2. Цель:
освоение приемов решения задач с помощью графов
Задачи:
• Изучить информацию по теории графов
• Классифицировать логические задачи
• Определить приемы использования теории
графов в решении задач разного класса
• Исследовать практические навыки учеников в
применении элементов теории графов
• Найти применение теории графов в жизни
• Создать задачник для учащихся
• Создать компьютерную игру на основе графовой
модели
Объект исследования - теория графов и ее применение.
Предмет исследования - задачи, решаемые с использованием
теории графов.
3. Cлово «граф», как математический термин
первым стал использовать Джеймс Сильвестр
– английский математик, известный своими
работами в комбинаторике.
Граф: От древневерхненемецкого gravo, gravio
«предводитель, вождь»;
Граф (титул) — дворянский титул;
От греч. γράφω «царапаю, черчу, пишу»;
От латинского слова «графио» - пишу;
Откуда же взялось такое название у схемы?
Может быть оно связано с задачей, которую
великий математик Л. Эйлер решил для
мостов, соединяющих острова – графства?
4. Теория графов является одной из немногих областей математики, дата
рождения которых может быть указана. Первая работа о графах,
принадлежащая швейцарскому математику Леонарду Эйлеру, появилась в
1736 г. в публикациях Петербургской Академии наук.
Эйлер (Euler) Леонард, математик, механик и физик. Родился
в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Образование
получил сначала у отца, а затем в Базельском университете,
где слушал лекции по математике Иоганна Бернулли.
В 1727 г. Эйлер был приглашен в Петербургскую Академию
Наук, где за 14 лет подготовил к печати около 80 трудов и
опубликовал свыше 50.
В 1741 Эйлер переехал в Берлин, где за 25 лет жизни
подготовил около 300 работ.
Живя в Берлине, Эйлер не переставал интенсивно работать
для Петербургской АН, сохраняя звание её почётного члена.
Он вёл обширную научную и научно-организационную
переписку, в частности переписывался с М. В. Ломоносовым,
которого высоко ценил. В июле 1766 Эйлер вместе с семьей
вернулся в Петербург. Несмотря на преклонный возраст и
постигшую его почти полную слепоту, он до конца жизни
продуктивно работал. За 17 лет вторичного пребывания в
Петербурге им было подготовлено около 400 работ.
5. Знаменитая задача о мостах города Кенигсберга (сейчас это
Калининград).
Город Кенигсберг стоит там, где два рукава реки Прегель, сливаясь,
омывают остров Кнейпхоф. Остров и берега соединены между собой
семью мостами. Нужно было придумать такой маршрут, который проходит
в точности по одному разу через каждый мост.
Если обозначить острова точками, а мосты линиями, соединяющими эти
точки, то получится геометрическая фигура, которую называют, графом.
Л. Эйлер доказал следующую теорему: на графе существует маршрут,
обходящий все ребра точно по одному разу, тогда и только тогда, когда он
не содержит вершин, из которых выходит нечетное число ребер, или таких
вершин точно две (начало и конец маршрута).
Значит маршрут, который проходит только по одному разу через каждый
мост, построить нельзя.
6. Графом в математике называется конечное множество точек,
некоторые из которых соединены линиями. Точки называются
вершинами графа, а соединяющие их линии – рёбрами.
Виды графов
планарные
двудольные
ориентированные
дерево
эйлеровы
7. Применение графов. Двудольный граф
Дети - Маша, Ира, Юра и Коля играют в детском саду. Маша согласна
играть с медведем или машинкой, Ира желает играть с куклой или
самолетом, Юре нужна кукла или машина, а Коля желает играть только с
мишкой. Маша взяла медведя, Ира куклу, Юра машину, а Коля остался
без любимой игрушки и плачет. Как воспитателю следует распределить
игрушки, чтобы дети были довольны?
По тому же принципу решаются
задачи о назначениях, задачи о
распределении нагрузки среди
учителей и так далее.
Задача имеет решение, если
любые N элементов одного
множества связаны в сумме не
менее, чем с N элементами
другого множества.
8. Применение графов. Граф - дерево
Граф называется деревом, если он является связным и не имеет
циклов, то есть замкнутых путей из одной вершины в другую, в которой
все ребра попарно различны. Следовательно, для каждой пары
вершин графа существует единственный соединяющий их путь.
