les repères 2 Définir les variables articulaires et les paramètres géométriques 3 Définir les matrices de transformées homogènes 4 Multiplier ces matrices D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 106 / 165
  • 138. La modélisation des chaînes cinématiquesPlacement des repères utilisant le formalisme de Denavit-Hartenberg Formalisation de Khalil 96 Li une liaison rotoïde ou prismatique parfaite c’est-à-dire suivant un seul axe, donc représentée par un seul paramètre. (Oi , xi , yi , zi ) le repère lié à la liaison i. Oi−1 est le pied de la perpendiculaire commune avec l’axe des liaisons Li−1 et Li sur l’axe Li . xi−1 est le vecteur unitaire de cette perpendiculaire commune orientée de Li−1 à Li . zi−1 le vecteur unitaire porté par l’axe de la liaison Li−1 orienté arbitrairement. yi−1 est déduit de xi−1 et zi−1 . Pour i = 0, z0 verticalement ascendant et x0 perpendiculaire à l’axe L1 . Pour i = n, On sur l’axe Ln et zn porté par l’axe de la liaison n. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 107 / 165
  • 139. La modélisation des chaînes cinématiquesUn exemple zi +1 xi +1 xi +1 ai αi xi zi +1 zi θi zi bi xi zi −1 xi −1 a PRP kinematic chain : ai , bi , αi , θi Denavit-Hartenberg parameters associated with the revolute joint i D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 108 / 165
  • 140. Matrice de transformation de Denavit-Hartenberg Hi = R(θi , zi ).T (bi , zi ).T (ai , xi+1 ).R(αi , xi+1 ) zi + 1 xi +1 xi +1 ai αi xi zi +1 zi θi zi bi xi zi −1 xi −1 Figure: a PRP kinematic chain : ai , bi , αi , θi Denavit-Hartenberg parameters associated with the revolute joint i D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 109 / 165
  • 141. La modélisation des chaînes cinématiquesMatrice de transformation de Denavit-Hartenberg An homogeneous matrix (Hi ) describe the transformation (position/orientation) between two consecutive frames Ωi and Ωi+1 . This matrix is define by four DH-parameters ai , bi , αi , θi such that: Hi = R(θi , zi ).T (bi , zi ).T (ai , xi+1 ).R(αi , xi+1 ) Ri pi = 0 0 0 1 with the orientation matrix :   cos(θi ) − cos(αi ). sin(θi ) sin(αi ). sin(θi ) Ri =  sin(θi ) cos(αi ). cos(θi ) − sin(αi ). cos(θi )  0 sin(αi ) cos(αi ) and the position vector:   ai . cos(θi ) pi =  ai . sin(θi )  bi D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 110 / 165
  • 142. Calculer le MDG Déterminer: X=( 0R 0 P ) 0 1 X = FMGD (q1 , q2 , . . . , qi , ζ) Repère mobile q4 La transformation homogène entre le q3 repère Ω0 et le repère mobile Ωn est q2 obtenue telle que : q1 HCK = H0 .H1 . . . HnRepère de base Il faut projeter HCK sur X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ] D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 111 / 165
  • 143. De la matrice DH vers 6 parametersTx , Ty , Tz , Rx , Ry , RZ Nous souhaitons obtenir X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ] en fonction de des élément de la matrice HCK . Pour la position ...     Tx HCK 1,4 Ty  = HCK 2,4  Tz HCK 3,4 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 112 / 165
  • 144. De la matrice DH vers 6 parametersTx , Ty , Tz , Rx , Ry , RZ Nous souhaitons obtenir X = [Tx , Ty , Tz , Rx , Ry , Rz ] en fonction de des élément de la matrice HCK . Pour l’orientation ... Sachant que : cos θ cos ψ − cos θ sin ψ sin θ R = sin φ sin θ cos ψ + cos φ sin ψ cos φ cos ψ − sin φ sin θ sin ψ − sin φ cos θ − cos φ sin θ cos ψ + sin φ sin ψ cos φ sin θ sin ψ + sin φ cos ψ cos φ cos θ HCK 3,2 .HCK 1,1 − HCK 3,1 .HCK 1,2 Rx = arctan HCK 1,1 .HCK 2,2 − HCK 1,2 .HCK 2,1 HCK 1,3 Ry = arctan HCK 2 + HCK 2 + HCK 2 + HCK 2 1,1 1,2 2,3 3,3 HCK 2,3 .HCK 3,1 − HCK 2,1 .HCK 3,3 Rz = arctan HCK 2,3 .HCK 3,2 − HCK 2,2 .HCK 3,3 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 113 / 165
