Persamaan lagrange dan hamilton
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
10,405
On Slideshare
10,404
From Embeds
1
Number of Embeds
1

Actions

Shares
Downloads
538
Comments
0
Likes
4

Embeds 1

https://twitter.com 1

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiPersamaan Lagrange dan Hamilton Pada bagian awal kita telah menggunakan hukum-hukum Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda.Dengan menggunakan hukum ini kita dapat menurunkanpersamaan gerak benda. Hukum Newton dapat diterapkan, jikagaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui. Namun dalamkebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang tidakmudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerakserta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, bendayang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola.Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yangbekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesianmaupun koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan,sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui. Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatanyang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan geraksistem yang pertama dikembangkan oleh matematikawanPerancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalismeLagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat pulaformalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanyaterletak pada koordinat umum yang dipakai. FormalismeHamilton menggunakan posisi dan kecepatan sebagaikoordinat rampatan yang menghasilkan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi danmomentum digunakan untuk koordinat rampatan yangmenghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yangdiperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten denganhasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukumNewton. 1
  • 2. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiA. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM) Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakandengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupakoordinat Kartesian, koordinat bola atau koordinat silinder.Jika partikel bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuahpermukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan duakoordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untukpartikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau padalintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinatsaja. Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, makadiperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakanposisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlahminimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakankonfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakandengan q1, q2, …..qn (1)yang disebut dengan koordinat rampatan (generalizedcoordinates). Istilah rampat diambil dari kata merampat danpapan Koordinat qk dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiapkoordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya; sistemtersebut dinamakan holonomic. Jumlah koordinat n dalam halini disebut dengan derajat kebebasan sistem tersebut. Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masingkoordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain,yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebihkecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untukmenyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistemnonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur padasebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untukmenyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untukmenyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk
  • 3. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadimenyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinattersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bolatersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mestiberubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasidiri pada sistem holonomic. Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebihmudah diungkapkan dengan menggunakan koordinatKartesius: x = x(q) (satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva). x = x(q1,q2) (dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah permukaan). x = x(q1,q2,q3) y = y(q1,q2,q3) z = z(q1,q2,q3) (tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang) Misalkan q berubah dari harga awal (q1,q2, ….)menuju harga (q1+δq1,q2+δq1 ..). Perubahan koordinat Kartesiusyang bersesuaian adalah : ∂x ∂x δx = δq 1 + δq 2 + ..... (2) ∂q 1 ∂q 2 ∂y ∂y δy = δq 1 + δq 2 + ..... (3) ∂q 1 ∂q 2 3
  • 4. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi ∂z ∂z δz = δq 1 + δq 2 + ..... (4) ∂q 1 ∂q 2Turunan parsial ∂x/∂q1 dan seterusnya adalah fungsi dari q.Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalambidang. Misalkan kita memilih koordinat kutub untukmenyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini : q1 = r q2 = θ (5)Selanjutnya : x = x(r,θ) = r cosθ y = y(r,θ) = r sinθ (6)dan ∂x ∂x δx = δq 1 + δq 2 = cos θ δr - r sin θ δθ (7) ∂q 1 ∂q 2 ∂y ∂y δy = δq 1 + δq 2 = sin θ δr + r cos θ δθ (8) ∂q 1 ∂q 2 Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandungsejumlah n partikel; dalam hal ini mengandung n derajatkebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan : q1, q2, …..qn (9)Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q1, q2, …..qn) kekonfigurasi di dekatnya (q1+δq1, q2+δq2, …qn+δqn) menyatakanperpindahan partikel ke i dari titik (x i,yi,zi) ke titik di dekatnya(xi+δxi,yi+δyi,zi+δzi) dimana:
  • 5. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi n ∂x i δx i = ∑ ∂q k =1 k δq k (10) n ∂y i δy i = ∑ ∂q k =1 k δq k (11) n ∂z i δz i = ∑ ∂q k =1 k δq k (12) Persamaan (10–12) menunjukkan bahwa turunanparsialnya merupakan fungsi q. Selanjutnya kita akanmengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular,dan indeks k untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol x ikita pakai untuk menyatakan sembarang koordinat rectangular.Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapatberharga antara 1 dan 3N.B. GAYA RAMPATAN Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh δrdibawah pengaruh sebuah gaya aksi F, gaya yang bekerjapadanya dinyatakan dengan δW = F ⋅ δr = Fx δx + Fy δy + Fz δz(13)Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan δW = ∑F δx i i i (14) 5
  • 6. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlakuuntuk partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyakpartikel. Untuk satu partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3.Untuk N partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3N. Jika pertambahan δxi dinyatakan dalam koordinatrampatan, maka diperoleh  ∂x i  δW = ∑ F ∑ ∂q i   i k k δq k     ∂x i  = ∑ ∑F ∂q   i k i k δq k    (15)  ∂x i  = ∑ ∑F ∂q   i k i k  δq k Persamaan di atas juga dapat ditulis δW = ∑Q k k δq k (16)dimana :  ∂x i  Qk = ∑  F dq   i k    (17) Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan diatas disebut dengan gaya rampatan. Oleh karena perkalianQkδqk memiliki dimensi kerja/usaha, maka dimensi Qk adalahgaya jika qk menyatakan jarak, dan dimensi Qk adalah torka,jika qk menyatakan sudut.
