•Secció àuria                                                                                        •Segment dividit en d...
Taula de contingutsDefinicions i primeres propietats del nombre dorCom sha definit en lencapçalament, dues quantitats a i ...
•   El nombre dor és lúnic real positiu que està una unitat per sobre del seu       invers.       Demostració: Com que Φ é...
Donat un segment AB, es diu que el punt S constitueix secció àuria del segment AB(o el divideix de forma àuria) si la part...
Divisió de forma àuria dun segment AB donat   •          1. Traceu BC, perpendicular a AB per B i de longitud la meitat de...
que                         , que són obtusangles. Aquests últims sovint són tambéanomenats triangles dargent, però no ten...
Rectangles dorEls rectangles dor són aquells rectangles els costats dels quals guarden raó àuria.La construcció dun rectan...
Pel què fa a longitud de segments, sobserva que només nhi ha de quatre longitudsdiferents, però totes en relació àuria amb...
Angle dorAngle dor ΨSanomena angle dor aquell angle obtingut mitjançant la partició dun cercle (lacircumferència del qual ...
, don sobté la mesura angular de langle:            o                   .El nombre dorPropietatsPuix que Φ resulta de la s...
,Una altra propietat sorprenent relacionada amb la recurrència de Fibonacci és que elquocient entre termes consecutius dun...
El nombre dor presenta també propietats interessants si sutilitza com a base dunsistema de nombres (vegeu base dor).En tri...
La raó àuria ha estat usada en construccions més recents com en escales, edificis idaltres, com per exemple en la mida est...
Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadaspor el número áureo. La longitud total a+b...
Para obtener el valor de   a partir de esta razón considere lo siguiente:Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y ...
Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sinembargo, a veces ese le atribuye el de...
Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de ...
•   Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de       potencias de grados inferiores del ...
.Representación mediante fracciones continuasLa expresión mediante fracciones continuas es:Esta iteración es la única dond...
Lo que puede combinarse en la expresión:Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan losgrado...
enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los númerosanteriores. La fórmula de Binet depende exclusiv...
Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este últimoes asimismo un rectángulo áureo.En el p...
Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágonoregular.Claudio Ptolomeo desarrolló un teor...
Concha de nautilus en espiral logarítmicaEn la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o losn...
este tipo de espiral de crecimiento.[5] [6] Se debe entender que en toda      consideración natural, aunque involucre a la...
El número áureo en el ArteHombre de VitruvioLeonardo da Vinci   •   Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. L...
se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de    interés geométrico.[8] No obstante, en base a me...
•   En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se       relaciona con el número áureo...
Secció àuria
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Secció àuria

1,832 views
1,702 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,832
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Secció àuria

  1. 1. •Secció àuria •Segment dividit en dos segments a i b de forma àuria: El segment sencer és al •segment a com el segment a és al segment bLa raó àuria, secció àuria o divina proporció és la relació que guarden dos •segments a i b (o per extensió, la que guarden dues quantitats a i b) si entre eltotal i el segment major hi ha la mateixa relació que entre el segment major i elsegment menor, o, en altres paraules, si el tot és al segment major igual que elmajor és al segment menor. Anomenant a al segment (o nombre) major i b almenor, la formulació matemàtica de la definició es pot escriure com: •El quocient daquestes dues quantitats resulta ser un número irracional conegut com anombre auri o nombre dor, i designat habitualment per la lletra grega Φ o φ (fi)en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó, o menys freqüentment amb τ(tau):Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint considerades estèticamentagradables en la cultura doccident, de manera que la proporció divina sha usatfreqüentment al llarg de la Història en lart i el disseny. Òbviament, també sha usat lainversa de la raó àuria Φ-1. A vegades sutilitza la fi minúscula (φ) per aquest valorquan sutilitza la majúscula per lanterior.Però la raó àuria també és coneguda perquè la trobem a la natura, i és possiblementel fet que aparegui en els llocs més insospitats, conjuntament amb una sèrie decurioses propietats matemàtiques, el que ha fet que rebés la qualificació (metafòrica)de "proporció divina".