  • 145. Le Modèle Géométrique Inversedes robots séries X=( 0R 0 P ) 0 1 Repère mobile q4 q3 q2 q1 Repère de base Déterminer: [q1 , q2 , . . . , qn ] = FMGI (X , ζ) avec ζ les paramètres géométriques (paramètres qui définissent la géométrie du robot série). D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 114 / 165
  • 146. Le MGIexemple Repère mobile X = ... 3 0 1 t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) t3 θ3 T 2,3 @ t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) A R 2,3 θ1 + θ2 + θ3 2 t2 θ T1,2 Calculer le MGI, c’est déterminer: 2 R1,2 1 [θ1 , θ2 , θ3 ] = FMGI (X1 , X2 , X3 , ζ) t1 T 0,1 R 0,1 θ1 Repère base avec ζ = [t1 , t2 , t3 ] 0 mécanisme 3R plan D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 115 / 165
  • 147. Le MGI exemplerésolution Géométrique 1/2 Repère mobile Repère mobile t3 θ3 t3 θ3 t2 t1 Repère base Repère base D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 116 / 165
  • 148. Le MGI exemplerésolution Géométrique 1/2 Repère mobile Repère mobile t3 θ3 t3 θ3 t2 t1 Repère base Repère base D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 116 / 165
  • 149. Le MGI exemplerésolution Géométrique 2/2 Repère mobile θ3 θ2 θ3 θ2 θ1 θ1 Repère base D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 117 / 165
  • 150. Le MGI exemplerésolution Algébrique 1 t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) − X1 = 0 t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) − X2 = 0 θ1 + θ2 + θ3 = X3 t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos X3 − X1 = 0 t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin X3 − X2 = 0 t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) = u1 (18) t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) = u2 On sait que cos2 (θ1 + θ2 ) + sin2 (θ1 + θ2 ) = 1 (19) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 118 / 165
  • 151. Le MGI exemplerésolution Algébrique 2 En reportant, les équations 18 dans l’équation 19. (u1 − t1 . cos θ1 )2 + (u2 − t1 . sin θ1 )2 = t2 2 Nous obtenons 2 2 2 2 t1 − t2 + u1 + u2 u1 . cos θ1 + u2 . sin θ1 = 2.t1 sachant que pour l’équation X . sin α + Y . cos α = Z : √ YZ − X X 2 + Y 2 − Z 2 cos α = X2 + Y2 √ XZ + Y X 2 + Y 2 − Z 2 sin α = X2 + Y2 avec = +/ − 1. On en déduit donc θ1 puis θ1 + θ2 → θ2 (en utilisant eq. (18)), puis enfin θ3 . D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 119 / 165
  • 152. Le MGI des robot sérieRésolution numérique Méthode de Newton ∼ 1670 Nous cherchons à déterminer x tel que f (x) = 0, Nous connaissons une f(x) f’(x) approximation de x noté x0 . Nous avons f(y) f (x0 ) − f (x) = f (x0 ).(x0 − x) avec f (x) = 0 nous obtenons : x y f (x0 ) limh→∞ f (x)−f (x+h) = f (x) x = x0 − h f (x0 ) Le schéma de Newton est donc : f (xk ) xk +1 = xk − f (xk ) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 120 / 165
  • 153. Le MGI des robot sérieRésolution numérique Méthode de Newton ∼ 1670 Nous cherchons à déterminer x tel que f (x) = 0, Nous connaissons une f(x) f’(x) approximation de x noté x0 . Nous avons f(y) f (x0 ) − f (x) = f (x0 ).(x0 − x) avec f (x) = 0 nous obtenons : x y f (x0 ) limh→∞ f (x)−f (x+h) = f (x) x = x0 − h f (x0 ) Le schéma de Newton est donc : f (xk ) xk +1 = xk − f (xk ) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 120 / 165
  • 154. Le MGI des robot sérieRésolution numérique Méthode de Newton ∼ 1670 Nous cherchons à déterminer x tel que f (x) = 0, Nous connaissons une f(x) f’(x) approximation de x noté x0 . Nous avons f(y) f (x0 ) − f (x) = f (x0 ).(x0 − x) avec f (x) = 0 nous obtenons : x y f (x0 ) limh→∞ f (x)−f (x+h) = f (x) x = x0 − h f (x0 ) Le schéma de Newton est donc : f (xk ) xk +1 = xk − f (xk ) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 120 / 165