  • 7. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM KONSERVATIF Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalamsebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya tersebutdinyatakan oleh persamaan ∂V Fi = − ∂x i(18)dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Olehkarena itu perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan  ∂V ∂x i  Q k = −   ∑ ∂x i i ∂q k    (19)Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunanparsial fungsi V terhadap qk. Oleh karena itu ∂V Qk = − (20) ∂q kMisalkan, kita menggunakan koordinat kutub, q1 = r ; q2 = θ,maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan Qr = -∂V/∂r ; Qθ= -∂V/∂θ. Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus gayasentral), maka Qθ = 0. 7
  • 8. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiD. PERSAMAAN LAGRANGE Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuahbenda yang dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapatmemulai dengan persamaan berikut: Fi = m i  i x (21)dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaantersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakaiadalah dari persamaan energi. Kita akan menghitung energikinetik T dalam bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnyakita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan turunannyaterhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yangmengandung N partikel dapat dinyatakan dengan ∑[ ] k T= 1 2 m i ( x 1 + y i2 + z i2 2   (22) i =1atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut 3N T= ∑ i =1 1 2 m i x i2  (23)Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat xdan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kitadapat misalkan x i = x i ( q 1 , q 2 ,..., q n , t ) (24)dan selanjutnya
  • 9. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi ∂x i ∂x i xi =  ∑ ∂q k qk +  ∂t (25) Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwaharga i adalah 1,2, …..3N dimana N menyatakan jumlahpartikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana nmenyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan)sistem. Oleh karena itu kita dapat melihat bahwa energi kinetiksebagai fungsi koordinat rampatan, turunannya terhadapwaktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu ttidak secara eksplisit terkait hubungan antara x i dan qk,sehingga ∂xi/∂t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakanfungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan q k .  ∂x i  ∂x iDari persamaan = ∂q k  ∂q k(26)Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan x i dan diferensialkan terhadap t, akan diperoleh: d  ∂x i  d  ∂x i    xi   ∂q  = dt  x i ∂q   dt  k    k   ∂x i ∂x i  =  i x + xi  (27) ∂q k ∂q katau d  ∂ x i2   ∂x i ∂  x i2     x    ∂q 2  =  i ∂q + ∂q dt   k  2  (28)  k k   9
  • 10. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiJika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan m i  i = Fi , kita dapat peroleh x d ∂  m i x i2   ∂x ∂  m i x i2     = Fi i +   (29)  2 dt ∂q k    ∂q k ∂q k  2    Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh : d ∂T  ∂x i  ∂T dt ∂q k  = ∑  F ∂q i   i k  +  ∂q k (30)Dari definisi gaya rampatan kita peroleh d ∂T ∂T = Qk + (31) dt ∂q k  ∂q kIni adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalamkoordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrangeuntuk gerak. Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaanLagrange dapat ditulis sebagai berikut: d ∂T ∂T ∂V = − dt ∂q k  ∂q k ∂q k(32)Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkatdengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni
  • 11. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi L=T-V (33)Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalamkoordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan ∂V / ∂q k = 0 , kita peroleh ∂L ∂T ∂L ∂T ∂V = dan = − ∂q k  ∂q k  ∂q k ∂q k ∂q k(34)Persamaan Lagrange dapat ditulis d ∂L ∂L = (35) dt ∂q k  ∂q kPersamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatifdapat dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentukkoordinat tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidakkonservatif, misalkan nilainya adalah Q k , maka kita dapatmenuliskan ∂V Q k = Q k − (36) ∂q kSelanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsiLagrangian L = T - V, dan menuliskan persamaan diferensialgerak dalam bentuk d ∂L ∂L = Q k + (37) dt ∂q k  ∂q k 11
  • 12. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi d ∂L ∂L − = Qk (37) dt ∂q  k ∂qkBentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekandiperhitungkan.E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN LAGRANGE Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalanpersamaan Lagrange untuk menyelesaikan masalah-masalahgerak. Prosedur umum yang dipakai untuk mencari persamaandiferensial gerak dari sebuah sistem adalah sebagai berikut:1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi sistem.2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut beserta turunannya terhadap waktu.3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak konservatif, cari koordinat rampatan Qk.4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan menggunakan persamaan di atas.Beikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya :1. Pandanglah sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel tersebut.
  • 13. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Misalkan koordinat polar (r,θ) digunakan sebagai koordinat rampatan. Koordinat Cartesian (r,θ) dapat dihubungkan melalui : x = r cos θ y = r sin θ Energi kinetik partikel dapat ditulis : T = 1 mv 2 = 1 m ( x 2 + y 2 ) = 1 m ( r 2 + r 2 θ2 ) 2 2   2   Energi potensial oleh gaya sentral k k V=− =− (x + y2 ) 1/ 2 2 rPersamaan Lagrange untuk sistem ini: k L = T − V = 1 m ( r 2 + r 2θ2 ) + 2   rDari persamaan Lagrange: d ∂T ∂T ∂V = − dt ∂q k  ∂q k ∂q k d  ∂L  ∂L   ÷− =0 dt  ∂q k  ∂q kSubstitusi q1 = r dan q2 = θ, diperoleh: 13
  • 14. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi d  ∂L  ∂L   ÷− =0 dt  ∂r  ∂r d  ∂L  ∂L   ÷− =0 dt  ∂θ  ∂θDari kedua persamaan di atas diperoleh: ∂L = mr  ∂r  d  ∂L    ÷ = mr dt  ∂r  ∂L  k = mrθ2 − 2 ∂r  r  k mr 2 − mrθ2 = −  r2Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif : ∂V(r) ∂ k F(r) = − = − − 2 ÷ ∂r ∂r  r Jadi :   mr 2 = mrθ2 + FrDari persamaan Lagrange : ∂L 2 ∂L  = mr θ =0 ∂θ ∂θ
  • 15. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi d  ∂L   2   ÷ = 2mrrθ + mr θ dt  ∂θ  2mrrθ + mr 2 = 0  θ d dJatau : dt (  mr 2 θ = ) dt =0Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yangnilainya konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan  J = mr 2 θ = konstanBerdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa dalammedan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapangerak.2. Osilator Harmonik Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi Lagrangiannya adalah L=T-V= 1 2 mx 2 − 1 kx 2  2 (38) dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas. Selanjutnya: 15