Пример. Генеалогическое дерево - орграф. Ориентированная дуга
соединяет одного члена семьи с другим, например, по принципу
"родитель-сын (дочь)"
9. Комбинаторные задачи
«Проказница мартышка, осел, козел да косолапый мишка затеяли сыграть в
квартет». Мартышка расположилась напротив медведя, а слева и справа от
нее – осел и козел. «Ударили в смычки, дерут, а толку нет». Тогда осел и
козел поменялись местам. «Расселись, начали квартет. Он все-таки на лад
нейдет». Таким образом, они перепробовали все возможные варианты.
Медведь всегда оставался на одном месте. Сколько всего было вариантов
расположения незадачливых музыкантов?
Решение
10. Задачи на построение графа – дерева. Стратегия игры
У исполнителя Калькулятор две команды, которым присвоены номера:
1. прибавь 3
2. умножь на 4
Выполняя первую из них, Калькулятор прибавляет к числу на экране 3, а
выполняя вторую, умножает его на 4.
Запишите порядок команд в программе получения
из числа 3 числа 57,
содержащей
не более 6 команд,
указывая лишь
номера команд.
Ответ: 2, 2, 1, 1, 1
11. Применение графов. Орграф. Взвешенный граф
Путь в графе - это последовательность дуг, связанных друг с другом так,
что конец предыдущей совпадает с началом следующей. В пути каждые два
соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается
дважды. Замкнутый путь на графе - это цикл.
Взвешенный граф — граф, каждому ребру которого поставлено
в соответствие некое значение (вес ребра).
В различных задачах весом ребра могут быть: длина, время, стоимость и так
далее. Наиболее часто решаемая задача для взвешенного ориентированного
графа - поиск кратчайшего пути.
12. Применение графов. Плоский (планарный) граф
Начинающие изобретатели, радиолюбители, будущие электронщики
сталкиваются с очень серьезной задачей конструирования печатных схем.
Печатной схемой называют пластинку из какого-либо диэлектрика
(изолирующего материала), на которой в виде металлических полосок
вытравлены дорожки. Пересекаться дорожки могут только в определенных
точках, куда устанавливаются необходимые элементы (диоды, триоды,
резисторы и другие), их пересечение в других местах вызовет замыкание
электрической цепи.
В ходе решения этой задачи необходимо вычертить плоский граф, с
вершинами в указанных точках.
13. Применение графов. Эйлеров граф
Граф, в котором можно проложить маршрут, проходящий по каждому ребру
графа и только один раз, называется Эйлеровым. Примером такого графа
может быть план выставки. Это позволяет так расставить указатели
маршрута, чтобы посетитель смог пройти по каждому залу в точности по
одному разу.
14. Исследование «Теория графов и практикующие школьники»
% выбранных задач с явной необходимостью
применения графовой модели
80
70
60 % задач c применением графовой
50
модели решено верно
40
30
20 100
90
10
80
0
70
7 "А" 9 "А" 9 "Б" 11 "А"
60
50
% задач из решенных, сопровождаются 40
30
графовой моделью 20
10
80 0
70 7 "А" 9 "А" 9 "Б" 11 "А"
60
50
40
30
20
10
0
7 "А" 9 "А" 9 "Б" 11 "А"
15. Выводы:
Моя гипотеза подтвердилась: многие логические задачи лучше представить в виде
чертежа, рисунка, схемы, в которых используются графы. Это облегчает решение
задачи, делает его более убедительным и наглядным.
В современном мире практически нет областей, где не использовались бы графы.
Интуитивно графовые модели используют для решения логических задач даже те,
кто не знаком с теорией графов.
Знание теории графов дает возможность приобрести навыки сведения реальных
ситуаций к графовым моделям.
Графы можно широко применять в рамках учебной деятельности школьников.
Научиться решать задачи с использованием графов можно, если изучить
элементарную теорию графов и разумно, последовательно применять ее при решении
логических задач, переходя от решения простых задач к более сложным.
На практических занятиях, направленных на освоение теории графов можно
сочетать решение задач с логическими играми.