  • 155. Résolution numériqueNewton f (x) = x 3 − 0.5 × x + 0.1 f (x) = 3.x 2 − 0.5 x 3 −0.5×x+0.1 xk +1 = xk − 3×x 2 −0.5 0.8 0.6 x0 0 1 -0.5 -0.4 x1 0.2 0.76 -1.4 11.4 0.4 x2 0.2211 0.6310 -1.0387 7.6095 0.2 x3 0.2218 0.5796 -0.8555 5.0871 –1 –0.5 0 0.5 1 x4 0.5699 -0.7975 3.4121 x –0.2 x5 0.5696 -0.7915 2.3048 x6 -0.7914 1.5799 –0.4 x7 1.1143 x8 0.8270 x9 0.6645 x 3 − 0.5 × x + 0.1 = 0 x10 0.5903 x11 0.5710 x12 0.5696 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 121 / 165
  • 156. Résolution numériqueNewton √ Calculer 3 en utilisant {+, ×, ÷}, 5 et 2. Solution : Résoudre l’équation x 2 − N = 0 x 2 −N xk +1 = xk − 2.x xk +1 = 1 (xk + 2 N xk ) x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
  • 157. Résolution numériqueNewton √ Calculer 3 en utilisant {+, ×, ÷}, 5 et 2. Solution : Résoudre l’équation x 2 − N = 0 x 2 −N xk +1 = xk − 2.x xk +1 = 1 (xk + 2 N xk ) x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
  • 158. Résolution numériqueNewton √ Calculer 3 en utilisant {+, ×, ÷}, 5 et 2. Solution : Résoudre l’équation x 2 − N = 0 x 2 −N xk +1 = xk − 2.x xk +1 = 1 (xk + 2 N xk ) x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
  • 159. Résolution numériqueNewton √ Calculer 3 en utilisant {+, ×, ÷}, 5 et 2. Solution : Résoudre l’équation x 2 − N = 0 x 2 −N xk +1 = xk − 2.x xk +1 = 1 (xk + 2 N xk ) x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
  • 160. Résolution numériqueNewton √ Calculer 3 en utilisant {+, ×, ÷}, 5 et 2. Solution : Résoudre l’équation x 2 − N = 0 x 2 −N xk +1 = xk − 2.x xk +1 = 1 (xk + 2 N xk ) x0 = 5, x1 = 2.8, x2 = 1.9357, x3 = 1.7428, x4 = 1.7321. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 122 / 165
  • 161. Le MGI des robot sérieTechniques utilisées Méthode classique (1970-1980) Utilisable par la plupart des robots industriels Résolution simple, utilisation de modèle de résolution Méthode algébrique (Raghavan et Roth 1990) Technique de l’élimination dyalitique Méthode numérique (Newton) Quand on ne sait pas faire Problème de l’unicité des solutions D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 123 / 165
  • 162. Le MGI des robot sérieMéthode classique 1 Développer l’ensemble des équations possibles HX = H0,1 .H1,2 .H2,3 .H3,4 .H4,5 .H5,6 H1,0 .HX = H1,2 .H2,3 .H3,4 .H4,5 .H5,6 H2,1 .H1,0 .HX = H2,3 .H3,4 .H4,5 .H5,6 H3,2 .H2,1 .H1,0 .HX = H3,4 .H4,5 .H5,6 H4,3 .H3,2 .H2,1 .H1,0 .HX = H4,5 .H5,6 H5,4 .H4,3 .H3,2 .H2,1 .H1,0 .HX = H5,6 −1 avec Hi,j = Hj,i 2 On constate que beaucoup d’équations ont la même forme D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 124 / 165
  • 163. Le MGI des robot sérieMéthode classique 3 On utilise des formules de type ci-après pour résoudre Pour l’équation X . sin α + Y . cos α = Z : p YZ − X X2 + Y2 − Z2 cos α = X2 + Y2 p XZ + Y X 2 + Y 2 − Z 2 sin α = X2 + Y2 avec = +/ − 1 Remarques Si le poignet est d’axes concourants (rotule), la résolution est plus simple. De la même façon, si la chaîne cinématique possède 3R à axes concourants ou 3 articulations prismatiques (qqsoit leurs positions) le MGI est simplifié Le nombre de solutions du MGI d’un robot à 6 liaisons varie mais ≤ 16. (16 pour RRRRRR) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 125 / 165
  • 164. Le MGI des robot sérieMéthode Algébrique, Générale pour un robot à 6 liaisons 1 On utilise les formules suivantes pour obtenir des équations algébriques 1 − tan2 α 2 cos α = 1 + tan2 α 2 2.tan α 2 sin α = 1 + tan2 α2 2 On utilise une méthode d’élimination algébrique pour éliminer 5 variables parmi les 6 3 On obtient un polynôme de degré 16 4 Les racines de ce polynômes nous fournissent les solutions D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 126 / 165