  • 16. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi ∂L ∂L = mx dan  = −kx ∂x  ∂x (39) Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang harganya sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q = -c  , sehingga persamaan gerak dapat x ditulis : d ( mx ) = −cx + ( −kx )   dt (40) mx +  +  cx kx =0 Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal.3. Partikel yang berada dalam medan sentral. Mari kita rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih koordinat polar q1 = r, q2 = θ. Maka 2 2  (  T = 1 mv 2 = 1 m r 2 + r 2 θ 2 ) (41) V = V(r ) (42) 2 (  ) L = 1 m r 2 + r 2 θ 2 − V( r ) (43) Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh :
  • 17. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi ∂L ∂L  = mr  = mrθ2 −f ( r ) ∂r  ∂r(44) ∂L ∂L  =0 = mr 2 θ ∂θ  ∂θ (45) Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya adalah : d ∂L ∂L d ∂L ∂L = = (46) dt ∂r  ∂r  dt ∂θ ∂θ r 2 m = mrθ +f (r ) d dt ( ) mr 2 θ = 0 (47)4. Mesin Atwood Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan m2 dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m 1 seperti yang ditunjukkan pada gambar.a l-x x m1 17 m2
  • 18. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Gambar 2. 1 Mesin atwood tunggal Kecepatan sudut katrol adalah x / a , dimana a adalah jari- jari katrol. Energi kinetik sistem ini adalah : x2  T = 1 m1 x 2 + 1 m 2 x 2 + 1 I 2  2  2 (48) a2dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistemadalah : V = −m2 gx − m1 g( l − x ) (49)Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan,sehingga fungsi Lagrangiannya adalah  I  L = 1  m1 + m 2 + 2  x 2 + g( m1 − m 2 ) x + m 2 gl 2  (50)  a dan persamaan Lagrangenya adalah
  • 19. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi d ∂L ∂L = dt ∂x  ∂x (51)yang berarti bahwa :  I   m1 + m 2 + 2   = g( m1 − m 2 ) x (52)  a  atau m1 − m 2  = g x (53) m1 + m 2 + I / a 2adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m 1>m2, maka m1akan bergerak turun, sebaliknya jika m1<m2 maka m1 akanbergerak naik dengan percepatan tertentu.5. Mesin Atwood Ganda Mesin Atwood ganda diperlihatkan pada gambar 2.2..Nampak bahwa sistem tersebut mempunyai dua derajatkebebasan. Kita akan menyatakan konfigurasi sistem dengankoordinat x dan x. Massa katrol dalam hal ini diabaikan (untukmenyederhanakan persoalan). Energi kinetik dan energi potensial sistem adalah : T = 1 m1 x 2 + 1 m 2 ( − x + x ) 2 + 1 m 3 ( − x − x ) 2 2  2   2   (54) V = −m 1gx − m 2 g( l − x + x ) − m 3 g( l − x + l−x )(55) 19
  • 20. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadidimana m1, m2 dan m3 adalah massa masing-masing beban, danl serta l adalah panjang tali penghubungnya. l-x x m1 l-x’ m2 m3
  • 21. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Gambar 2.2. Mesin Atwood GandaL = 1 m1x 2 + 1 m 2 (− x + x ) 2 + 1 m 3 (− x − x ) 2 + g(m1 − m 2 − m 3 )x + 2  2   2   g(m 2 − m3 )x + tetapan (56)sehingga persamaan geraknya dapat ditulis : d ∂L ∂L d ∂ L ∂L = = dt ∂x  ∂x dt ∂ ∂ x x(57)dengan penyelesaian m1 + m 2 (  −  ) + m 3 (  +  ) = g( m1 − m 2 − m 3 ) x x x x x (58) m 2 ( − +  ) + m 3 (  +  ) = g( m 2 − m 3 ) x x x x (59)dan dari persamaan ini percepatan  dan x  dapat xditentukan.6. Partikel yang bergerak pada bidang miring yang dapat digerakkan. Mari kita tinjau sebuah persoalan dimana sebuah partikelmeluncur pada sebuah bidang miring yang juga dapat bergerakpada permukaan datar yang licin, seperti yang ditunjukkanpada gambar 2.3. Dalam persoalan ini terdapat dua derajatkebebasan, sehingga kita butuhkan dua koordinat untukmenggambarkan keadaan sistem yang kita tinjau. Kita akanmemilih koordinat x dan x yang masing-masing menyatakanpergeseran dalam arah horisontal bidang terhadap titik acuan 21
  • 22. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadidan pergeseran partikel dari titik acuan terhadap bidang sepertiyang ditunjukkan pada gambar. Dari analisis diagram vektor kecepatan, nampak bahwakuadrat kecepatan partikel diperoleh dengan menggunakanhukum kosinus : v 2 = x 2 + x 2 + 2 xx cos θ    (60)Oleh karena itu energi kinetiknya adalah T = 1 mv 2 + 1 Mx 2 = 1 m( x 2 + x 2 + 2 x 2 x 2 cosθ) + 1 Mx 2 2 2  2     2 (61)dimana M adalah massa bidang miring dengan sudutkemiringan θ, seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.3. danm adalah massa partikel. Energi potensial sistem tak terkaitdengan x oleh karena bidangnya horisontal, sehingga kitadapat tuliskan : V=mgxsin θ + tetapan (62)dan L = 1 m(x 2 + x 2 + 2xx cos θ) + 1 Mx 2 + mgx sinθ + tetapan 2    2  (63)Persamaan geraknya d ∂L ∂L d ∂ L ∂L = = dt ∂x  ∂x dt ∂ ∂ x x(64)sehingga
  • 23. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi m(  +  cosθ) + M = 0 ; x x x m(  + cosθ) + = mgsinθ x x(65)Percepatan  dan  adalah : x x − g sin θ cos θ − g sin θ  = x  = x m+M ; m cos 2 θ − cos 2 θ 1− m m +M(66) x  θ x  x v m x M θ 23
  • 24. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Gambar 2. 3 Gerak pada bidang miring dan representasi vektornya7. Penurunan persamaan Euler untuk rotasi bebas sebuah benda tegar. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menurunkan persamaan Euler untuk gerak sebuah benda tegar. Kita akan tinjau kasus torka - rotasi bebas. Kita ketahui bahwa energi kinetik diberikan oleh persamaan: 1 T= (I1ω1 + I 2 ω2 + I 3 ω3 ) 2 2 2 (67) 2Dalam hal ini harga ω mengacu pada sumbu utama. DalamBagian sebelumnya telah ditunjukkan bahwa ω dapatdinyatakan dalam sudut Euler θ, φ dan ψ sebagai berikut:   ω1 = θ cos ψ + φ sin θ sin ψ   ω = −θ sin ψ + φ sin θ cos ψ (68) 2   ω3 = ψ + φcos θDengan memperhatikan sudut Eulerian sebagai koordinatrampatan, persamaan geraknya adalah: d ∂L ∂L  = dt ∂θ ∂θ(69) d ∂ L ∂L = dt ∂ φ ∂ φ(70)
  • 25. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi d ∂ L ∂L = dt ∂ψ ∂  ψ (71)oleh karena Q (gaya rampatan) semuanya nol. Denganmenggunakan aturan/dalil rantai : ∂L ∂T ∂ω3 = ∂ψ ∂ω3 ∂ψ  (72)Sehingga d ∂ L = I 3ω 3 dt ∂ ψ(73)Dengan menggunakan lagi aturan rantai, kita peroleh ∂T ∂ω ∂ω2 = I1ω1 1 + I 2 ω2 ∂ψ ∂ψ ∂ψ     = I1ω1 ( −θsin ψ + φsin θ cos ψ) + I 2 ω2 ( −θ cos ψ − φsin θsin ψ) = I1ω ω −I 2 ω ω 1 2 2 1 (74)Akibatnya, persamaan 71 menjadi : I 3ω = ω ω ( I1 − I 2 ) 3 1 2(75) 25
  • 26. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadiyang mana seperti yang ditunjukkan dalam bagian sebelumnyaadalah persamaan Euler ketiga untuk rotasi bebas sebuahbenda tegar dibawah pengaruh torka nol. Persamaan Eulerlainnya dapat diperoleh dengan melakukan permutasi siklik(putaran) dari subskrip : 1→2, 2→3, 3→1.8. Pandanglah sebuah benda bermassa m (gambar 2.4)meluncur dengan bebas pada sebuah kawat dengan lintasanberbentuk lingkaran dengan jari-jari a. Lingkaran kawatberputar searah jarum jam pada bidang horisontal dengankecepatan sudut ω disekitar titik O. (a). Selidiki bagaimanagerak benda tersebut, dan (b). Bagaimana reaksi lingkarankawat.
