Integración por parte

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Métodos de Integración: por parte

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Integración por parte

  1. 1. 1 INTEGRACIÓN POR PARTES
  2. 2. 2 • Cuando la integral no se pueda resolver por ninguno de los tres métodos anteriores o pudiendo hacerse no se vea claro el cambio de variable a emplear, se recurre a la integración por partes: • Sea ∫ f(x).g(x) dx , en general. • [ puede que f(x)= 1 , o que g(x)=1 ] • ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du • • f(x) = u  f ’(x) dx = du • g(x) dx = dv  ∫ g(x) dx = ∫ dv = v • La segunda integral , ∫ v du , suele ser inmediata. • De no serlo, o nos hemos equivocado en los cambios de variables ( u y v) o tendremos que volver a realizar otra integración por partes al ser la integral CÍCLICA. INTEGRACIÓN POR PARTES
  3. 3. 3 • EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES ∀ ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du • x • 1 - Calcular ∫ x e dx • cambio de variables: • x = u  dx = du ; • x x • e dx = dv  ∫ e dx = v • x x x x • quedándonos I = x.e - ∫ e dx = x.e - e + C • • 2. Calcular ∫ L x dx. • cambio de variables: Lx = u  1/x dx = du ; • dx = dv  ∫ dx = v • quedándonos I = Lx .x - ∫ x . 1/x dx = Lx . x - ∫ dx = Lx . x - x + C
  4. 4. 4 • EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES ∀ ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du • 3 - Calcular ∫ x2 ex dx • cambio de variables: • x2 = u  2x dx = du ; • ex dx = dv  ∫ ex dx = ex = v • quedándonos I = x2 ex - ∫ 2x ex dx • Calculamos ∫ 2x ex dx. • cambio de variables: 2x = u  2 dx = du ; • ex dx = dv  ∫ ex dx = ex = v • quedándonos I = x2 ex - [ 2x. ex - ∫ 2 ex dx ] = • = x2 ex - 2x. ex + 2 ex + k
  5. 5. 5 • EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES ∀ ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du • 4 - Calcular ∫ x2 sen x dx • cambio de variables: • x2 = u  2x dx = du ; • sen x dx = dv  ∫ sen x dx = - cos x = v • quedándonos I = - x2 cos x - ∫ - 2x cos x dx • Calculamos ∫ - 2x cos x dx. • cambio de variables: - 2x = u  - 2 dx = du ; • cos x dx = dv  ∫ cos x dx = sen x = v • quedándonos I = - x2 cos x - [ - 2x sen x - ∫ - 2 sen x dx ] = • = - x2 cos x + 2x. sen x + 2 cos x + k
  6. 6. 6 • INTEGRAL CÍCLICA • x • Calcular ∫ sen x .e dx  ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du • Veamos sen x dx = dv  v = ∫ sen x dx = - cos x + C • x x • e = u  du = e dx • x x x x • I = e (- cos x ) - ∫ - cos x . e dx = - e . cos x + ∫ e . cos x dx • Nueva integración por partes: • Veamos cos x dx = dv  v = ∫ cos x dx = sen x + C • x x • e = u  du = e dx • x x x • I = - e . cos x + e sen x - ∫ e . sen x dx • x x • 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2
  7. 7. 6 • INTEGRAL CÍCLICA • x • Calcular ∫ sen x .e dx  ∫ f(x).g(x)dx = ∫ u. dv = u.v - ∫ v du • Veamos sen x dx = dv  v = ∫ sen x dx = - cos x + C • x x • e = u  du = e dx • x x x x • I = e (- cos x ) - ∫ - cos x . e dx = - e . cos x + ∫ e . cos x dx • Nueva integración por partes: • Veamos cos x dx = dv  v = ∫ cos x dx = sen x + C • x x • e = u  du = e dx • x x x • I = - e . cos x + e sen x - ∫ e . sen x dx • x x • 2. I = e ( sen x – cos x ) , luego I = e ( sen x – cos x ) / 2

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