  • 165. Le MGI des robot sérieMéthode Numérique (pour les cas à problèmes) On utilise un schéma de Newton multivarié : Xk +1 = Xk − J −1 (XK )F (Xk ) Avec F = [f1 , . . . , fn ]T , X = [x1 , . . . , xn ]T et J la jacobienne du système définie par :   ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂x1 ∂x2 ... ∂xn  ∂f2 ∂f2 ∂f2   ∂x1 ∂x2 ... ∂xn   . .    J= . .   ∂f . ... ... .   n−1 . . . ∂fn−1 ∂fn−1   ∂x1 ∂xn−1 ∂xn  ∂fn ∂fn ∂fn ∂x1 . . . ∂xn−1 ∂xn Attention ! ne fournit qu’une seule solution D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 127 / 165
  • 166. Le cas des robots parallèlesLe MGI R .bi P Modèle Géométrique Inverse ρi = Li + li = MGI(P, R, ξi ) ρi 2 = P + R.bi − ai 2 ai ρ = P + R .bi − ai D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 128 / 165
  • 167. Le cas des robots parallèlesLe MGD „ « P X = = MGD(ρ, ξ) R Résoudre le système en P, R : ρ1 2 − P + R.b1 + a1 2 =0 ρ2 2 − P + R.b2 + a2 2 =0 2 2 ρ3 − P + R.b3 + a3 =0 ρ4 2 − P + R.b4 + a4 2 =0 ρ5 2 − P + R.b5 + a5 2 =0 2 2 ρ6 − P + R.b6 + a6 =0 Méthodes numériques [Newton, continuation, analyse par interval] Méthodes algébriques [Groebner, resultant] D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 129 / 165
  • 168. Le cas des robots parallèlesLe MGD „ « P X = = MGD(ρ, ξ) R Résoudre le système en P, R : ρ1 2 − P + R.b1 + a1 2 =0 ρ2 2 − P + R.b2 + a2 2 =0 2 2 ρ3 − P + R.b3 + a3 =0 ρ4 2 − P + R.b4 + a4 2 =0 ρ5 2 − P + R.b5 + a5 2 =0 2 2 ρ6 − P + R.b6 + a6 =0 Méthodes numériques [Newton, continuation, analyse par interval] Méthodes algébriques [Groebner, resultant] D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 129 / 165
  • 169. Le cas des robots parallèlesLe MGD „ « P X = = MGD(ρ, ξ) R Résoudre le système en P, R : ρ1 2 − P + R.b1 + a1 2 =0 ρ2 2 − P + R.b2 + a2 2 =0 2 2 ρ3 − P + R.b3 + a3 =0 ρ4 2 − P + R.b4 + a4 2 =0 ρ5 2 − P + R.b5 + a5 2 =0 2 2 ρ6 − P + R.b6 + a6 =0 Méthodes numériques [Newton, continuation, analyse par interval] Méthodes algébriques [Groebner, resultant] D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 129 / 165
  • 170. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 130 / 165
  • 171. Le Modèle Cinématique Direct ˙ Le MCD décrit les vitesses des coordonnées opérationnelles X en ˙ fonction des vitesses articulaires q : ˙ ˙ X = J(q)q avec J(q) la jacobienne du mécanisme donnée par   ∂f1 ∂f1 ∂f1 ...  ∂x2 ∂f 1 ∂x2 ∂f2 ∂xn ∂f2   ∂x1 ∂x2 ... ∂xn   . .    J= . . ... ... .  .   ∂f  n−1 . . . ∂fn−1 ∂fn−1   ∂x1 ∂xn−1 ∂xn  ∂fn ∂fn ∂fn ∂x1 . . . ∂xn−1 ∂xn D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 131 / 165
  • 172. Le Modèle Différentiel Direct Le MDD décrit les variations élémentaires dX des coordonnées opérationnelles en fonction des variations élémentaires des coordonnées articulaires dq: dX = J(q)dq avec J(q) la jacobienne du mécanisme donnée par   ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂x1 ∂x2 ... ∂xn  ∂f2 ∂f2 ∂f2   ∂x1 ∂x2 ... ∂xn   . .    J= . .   ∂f . ... ... .   n−1 . . . ∂fn−1 ∂fn−1   ∂x1 ∂xn−1 ∂xn  ∂fn ∂fn ∂fn ∂x1 . . . ∂xn−1 ∂xn D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 132 / 165
  • 173. Comment obtenir cette jacobienne ?3RRR plan Repère mobile 3 t3 θ3 T 2,3 R 2,3 2 t2 θ T1,2 2 R1,2 1 t1 T 0,1 R 0,1 θ1 Repère base 0 mécanisme 3R plan 0 1 0 1 Px t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) X = @Py A = @ t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) A Θ θ1 + θ2 + θ3 Nous obtenons cette matrice en dérivant les équations du MGD. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 133 / 165