  • 27. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Gambar 2.4. Gerak pada kawat melingkar Perhatikan gambar di atas. C adalah pusat lingkarankawat. Diameter OA membentuk sudut φ = ωt dengan sumbu-X, sedangkan benda bermassa m membentuk sudut θ dengandiameter OA. Jika yang kita perhatikan hanyalah gerak bendabermassa m saja, maka sistim yang kita tinjau memiliki satuderajat kebebasan, oleh karena itu hanya koordinat rampatan q= θ yang dipakai. Berdasarkan gambar 2.4 a dan 2.4 b, kitadapat tuliskan: x = a cos ωt + a cos(ωt + θ) y = a sin ωt + a sin(ωt + θ) x = −aω sin ωt − a [ sin(ωt + θ)] (ωt + θ)   y = aω cos ωt + a[ cos(ωt + θ)] (ωt + θ)  Kuadratkan persamaan-persamaan di atas, kemudianjumlahkan akan diperoleh besaran energi kinetik : 2   2 [  (2 )  ( ) T = 1 m( x 2 + y 2 ) = 1 ma 2 ω 2 + θ + ω + 2ω θ + ω cos θ ] ∂T   ( = ma 2 θ + ω + ω cos θ ) ∂θdan d  ∂T  dt  ∂θ  2 θ (    = ma  − ωθ sin θ  ) 27
  • 28. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi ∂T ∂θ ( ) = −ma 2 ω θ + ω sin θSelanjutnya persamaan Lagrange : d  ∂T  ∂T  − = Q1 dt  ∂q 1  ∂q 1   Dalam hal ini Q1 = 0 dan q1 = θ, maka persamaan yangdihasilkan : ( ) ( )ma 2  − ωθ sin θ + ma 2 θ + ω sin θ = 0 θ    + ω 2 sin θ = 0 θPersamaan di atas menggambarkan gerak benda bermassa mpada lingkaran kawat. Untuk harga θ yang cukup kecil,  + ω2 θ = 0 θyang tak lain adalah gerak bandul sederhana. Bandingkandengan persamaan berikut :  + g θ = 0 θ lDan kita peroleh g g ω2 = atau l = 2 l ωIni berarti bahwa benda bermassa m berosilasi di sekitar garisberputar OA sebagai bandul sederhana yang panjangnyal = g / ω2 . Persamaan tersebut selanjutnya dapat juga
  • 29. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadidigunakan untuk menghitung kecepatan dan posisi bendabermassa m.b.Untuk menghitung reaksi kawat, kita mesti melihatpergeseran virtual massa m dalam suatu arah yang tegakluruspada kawat. Untuk maksud tersebut, kita anggap bahwa jarakCB sama dengan jarak r (merupakan variabel dan bukantetapan), seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.4 c. Makadalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan dan duakoordinat rampatan, yakni r dan θ. Dari gambar nampakbahwa: x = a cos ωt + r cos(ωt +θ ) y = a sin ωt + r sin(ωt +θ )  (x = − aω sin ω t + r cos ( ωt + θ ) − r [ sin( ωt + θ ) ] ω + θ )  (y = aω cos ω t + r sin( ωt + θ ) + r [ cos( ωt + θ ) ] ω + θ ) m( x 2 + y 2 ) 1T =   2 1 2 [  ( = m a 2ω 2 + r 2 + r 2 θ + ω ) 2 ( ) + 2aω r sin θ + 2aω r θ + ω cos θ  ] d  ∂T  ∂T   ∂ r  − ∂ r = Qr  dt  Dimana Qr = R adalah gaya reaksi. Nilai dari ∂ ∂ dan T r∂ ∂ diperoleh dari persamaan (i) dan jika disubstitusi ke T rpersamaan (ii), didapatkan : 29
  • 30. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi [   ( R = m  + aωθ cos θ − r θ + ω r ) 2 (  ) − aω θ + ω cos θ ] r =a , r =0 ,  dan  = 0 r [  ( R = − ma ω 2 cos θ + θ + ω ) 2 ]yang merupakan persamaan yang menyatakan reaksi kawat .9. Bahaslah gerak sebuah partikel dengan massa m yangbergerak pada bidang sebuah kerucut dengan sudut setengahpuncak (half-angle) φ (lihat Gambar 2.5) dimana gaya yangbekerja hanyalah yang disebabkan oleh gaya gravitasi saja.