  • 174. Comment obtenir cette jacobienne ?3RRR plan 0 1 0 1 Px t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) X = @Py A = @ t1 . sin θ1 + t2 . sin (θ1 + θ2 ) + t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) A Θ θ1 + θ2 + θ3 Nous obtenons cette matrice en dérivant les équations du MGD. 0 ∂Px ∂Px ∂Px 1 ∂θ ∂θ2 ∂θ3 B ∂P1y ∂Py ∂Py J = C @ ∂θ1 ∂θ2 ∂θ3 A ∂Θ ∂Θ ∂Θ ∂θ1 ∂θ2 ∂θ3 0 −t1 . sin θ1 − t2 . sin (θ1 + θ2 ) − t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) −t2 . sin (θ1 + θ2 ) − t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) ... = @ t1 . cos θ1 + t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) t2 . cos (θ1 + θ2 ) + t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) ... 1 1 ... 1 ... −t3 . sin (θ1 + θ2 + θ3 ) ... t3 . cos (θ1 + θ2 + θ3 ) A (20) ... 1 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 134 / 165
  • 175. Comment obtenir cette jacobienne ?cas spatiale Pour les robots séries, cette dérivation peut être très compliquée et difficile à manipuler. Il existe une méthode systématique pour calculer une jacobienne dite cinématique. ˙ X = Jc (q)q (21) avec X , torseur cinématique du repère terminal Ωn . Une projection permet de passer des vitesses des coordonnées opérationnelles aux vitesses de translation, rotation. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 135 / 165
  • 176. Comment obtenir la jacobienne cinématique ?cas spatiale Elle passe par les calculs des vitesses de translation Vk ,n et de rotation wk ,n ˙ induites sur le repère terminal Ωn par la vitesse qk de l’articulation k , X = [Vk ,n , wk ,n ]T Prismatique ˙ Vk ,n = ak qk wk ,n = 0 (22) Rotoïde ˙ Vk ,n = (ak ∧ Lk ,n )qk wk ,n = ˙k ak q (23) avec ak le vecteur unitaire porté par l’axe zk de l’articulation k et Lk ,n le vecteur d’origine Ok et d’extrémité On . D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 136 / 165
  • 177. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 137 / 165
  • 178. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 138 / 165
  • 179. Le cas des robots parallèlesLa jacobienne inverse cinematique D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 139 / 165
  • 180. Ddl d’un manipulateur Le nombre de degrés de liberté de l’organe terminal d’un manipulateur est égale au rang de la jacobienne cinématique. (rang = dimension de la plus grande sous-matrice carré inversible) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 140 / 165
  • 181. Notion de singularités, type I ˙ Pour les robots séries X = J(q)q ˙ Si pour une configuration det(J(q)) = 0, alors il y a singularité. Le robot perd localement la possibilité d’engendrer une vitesse le long ou autour de certaines direction. ou Le robot est en limite de l’espace de travail. (limite structurel) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 141 / 165
  • 182. Notion de singularités, type II ˙ Pour la plate-forme de Gough q = Jinv (X )X ˙ Si pour une configuration det(Jinv (X )) = 0, il y a singularité. Il existera des ˙ ˙ vitesses X non nulles pour lesquelles les vitesse articulaires q sont nulles. Au voisinnage de telle configuration le robot peut effectuer des mouvements infinitésimaux sans modification de commande. en conséquence certains ddl deviennent non commandables. ou T Sachant que F = Jinv τ si det(Jinv ) → 0 alors τ → ∞. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 142 / 165
  • 183. D. Daney INRIA ¡  ¢ ¡ Notion de singularités ¢ ¢ _ si det V = 0 singularité de Type I ¦ ¥¢¥¦ si det U = 0 singularité de Type II _ ©¢© ¢ Cours Robotique UX + Vq = 0 ¢ ¨ §¢§¨ ¤ £¢£¤ Pour les robots parallèles (générale) Figure: mécanisme 3R plan parallèle200x (24)143 / 165
  • 184. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 144 / 165
  • 185. Modéle statique Le modèle statique décrit les couples et forces τ que doivent fournir les actionneurs d’un robot pour que l’organe terminal puisse exercer un effort statique F sur son environement : Pour les robots série, nous obtiendrons facilement le modèle directe: τ = JT F avec J la jacobienne cinématique du mécanisme. Pour les robots parallèles, nous obtiendrons facilement le modèle inverse : F = J −T τ avec J 1 la jacobienne inverse cinématique du mécanisme. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 145 / 165
  • 186. Modéle statique Afin d’obtenir le modèle inverse pour les robots séries directe pour les robots parallèles Le probléme revient à inverser la matrice J T ou bien J −T . D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 146 / 165
  • 187. Outline 1 Introduction Historique Les robots Domaines d’expertises Domaînes d’applications 2 Représentation des transformations et des mouvements rigides Notion de degrés de liberté Un exemple simple Représentation des transformations rigides 3 Les manipulateurs Notion de liaisons Les chaînes cinématiques Les robot séries Les robots parallèles 4 Les modèles des robots manipulateurs Le Modèle Géométrique Direct/Inverse Les Modèles Cinématiques Direct/Inverse Le Modèle Statique Les Modèles Dynamiques 5 Notions complementaires des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 147 / 165
  • 188. Modéle dynamiquerobot série Forme générale des équations dynamiques ¨ ˙ ˙ ˙ ˙ Γ = A(q)q + C(q, q)q + Q(q) + F (q) − H signe(q) Γ, efforts actionneurs A, matrice d’inertie C, efforts centrifuges et de coriolis Q(p), couple/forces de gravité ˙ F (q), frottements visqueux ˙ H signe(q) frottements secs D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 148 / 165
  • 189. Formalisme de Newton-Euler Formalisme de Lagrange Il est basé sur l’expression des torseurs dynamiques (forces et moments)Décrit les équations du mouvemement en appliqués aux centres de gravités determes de travail et d’énergie du système. chaque articulation. (détermine A, C, Q, F et H) Un algorithme itératif permet alors d’exprimer le modèles dynamique.Très couteux (40000 opérations pour un RRPRRR). Moins couteux (400 opérations pour un RRPRRR). Attention, une identification des paramètres dynamiques est souvent nécessaire. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 149 / 165
  • 190. Espace de travail, définitions et problématique Définitions Soit, Q, l’espace articulaire définie par : Q = {q = [q1 , . . . , qn ]|qi Min ≤ qi ≤ qi Max , ∀i = 1, . . . , n} L’espace de travail (W ) d’un robot est l’image de Q par le modéle géométrique direct : W = FMGD (Q) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 150 / 165
  • 191. Espace de travail, définitions et problématique Définitions Soit, Q, l’espace articulaire définie par : Q = {q = [q1 , . . . , qn ]|qi Min ≤ qi ≤ qi Max , ∀i = 1, . . . , n} L’espace de travail (W ) d’un robot est l’image de Q par le modéle géométrique direct : W = FMGD (Q) D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 150 / 165
  • 192. Espace de travail, définitions et problématique Intérêts Définition d’une trajectoire conception D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 151 / 165
  • 193. Espace de travail, définitions et problématique Intérêts Définition d’une trajectoire conception D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 151 / 165