  • 31. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Gambar 2.5. Gerak pada kerucut Misalkan puncak kerucut berada di titik O (pusatkoordinat dalam gambar), sedangkan sumbu kerucutberimpit dengan sumbu z. Posisi partikel padapermukaan kerucut dapat dinyatakan dengan koordinatCartesian (x,y,z). Namun kita akan gunakan koordinatsilinder ( r , θ, z ) sebagai koordinat rampatannya. Tidaksemua ketiga koordinat tersebut a adalah independen(bebas satu sama lain). Koordinat z dan r dihubungkanoleh parameter φ melalui persamaan : z = r cot φ z = r cot φ  Kemudian diperoleh dua derajat kebebasan. Bisa digunakan r,θ sebagai koordinat umum dan menghilangkan z dengan 31
  • 32. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadimenggunakan persamaan pembatas diatas. Energi kinetikmassa m adalah : T = 1 2 1 2  [   1 2 ] [ ( )  mv 2 = m r 2 + r 2θ 2 + z 2 = m r 2 1 + cot 2 φ + r 2θ 2 ] = 1 2 (  m r 2 csc 2 φ + r 2θ 2  )atauEnergi potensial massa m (anggap V = 0 dan z = 0) : V = mgz = mgr cot φKemudian Lagrangian L sistem : 1 2  (  ) L = T − V = m r 2 csc 2 φ + r 2θ 2 − mgr cot φPersamaan Lagrange untuk koordinat r adalah : d  ∂L  ∂L   ∂ r  − ∂r = 0  dt  Dengan memasukkan nilai L, diperoleh :∂L d  ∂L  ∂L = mr csc 2 φ ,   ∂r  = m csc φ , ∂r = mrθ − mg cot φ   r 2 2∂r  dt  Substitusi nilai ini ke persamaan (*), diperoleh :   − rθ 2 sin 2 φ + g cos φ sin φ = 0 rIni adalah persamaan gerak untuk koordinat r.Persamaan Lagrange untuk koordinat θ adalah :
  • 33. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi d  ∂L  ∂L  − =0 (**) dt  ∂θ  ∂θ   Dengan memasukkan nilai L, diperoleh : ∂L  ∂L = mr 2θ dan =0 ∂θ ∂θSubstitusi nilai ini ke persamaan (ii), diperoleh : d dt ( )d mr 2θ = ( J z ) = 0  dtArtinya  J z = mr 2θ = kons tanF. MOMENTUM RAMPATAN Tinjaulah gerak sebuah partikel tunggal yang bergeraksepanjang garis lurus (rectilinier motion). Energi kinetiknyaadalah T = 1 mx 2 2  (76)dimana m adalah massa partikel, dan x adalah koordinatposisinya. Selanjutnya disamping mendefinisikan momentumpartikel p sebagai hasil kali m x , kita juga dapat mendefinisikan p sebagai kuantitas ∂T ∂x , yakni:  33
  • 34. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi ∂T p= = mx  ∂x (77)Dalam kasus dimana sebuah sistem yang digambarkan olehkoordinat rampatan q1, q2, …, qk … qn, kuantitas pkdidefinisikan dengan ∂L pk = ∂q k  (78)yang disebut momentum rampatan. Persamaan Lagrangeuntuk sistem konservatif dapat ditulis ∂L pk =  ∂q k (79)Misalkan dalam kasus khusus, satu dari koordinatnya,katakanlah qλ, tidak tersirat secara eksplisit dalam L. Maka ∂L pλ =  ∂q λ (80)sehingga p λ = tetapan = c λ (81)Dalam kasus ini, koordinat qλ dikatakan dapat terabaikan(ignorable). Momentum rampatan yang diasosiasikan dengankoordinat terabaikan tak lain adalah tetapan gerak sistem.
  • 35. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Sebagai contoh, dalam persoalan partikel yangmeluncur pada bidang miring yang licin (yang telah dikerjakanpada bagian sebelumnya), kita dapatkan bahwa koordinat x,posisi bidang, tidak tersirat dalam fungsi Lagrangian L. Olehkarena x merupakan suatu koordinat terabaikan, maka ∂L px = = ( M + m) x + mx cos θ = tetapan   ∂x (82)Kita dapat lihat bahwa ternyata p x adalah komponen totaldalam arah mendatar dari momentum linier sistem dan olehkarena tidak terdapat gaya yang bekerja dalam arah mendatarpada sistem, komponen momentum linier dalam arah mendatarharus konstan. Contoh lain koordinat terabaikan dapat dilihat dalamkasus gerak partikel dalam medan sentral. Dalam koordinatpolar (    ) L = 1 m r 2 + r 2 θ2 − V (r ) 2(83)seperti yang diperlihatkan dalam contoh di atas. Dalam kasusini θ adalah koordinat terabaikan dan ∂L  pθ = = mrθ2 = tetapan ∂θ (84)yang sebagaimana telah kita ketahui dari bab terdahulu adalahmomentum sudut di sekitar titik asal. 35
  • 36. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiContohBandul sferis, atau potongan sabun dalam mangkuk. Suatupersoalan klasik dalam mekanika adalah bahwa partikel yangterbatasi untuk berada pada permukaan sferis yang licin dibawah pengaruh gravitasi, seperti sebuah massa kecil meluncurpada permukaan mangkuk yang licin. Kasus ini jugadigambarkan oleh bandul sederhana yang berayun denganbebas dalam sembarang arah, Gambar 2.6. Ini dinamakanbandul sferis, yang dinyatakan sebelumnya dalam bagianterdahulu. z θ l m mg y φ x Gambar 2.6 Bandul sferis
  • 37. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Dalam hal ini terdapat dua derajat kebebasan, dan kitaakan menggunakan koordinat rampatan θ dan φ seperti yangditunjukkan. Hal ini kenyataannya ekivalen dengan koordinatbola dengan r = l = tetapan dimana l adalah panjang talibandul. Kedua komponen kecepatan adalah vθ = lθ  dan vφ =l sin θ . Ketinggian bola bandul, dihitung dari bidang-xy,  φadalah (l - l cos θ) , sehingga fungsi Lagrangian adalah 1 2 2  L= ml (θ + sin 2 θφ2 ) − mgl(1 − cos θ) 2(85)Koordinat φ dapat diabaikan, sehingga diperoleh ∂L  p θ =  = ml2 sin 2 θφ = tetapan ∂θ(86)Ini adalah momentum sudut di sekitar sumbu tegak atausumbu z. Kita akan menundanya untuk persamaan dalam θ: d ∂L ∂L  = dt ∂θ ∂θ(87)yang dapat juga dinyatakan sebagai:   ml 2 θ = ml 2 sin θcos θφ2 − mgl sin θ(88)Mari kita perkenalkan tetapan h, yang didefinisikan dengan: 37
  • 38. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi  p h = sin θφ − φ2 ml(89)Selanjutnya persamaan diferensial gerak dalam θ menjadi  + g sin θ − h 2 cos θ = 0 2 θ (90) l sin 2 θPersamaan (90) mengandung beberapa makna sebagai berikut.Pertama, jika sudut φ konstan, maka h = 0. Akibatnya,persamaan di atas dapat ditulis sebagai :  + g sin θ = 0 θ (91) lyang tak lain adalah persamaan gerak bandul sederhana.Geraknya berada dalam bidang φ = φo = konstan. Kedua, adalahkasus banduk konik (conical pendulum). Dalam hal ini,gantungan bandul menggambarkan suatu lingkaran horisontal,sehingga θ = θo = konstan. Jadi, θ = 0 dan  = 0 , sehingga  θpersamaan (90) dapat disederhanakan menjadi : 2 cos θ o 2 g sin θ o − h =0 (92) l sin 2 θ oatau : g h2 = sin 4 θo sec θo (93) lDari nilai h yang diperoleh pada persamaan di atas, maka 2 g φo = sec θo (94) l
  • 39. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadiyang tak lain adalah persamaan gerak bandul konik. φ=φ2 φ=φ1 Gambar 5 Gambar 2.7 Gerak pada permukaan bolaG. FUNGSI HAMILTON 39
  • 40. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Persamaan Hamilton untuk gerak juga dinamakanpersamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah fungsi darikoordinat rampatan H= ∑q  k k pk −L (95)Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi kinetik sistemadalah fungsi kuadrat dari q dan energi potensialnya merupakan fungsi q saja : L = T (q k , q k ) − V (q k )  (96)Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi homogen, diperoleh ∂L ∂T ∑q p  k k k −L = ∑q  k k ∂q k  = ∑q  k k ∂q k  = 2T (97)Oleh karena itu : H= ∑q k  k p k − L = 2T − (T − V ) = T + V (98)Persamaan ini tak lain adalah energi total dari sistem yang kitatinjau. Selanjutnya, pandang n buah persamaan yang ditulissebagai : ∂L pk = (k = 1,2, …n) (99) ∂q kdan nyatakan dalam q dalam p dan q  q k = q k (p k , q k )   (100)
  • 41. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiDengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan fungsi H yangbersesuaian dengan variasi δp k , δq k sebagai berikut :  ∂L ∂L  δH = ∑p δq k  k k + q k δp k −  ∂q k  δq k −  ∂q k δq k   (101)Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam tanda kurungsaling meniadakan, oleh karena menurut defenisip k = ∂L / ∂q k , oleh karena itu:  δH = ∑[qδp k  k − p k δq k ]  (102)Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan dalampersamaan berikut :  ∂H ∂H  δH = ∑ ∂p  k k δp k + ∂q k δq k   (103)Akhirnya diperoleh : ∂H (104) = qk  ∂p k ∂H = −p k  (105) ∂q kDua persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonikHamilton untuk gerak. Persamaan-persamaan ini terdiri dari 2n 41
  • 42. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadipersamaan defernsial orde-1 (bandingkan dengan persamaanLagrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-2.Persamaan Hamilton banyak dipakai dalam mekanikakuantum (teori dasar gejala atomik).Contoh pemakaian.1. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak osilator harmonik satu dimensi. Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapat dinyatakan sebagai : 1 1 T= mx 2  dan V= Kx 2 2 2 (106) Momentumnya dapat ditulis ∂T p p= = mx atau x =   ∂x  m (107) Hamiltoniannya dapat ditulis : 1 2 K 2 H =T+V = p + x (108) 2m 2 Persamaan geraknya adalah : ∂H ∂H =x  = −p  ∂p ∂x(109)
  • 43. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi dan diperoleh : p =x  Kx = −p  mPersamaan pertama menyatakan hubungan momentum-kecepatan. Dengan menggunakan kedua persamaan di atas,dapat kita tulis : m + Kx = 0 x (110)yang tak lain adalah persamaan osilator harmonik.2. Gunakan persamaan Hamilton untuk mencari persamaan gerak benda yang berada di bawah pengaruh medan sentral.Jawab : Energi kinetik dan energi potensial sistem dapatdinyatakan dalam koordinat polar sebagai berikut: m 2  T= (r + r 2 θ2 )  dan V=V(r) (111) 2Jadi : ∂T pr pr = = mr  r=  ∂r  m(112) ∂T   p pθ =  = mr 2 θ θ = θ2 (113) ∂θ mrAkibatnya : 43
  • 44. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi 2 1 pθ H= (p r + 2 ) + V (r ) 2 2m r(114)Persamaan Hamiltoniannya: ∂H ∂H ∂H  ∂H =r ,  = −p r , = θ, = −p θ ∂p r ∂ r ∂p θ ∂θ(115)Selanjutnya: pr =r  m(116) ∂V (r ) p θ 2 − = −p r  ∂r mr 3(117) pθ  =θ (118) mr 2 − pθ = 0 (119)Dua persamaan yang terakhir menunjukkan bahwa momentumsudut tetap,  p θ = kons tan = mr 2 θ = mh (120)Sedangkan dua persamaan sebelumnya memberikan,