  • 194. Espace de travail, définitions et problématique Problèmes Difficile à représenter. Répresentation à orientation constante Difficile à obtenir. En pratique, il est nécessaire d’ajouter des contraintes (débattements articulaires, singularités, obstacles, ...). Exemple : définir une trajectoire où tous les positionnemnt successifs sont possibles débattement articulaires passif et actif collision sans singularité (pas forcement à la frontière de W) orientation possible (toutes orientations : espace dextre) précision D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 152 / 165
  • 195. Espace de travail, définitions et problématique Problèmes Difficile à représenter. Répresentation à orientation constante Difficile à obtenir. En pratique, il est nécessaire d’ajouter des contraintes (débattements articulaires, singularités, obstacles, ...). Exemple : définir une trajectoire où tous les positionnemnt successifs sont possibles débattement articulaires passif et actif collision sans singularité (pas forcement à la frontière de W) orientation possible (toutes orientations : espace dextre) précision D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 152 / 165
  • 196. Calcul de l’espace de travail Géométrie algorithmique, intersection de volumes Recherche de points particuliers + Segmentation de l’espace de travail Utilisation des courbes de singularités D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 153 / 165
  • 197. Propriété des robots De nombreuses propriétés associées aux robots sont quantifié à travers l’évaluation de valeurs propres (solution de det(J − σ.I) = 0 → [σ1 . . . σn ] ) . ...dq ... ∆ q . q 1 1 1 X J σ2 . 1 q σ1 2 Singularité, Précision , Isotropie → dextérité ... D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 154 / 165
  • 198. Notion de conception Déterminer les paramètres géométriques tel que les propriétés des robots soient optimisés : max C ζ avec ζ paramètres géométriques et un ou plusieurs critères de conception C = F{Espace de travail, localisation des singularité, rigidité, précision, etc} Utilisation de l’optimisation numérique. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 155 / 165
  • 199. Étalonnage des robots Étalonnage = Calibration = Calibrage Problème : ζRéel = ζThéorique Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateur Conséquences : Déterioration de la commande But : Améliorer de la précision de positionnement Comment : Étalonnage du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
  • 200. Étalonnage des robots Étalonnage = Calibration = Calibrage Problème : ζRéel = ζThéorique Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateur Conséquences : Déterioration de la commande But : Améliorer de la précision de positionnement Comment : Étalonnage du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
  • 201. Étalonnage des robots Étalonnage = Calibration = Calibrage Problème : ζRéel = ζThéorique Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateur Conséquences : Déterioration de la commande But : Améliorer de la précision de positionnement Comment : Étalonnage du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
  • 202. Étalonnage des robots Étalonnage = Calibration = Calibrage Problème : ζRéel = ζThéorique Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateur Conséquences : Déterioration de la commande But : Améliorer de la précision de positionnement Comment : Étalonnage du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
  • 203. Étalonnage des robots Étalonnage = Calibration = Calibrage Problème : ζRéel = ζThéorique Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateur Conséquences : Déterioration de la commande But : Améliorer de la précision de positionnement Comment : Étalonnage du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