  • 45. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi mh 2 ∂V(r ) m = p r = r  − r3 ∂r (121)untuk persamaan gerak dalam arah radial.H. PERSAMAAN LAGRANGE UNTUK GERAK DALAM MEDAN ELEKTROMAGNETIK Salah satu masalah penting dalam persoalan mekanikaadalah gerak zarah bermuatan dalam medan elektromagnetik.Hal itu dibahas dalam bab ini, khususnya cara penyelesaiannyadengan metode Lagrange. Medan elektromagnetik mempunyai potensial yangbergantung dari kecepatan zarah. Oleh karena itu perludilakukan penanganan terlebih dahulu terhadap bentukmatematika fungsi potensial itu, sehingga kemudian metodeLagrange dapat diterapkan. Suatu zarah dengan massa m dan muatan q yangbergerak dalam medan listrik E dan medan magnet berinduksimagnet B, dipengaruhi geraknya oleh gaya : F=qE+qvxB (122)Dalam ungkapan itu v merupakan kecepatan zarah.Komponen gaya itu dalam arah X berbentuk: 45
  • 46. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi [ Fx = q E x + q y B z − z B y   ](123) Menurut teori elektromagnet, fungsi potensial suatumedan elektromagnet terdiri dari dua bagian berikut : Potensial skalar Ф dan potensial vektor AMasing-masing besaran itu berkait dengan kuat medan E daninduksi magnetik B melalui hubungan : ∂A E = −∇Φ − ∂t B = ∇× A (124)Jika medan tak bergantung waktu, maka : E = −∇ Φ dan B ≡ ∇×A (125)Medan E tidak terkait dengan B.Perhatikanlah suatu fungsi U yang diungkapkan sebagai : U ≡ q Φ( r , t ) − q [ v •A ( r , t ) ](126)Fungsi ini tak lain adalah fungsi potensial suatu zarahbermuatan dalam suatu medan elektromagnetik. Fungsi Utersebut dapat ditulis sebagai :
  • 47. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi  [ U ≡ q Φ − q x Ax + y Ay + z Az   ](127)Perkalikanlah sekarang bagaimana bentuk fungsi ∂U d  ∂U  − +   (128) ∂x dt  ∂x    Yang diperoleh dengan mendiferensiasi persamaan (127) ke x,ke x , dan kemudian ke t. Dua yang pertama secara parsial. Diferensiasi U secara parsial ke x, memberikan : ∂U ∂Φ  ∂Ax ∂Ay ∂Az  − = −q + q x  ∂x +y  +z    ∂x ∂x  ∂x ∂x (129)Diferensiasi U secara parsial ke x , memberikan :  ∂U = −q A x ∂x (130)Diferensiasi persamaan i ke t, menghasilkan : ∂U ∂U   ∂Ax ∂Ax ∂Ax ∂Ax  (131)   = −q   ∂t + ∂x x + ∂ y y + ∂z z    ∂t  ∂x      Sehingga bentuk persamaan 128 menjadi : 47
  • 48. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi ∂U d ∂U − +   ∂ x dt  ∂ x      ∂Φ ∂Ax    ∂Ay ∂Ax   ∂Az ∂Ax   ∂ x − ∂ t  + q  y ∂ x − ∂ y= q −    + z   ∂ x − ∂ z           =q E x +q ( y Bz − z B y )  = FxOleh karena itu : ∂U ∂  ∂U  − +   = qE x + q ( yB z − zB y ) = Fx   ∂x ∂t  ∂x  (132)Dengan E = ˆE x +ˆ E y +kE z i j ˆ adalah kuat medan listrik B = ˆB x + ˆ B y +kB z i j ˆ adalah induksi magnetikPersamaan 132 yang merupakan fungsi potensial untuk zarahyang bermuatan dalam sebuah medan elektromagnetik,merupakan fungsi dari kedudukan dan kecepatan. Seperti pembahasan-pembahasan sebelumnya fungsiLagrange senantiasa menganggap bahwa fungsi potensial Vhanya bergantung pada kedudukan saja yakni : V = V (q1, q2, .......... q3N) (133)Pertanyaan kita adalah apakah mungkin persamaan Lagrangedapat diterapkan dalam persoalan gerak zarah bermuatanlistrik ? Andaikan bahwa gaya-gaya rampatan Qk yang bekerjapada suatu sistem mekanika agar dapat diturunkan dari suatu
  • 49. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadifungsi potensial skalar U yang bergantung dari kecepatan. Jikahubungan antara Qk dan potensial U dinyatakan oleh ∂U ∂  ∂U  Qk = +   (134) ∂q k ∂t  ∂q k    dan fungsi Lagrange untuk sistem ini dinyatakan oleh : L=T–U (135) Berdasar pada pembahasan-pembahasan sebelumnya,hubungan antara T, Qk, qk, dan q k dapat dinyatakan dengan  ∂  ∂U   ∂T    = Qk +   (136) ∂t  ∂q k      ∂q  k  Substitusi 134 ke dalam 136 menghasilkan : ∂  ∂T   ∂U d  ∂U   ∂T    = − +   +   (137) ∂t  ∂q k        ∂q k dt  ∂q k   ∂q   k  dan dapat ditulis juga dalam bentuk lain d  ∂T ∂U   ∂T ∂U    ∂q − ∂q −  − =0 (138) dt   k k   ∂q k ∂q k Apabila definisi umum fungsi Lagrange digunakan maka akandiperoleh : d  ∂T  ∂L  − =0 (139) dt  ∂q k  ∂q k    49
  • 50. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiBerdasarkan pembahasan di atas dapat diambil suatukesimpulan bahwa, jika U merupakan fungsi potensial skalaryang bergantung pada kecepatan zarah v yang ditandai olehhubungan gaya rampatan ∂U ∂  ∂U  Qk = +   (140) ∂q k ∂t  ∂q k    maka persaman Lagrange untuk sistem mekanika yangdikuasai oleh U memiliki bentuk d  ∂T  ∂L  −  ∂q = 0 (141) dt  ∂q k    kdengan fungsi Lagrange L = T - UUntuk memecahkan persoalan apakah fungsi Lagrange di atasdapat dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan gerakzarah dalam medan elektromegnetik, tinjaulah sebuah fungsipotensial sebagaimana persamaan 127 seperti berikut:  [ U ≡ q Φ − q x Ax + y Ay + z Az   ]Untuk komponen gaya ke arah x berlaku : ∂U ∂  ∂U  Fx = − +   ∂x ∂t  ∂x   (142)
  • 51. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid AchmadiDengan penalaran yang sama, juga dapat dilakukan untukkomponen Fy dan Fz. Jadi dengan demikian fungsi Lagrangeyang dimaksud dalam hal ini adalah : 1 L= Mv ⋅ v - qΦ(r , t) + v ⋅ A (r, t)q (143) 2dimana m dan q masing-masing adalah massa dan muatanzarah, v adalah kecepatan zarah, dan Ф (r,t) serta A(r,t)masing-masing adalah potensial skalar dan potensial vektormedan elektromagnetik.Contoh : 1 1. Tunjukkan bahwa A = ( B × r ) merupakan vektor 2 potensial untuk suatu medan dengan induksi magnetik B. Jawab : ∇×A = 1 ∇×A 2 = 2 { B( ∇ ⋅ r ) − r ( ∇ ⋅ B ) + ( r ⋅ ∇ ) B − ( B ⋅ ∇ ) r} 1 Diketahui bahwa ∇ ⋅ r = 3 . Jadi suku pertama adalah 3B. )   (B ⋅ ∇ = B x ∂ ∂x +B y ∂ ∂y +B z ∂ ˆ ∂  z j (  ⋅ i x + ˆ y +kz ˆ ) =B  Sehingga : ∇×A = 1 2 [ 2B − ( r ⋅ ∇ ) B] 51
  • 52. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi Bila B merupakan medan yang konstan, suku ( r ⋅ ∇)B = 0 dan ∇ × A = B menurut definisi A. Jadi untuk medan dengan induksi magnet yang tetap A= 1 2 ( B × r) ˆ Misalkan bahwa B = kB o maka dalam koordinat Cartesius : A= 1 2 ( k × r ) B0 A = 1 B 0 ˆ x − ˆy 2 j i ( ) A = ˆ( 1 B 0 y ) + ˆ( 1 B 0 x ) i 2 j2 Dalam koordinat silinder : A= 1 2 ( B × r) A = 1 B0 r 2 Arah A adalah dalam bidang r tegak lurus pada sumbu –z, dan dapat pula tegak lurus pada sumbu r sendiri. Jadi dalam arah koordinat φ, sehingga A hanya terdiri dari komponen Aφ = 1 B 0 r , Ar = Az = 0. 2 z
  • 53. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi kB0 y r x Gambar 2.8 Hubungan antara arah B dengan r 2. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu- z, artinya B = B0 k , maka dalam koordinat silinder ˆ berlaku : Ar = 0, Aφ = 1 B o r dan Az = 0. 2 Jawab : 3. Tunjukkan bahwa jika arah B sama dengan arah sumbu- z, artinya B = B0 k , maka dalam koordinat silinder ˆ berlaku : Ar = 0, Aφ = 1 2 B o r dan Az = 0. Jawab : 4. Bagaimanakah bentuk potensial skalar Φ dalam koordinat silinder, apabila medan listrik juga searah dengan sumbu-z. Artinya E = E0 k . ˆ 53
  • 54. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi 5. Tulislah fungsi Lagrange untuk suatu zarah (massa M dan muatan q) yang bergerak dalam medan elektromagnetik dengan B = B0 k dan E = E0 k . ˆ ˆ Gunakan koordinat silinder. Jawab : Sesuai dengan definisi : L = T - V Fungsi Lagrange L untuk zarah dengan massa M dan mauatn Q dalam medan tersebut : L = 1 m(r 2 + r 2ϕ 2 + z 2 ) + QE 0 z + Qrϕ 1 B0 r 2    2 L = 1 m(r 2 + r 2ϕ 2 + z 2 ) + QE 0 z + 1 QrϕB0 r 2 2    2  6. Besaran fisika mana saja yang merupakan tetapan gerak dalam soal nomor 5 ? Koordinat siklik dalam fungsi Lagrange di atas adalah φ, sehingga pφ merupakan tetapan gerak. Hal tersebut dapat diturunkan dari persamaan Lagrange d  ∂L  ∂L   ∂  − ∂ϕ = 0  dt  ϕ ∂L Bila L tidak merupakan fungsi φ, maka = 0, dan ∂ϕ d  ∂L  oleh karena itu   = 0 , yang berarti bahwa pφ = dt  ∂ϕ   ∂L = p = Mr ϕ + 1 Qr ϕB 0 = tetap. 2 2 2 tetap, atau   ∂ϕ φ  2
  • 55. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi 7. Tulis perangkat persamaan Lagrange untuk sistem di atas Perangkat persamaan Lagrange untuk sistem diatas : ∂L = mr  ∂r  ∂L = mrϕ2 +QB0 rϕ   ∂r Dengan demikian : m = Mrϕ2 +QB0 rϕ r   ∂L 1 = M r 2 ϕ+ QB o r 2  ∂ ϕ 2 ∂L =0 ∂ϕ 1 Diperoleh : m r 2ϕ +  QBo r 2 = kons tan 2 Kemudian : ∂L =m z  ∂z  ∂L =Q Eo ∂z Sehingga : m  =Q E o zAndaikanlah dicari solusi dengan r tetap, maka diperoleh daripersamaan Lagrange pertama diatas : 55
  • 56. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi 0 = ( m ϕ + Q Bo ) ϕ   Q Bo ϕ=0 , atau  ϕ =−  mSedangkan persamaan ketiga memberikan : QE  = z = tetap mArtinya gerak dipercepat dalam arah z. Q Bo Secara skematik solusi dengan ϕ =−  mditerangkan disamping.Bagaimanakah lintasan bila diambil ϕ=0 ?s SOAL SOALGunakan metode Lagrange untuk mencari persamaan gerakberikut, kecuali ada pernyataan lain.1. Cari persamaan diferensial gerak peluru dalam sebuah medan gravitasi seragam tanpa hambatan/gesekan udara.2. Cari percepatan bola pejal seragam yang menggelinding dengan sempurna pada bidang miring.
  • 57. MekanikaMahasiswa Prodi Fisika angkatan 2011 Dosen: Hainur Rasjid Achmadi3. Dua buah balok dengan massa sama m dihibungkan oleh sebuah tali yang lunak. Salah satu balok berada di atas meja yang licin (tanpa gesekan) dan yang lain tergantung pada ujung meja. Carilah percepatan sistem jika massa tali diabaikan.4. Sebuah bola dengan massa m bergerak ke bawah pada sebuah bidang miring bermassa M dengan sudut kemiringan θ serta bebas bergerak pada bidang datar yang licin. Kontak antara bola dengan bidang miring adalah kasar sempurna. Carilah percepatan bidang miring.5. Gunakan metode Hamilton untuk mencari persamaan gerak berikut : a. Bandul sederhana. b. Mesin Atwood sederhana. c. Benda yang meluncur ke bawah pada sebuah bidang miring. 57