  • 204. Étalonnage des robots Étalonnage = Calibration = Calibrage Problème : ζRéel = ζThéorique Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateur Conséquences : Déterioration de la commande But : Améliorer de la précision de positionnement Comment : Étalonnage du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
  • 205. Étalonnage des robots Étalonnage = Calibration = Calibrage Problème : ζRéel = ζThéorique Causes : Erreurs de fabrication et d’assemblage du manipulateur Conséquences : Déterioration de la commande But : Améliorer de la précision de positionnement Comment : Étalonnage du robot D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 156 / 165
  • 206. Étalonnage classique des robots ζ P q Paramètres X Géométriques R Données (mesures) Inconnues MGD ζ P q Paramètres X Géométriques R Données Inconnues MGI D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 157 / 165
  • 207. Étalonnage classique des robots Pour une configuration de mesures ζ P q Paramètres X Géométriques R Données (mesures) Inconnues Étalonnage avec mesures externes Figure: 6 informations supplementaires Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avec 6 ∗ N ≤ M. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 158 / 165
  • 208. Étalonnage redondant des robots Pour une configuration de mesures ζ P q Paramètres X Géométriques R Données (mesures) Étalonnage Inconnues avec mesures redondantes Figure: 1 informations supplementaires Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avec N ≤ M. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 159 / 165
  • 209. Étalonnage sous contraintes des robots Pour une configuration de mesures ζ P q Paramètres X Géométriques R Données (mesures) Étalonnage Inconnues sous contraintes Figure: 3 informations supplementaires Pour M paramètres géométriques il faudra que N configurations de mesures avec 3 ∗ N ≤ M. D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 160 / 165
  • 210. Étalonnage des robots Problèmes : Identifiabilité Recherche de points particuliers + Segmentation de l’espace de travail Utilisation des courbes de singularités D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 161 / 165
  • 211. Étalonnage externe des robots D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 162 / 165
  • 212. Génération de mouvements qf Génération qd (t) + de mouvement Asservissement en q − q i d f X(t) qd + (t) X Génération MGI de mouvement Asservissement en X − Xi qi MGD Figure: Génération de mouvement, espace articulaire Vs. opérationnel D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 163 / 165
  • 213. Génération de mouvements Espace opérationnelEspace articulaire + Contrôle sur la trajectoire de l’OT + Peu de calculs (pas de MGI, MDG) (collisions) + Pas de problème de singularités − calculs lourds (MGI, MDG) + les contraintes de vitesses et de − problème de singularités couples maximaux directement − Vérification de la trajectoire (dans déductibles des limites physiques l’espace de travail) des actionneurs − les contraintes de vitesse et de − Peu de contrôle sur la trajectoire de couples varient en fonction de la l’OT (collisions) trajec. : on utilise des valeurs moyennes (peu efficaces)Pour déplacements rapides sansobstacles Pour déplacements précis, avec obstacles D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 164 / 165
  • 214. Commande des robots qd + − Kp Γ q + + . KI + Robot . qd + q KV − Commande PID d’une articulation Z t Γ = Kp (q d − q) + Kv (q d − q) + KI ˙ ˙ (q d − q)dτ t0 Du modèle dynamique d’une articulation on en déduit : Kpj = 3aj wj2 Kvj + Fvj = 3aj wj KIj = 3aj wj3 D. Daney INRIA Cours Robotique 200x 165 / 165

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