  2. 2. Taula de contingutsDefinicions i primeres propietats del nombre dorCom sha definit en lencapçalament, dues quantitats a i b (amb a > b) estan en raóàuria si la seva suma és a la quantitat major igual que la major és a la quantitatmenor, i.e.:Equivalentment (per veure lequivalència només cal multiplicar en creu i reordenar),dues quantitats a i b estan en raó àuria si entre la major i la menor hi ha la mateixaproporció que entre la menor i la seva diferència, i.e.:De la primera equació (o també des de la segona), operant sarriba a la següentequació: , don sobté:On lúltima igualtat sefectua traient factor comú de b. Finalment, si es divideix abanda i banda per b (que no és nul), sobtenen els dos següents valors per a :El nombre dor només és el valor positiu ja que no té sentit de parlar dunaquantitat negativa per a la raó entre dos segments.Les primeres propietats del nombre dor són dues: • El nombre dor és lúnic real positiu que està exactament una unitat per sota del seu quadrat. Demostració: Multiplicant la primera equació daquesta secció per a/b (o bé per (a-b)/b la segona) sobté: , o bé, fent la substitució , Q.E.D.
  3. 3. • El nombre dor és lúnic real positiu que està una unitat per sobre del seu invers. Demostració: Com que Φ és diferent de zero, es pot dividir lequació anterior per Φ, de manera que , Q.E.D.OrígensSha situat de vegades de lorigen de la proporció àuria a lantiga civilitzacióbabilònica, basant-se en la relació entre aquesta proporció i les estrelles de cincpuntes trobades en tauletes de fang del 3200 a.C. Tanmateix, res indica que aquestacivilització conegués la proporció àuria.Raons molt properes a làuria shan trobat en les posicions i proporcions de lespiràmides de Giza, de manera que sembla que els primers que usaren la raó àuriaforen els antics egipcis. El que no està tan clar és si les usaven conscientment per aunes suposades qualitats estètiques de la raó o si la seva primera aparició és fruitdaltres raons o latzar. De fet, són molts els que asseguren que els egipcisdesconeixien aquesta marevella matemàtica.En la antiga Grècia es coneixien bé algunes propietats geomètriques de la raó àuria,sobretot descobertes pels Pitagòrics, gràcies a la seva freqüent aparició en geometria;tanmateix, no sembla cert però que en valoressin la seva vessant estètica. Malgrattot, en molts monuments, com en el Partenó, hom pot trobar-hi proporcions divines omolt pròximes a ella. No sha provat que aquestes relacions fossin expressamentcercades, ja que en lèpoca de la construcció del Partenó poca gent coneixia aquestaproporció; tot i que molts asseguren que no pot ser una qüestió datzar, cal anar moltamb compte amb els textos que asseguren lomnipresència de la secció àuria enaquests edificis, ja que la numerologia, en diverses ocasions, sha tret relacions de lamàniga (com ara les que aparegueren sobre la gran piràmide dEgipte al llibre TheGreat Pyramid: Why Was It Built and Who Built It? de John Taylor (1859)).En larquitectura romana també shi poden trobar raons àuries, però tampoc no shaprovat que fossin expressament emprades en els dissenys.Raons àuries en geometriaSecció àuria dun segmentSecció àuria del segment AB: S divideix AB de forma àuria, AS és el segment auridAB
  4. 4. Donat un segment AB, es diu que el punt S constitueix secció àuria del segment AB(o el divideix de forma àuria) si la part més gran és mitjana proporcional (ogeomètrica) entre el segment AB i la part petita. Si la part petita és SB, com en lafigura, matemàticament això ésEquivalentment això passa quan el segment sencer és a la part gran com la part granés a la petita, i.e.Lequivalència entre les definicions es veu per exemple multiplicant en creu la segonaexpressió.També es veu lequivalència entre aquestes definicions i la de capçalera: en efecte, siAS mesura a i SB té una mesura b (i llavors AB té una mesura a + b) i tot plegat sesubstitueix en la segona expressió, sobtéLa secció àuria del segment en una part gran i una de petita té a més la propietatsegüent: • La part petita és segment auri de la part gran, i.e. o bé Demostració: si (per ser AS el segment auri de AB), restant a banda i banda sobté que Traient factor comú, i tenint en compte que . Llavors, , Q.E.D*.Construcció de raons àuries amb regle i compàs • Divisió àuria dun segment donat. Una de les construccions més senzilles és la següent:
  5. 5. Divisió de forma àuria dun segment AB donat • 1. Traceu BC, perpendicular a AB per B i de longitud la meitat de AB. 2. Amb centre a C, transporteu la distància CB sobre la hipotenusa CA. Sobté així el punt D. 3. Amb centre a A, transporteu la distància AD sobre el segment AB. La intersecció daquest arc amb el segment AB defineix el punt S buscat, que constitueix secció àuria dAB. • Construcció del segment tal que el seu segment auri és el donat. Aquesta és una de les construccions més famoses amb la raó àuria:Construcció del segment AB a partir del seu segment auri AS. • 1. Traceu SC, perpendicular a AS per S i de longitud igual a AS. 2. Trobeu el punt mig M del segment AS (per exemple amb la mediatriu). 3. Amb centre a M, traceu larc amb radi MC. La intersecció B daquest arc amb la recta suport de AS defineix el segment cercat AB, el segment auri del qual és AS.Triangle dorEls triangles dor són aquells triangles isòsceles els costats dels quals estan en raóàuria. Nhi ha de dos tipus: els que , que són acutangles i els
  6. 6. que , que són obtusangles. Aquests últims sovint són tambéanomenats triangles dargent, però no tenen res a veure amb el nombre dargent (queno té res a veure amb φ, linvers de Φ).Triangles dorEls triangles dor tenen dos angles de 72º i un de 36º; els triangles dargent tenen dosangles de 36º i un de 108º. Aquests són els mateixos angles que apareixen també enel pentàgon regular i el pentacle, on no és sorprenent de retrobar els triangles dor i laraó àuria. Demostració: En la figura de lesquerra, es pot veure com el triangle ABD és semblant al triangle BCA ja que els dos són isòsceles i tenen un angle en comú. Així, els angles ABD i ACB són iguals. La raó de semblança és, per construcció dels triangles 1/Φ. Llavors, el segment AD mesura 1/Φ. Com que el nombre dor verifica la igualtat , el segment DC mesura 1, de manera que el triangle BCD és isòsceles i els angles DCB i DBC són iguals. Per tant, com que DCB i ACB són iguals, ABD i DBC són iguals i DB marca la bisectriu de langle ABC. Atès que la suma dels angles dun triangle val 180°, els valors dels angles és de 36° pels més aguts (la cinquena part dun angle pla) i de 72º pels més oberts, (dues cinquenes parts de langle pla o una cinquena part dun angle complet).Rectangle dor
  7. 7. Rectangles dorEls rectangles dor són aquells rectangles els costats dels quals guarden raó àuria.La construcció dun rectangle dor amb compàs es pot fer fàcilment a partir dunquadrat mitjançant la segona construcció de lapartat corresponent. Punxant al centredun dels costats i obrint fins a un dels dos angles oposats, només cal baixar larc finsa la prolongació del costat on sha punxat. Una de les propietats dels rectangles dorés que el rectangle resultant de leliminació del quadrat de costat b que el pot generar(vegeu la figura), també és dor. Aquesta propietat és deguda a que la raó àuriacompleix la propietat següent, ja vista en apartats anteriors: .El pentàgon i el pentalfa regularsPentacle en pentàgon regularEl pentàgon regular i les seves diagonals, que formen un pentalfa (o pentacle)amaguen unes quantes propietats relacionades amb la raó àuria. Alguns creuen queaquest podria ser un dels motius pels quals aquest símbol va ser lescollit perPitàgores per a la germandat que creà i presidí: els pitagòrics.Per tractar-se de pentàgons regulars, sidentifiquen deu angles de 108º, cinc en elpentàgon exterior i cinc més en el format en linterior. A partir daquests deu anglessen poden trobar cinc més també de 108º (per angles oposats pel vèrtex) i deuangles de 72º (per angles suplementaris. Daquesta manera, sidentifiquen cinctriangles dor, que són els que formen les puntes del pentacle. També shi identifiquenquinze triangles dargent (de dues mides diferents). Nombés hi ha doncs tres tipusdangles: de 36º, 72º (el doble de 36º) i 108º (el triple).Pentalfa il·lustrant les raons àuries que shi amaguen
  8. 8. Pel què fa a longitud de segments, sobserva que només nhi ha de quatre longitudsdiferents, però totes en relació àuria amb alguna altra: Demostració Per a demostrar cadascuna daquestes relacions, només cal trobar un triangle dor o dargent format per costats amb les longituds corresponents. Els triangles són efectivament dor o dargent perquè ho corroboren els seus angles i la relació és àuria per definició de triangle dor o dargent.Espirals dorHom pot construir, a partir duna successió de rectangles dor i quadrats (vegeu lafigura), una espiral tot traçant quarts de circumferència dins cada quadrat i tangents aell. Aquesta espiral saproxima a lespiral dor, una espiral logarítmica de centre laintersecció de les dues diagonals indicades en la figura i dequació polar:Espiral dor aproximada mitjançant arcs de Espiral dor aproximada (verda) i vertaderacircumferència en una successió de (vermella) (el groc apareix allà on esquadrats-rectangles dor trepitgen ambdues corbes)Espiral dor aproximada mitjançant arcs de circumferència dins duna successió detriangles dorDe la mateixa manera, es pot construir, a partir duna successió de triangles dor, unaespiral aproximada a la vertadera dor triangular, també espiral logarítmica però aradequació polar:
  9. 9. Angle dorAngle dor ΨSanomena angle dor aquell angle obtingut mitjançant la partició dun cercle (lacircumferència del qual té una longitud c) en dos sectors circulars, el més gran ambun arc de longitud a i el menor, amb un arc de longitud b, de manera quei prenent com a bo langle petit (el de longitud darc b).Com que es tracta duna partició del cercle, també es té que , i per tant, (vegeu el paral·lelisme amb la secció àuria dun segment). • Langle dor mesura , o bé en radians, . Demostració: De lequació , operant sarriba a lequació , don, resolent, sobté: Daquí, sobtenen els dos següents valors per a : Com que tant a com b són positius, es té que o que . Substituint-ho en , i reordenant sobté que:
  10. 10. , don sobté la mesura angular de langle: o .El nombre dorPropietatsPuix que Φ resulta de la solució duna equació polinòmica, forma part del conjunt delsnombres algabraics. Pot ésser demostrat també que Φ és un nombre irracional oincommensurable. (vegeu les primeres 20000 xifres decimals del nombre dor)Algunes expressions amb les potències de Φ: • • • •Les potències de Φ també compleixen la següent propietat: Demostració: La propietat anterior pot obtenir-se de multiplicar la igualtat per . Així, les potències naturals del nombre dor compleixen la relació de recurrència de Fibonacci, Gràcies a aquesta propietat, es poden també escriure expressions on sobserva la successió de Fibonacci: , , , , , , , , , ,
  11. 11. ,Una altra propietat sorprenent relacionada amb la recurrència de Fibonacci és que elquocient entre termes consecutius duna successió definida amb aquesta recurrència,entre aquestes, la successió de Fibonacci, tendeix al nombre dor. En efecte, si és una successió tal que , llavors: Demostració: plantejant el límit, De , multiplicant per x, sarriba a: , una equació quadràtica ja coneguda amb arrels i . La primera arrel és la corresponent a la part creixent de la successió, Q.E.D. La segona, és la corresponent a una hipotètica successió endarrera (cercant el límit .Com que , es pot representar Φ en forma de fracció contínua:El fet que en aquesta fracció contínua només apareguin uns fa que el nombre Φ siguilirracional més irracional (el que convergeix més lentament), cosa que fa que tinguiaplicacions interessants a la natura (veieu lapartat "El nombre dor a la natura").Com que , Φ es pot representar també amb una iteració infinita darrelsquadrades:
  12. 12. El nombre dor presenta també propietats interessants si sutilitza com a base dunsistema de nombres (vegeu base dor).En trigonometria, el nombre dor està molt relacionat amb els angles que apareixenen un pentacle: (36º, 72º i 108º) i amb les seves meitats: 18º i 54º:La demostració és a larticle Constants trigonomètriques exactes, angle de 36º.El nombre dor també apareix en expressions comLa raó àuria en les artsEl Vitruvi, de Leonardo da Vinci.En 1509, Luca Pacioli publicà Divina Proportione, on tractava no només amb lescuriositats matemàtiques del nombre dor, sinó també amb el seu ús en larquitectura.Això va propiciar lacceptació de la idea que molts artistes del Renaixement,introduïen la raó àuria en els seus dissenys. Un bon exemple daquests mites és en lespintures de Leonardo Da Vinci, on, de la mateixa manera que en el Partenó, hom pottrobar-hi relacions àuries tot i que no hi ha proves fefaents que confirmin que fossinintroduïdes expressament pel mateix autor.Ja en el segle XX, larquitecte suís Le Corbusier va publicar Le Modulor, on tractava,entre daltres amb la raó àuria en larquitectura i sobretot en lurbanisme.
  13. 13. La raó àuria ha estat usada en construccions més recents com en escales, edificis idaltres, com per exemple en la mida estàndard de carnets i targetes de crèdit quesaproximen a rectangles dor. Potser ledifici més emblemàtic és la seu de lONU aNova York, un gran prisma amb una de les seves cares en forma de rectangle dor.La raó àuria també ha estat usada també en música, tant per la durada de les notes(per exemple pel compositor hongarès Béla Bartók i el francès Olivier Messiaen), comper lorganització de les parts duna peça (per exemple en alguna obra del compositormexicà Silvestre Revueltas) o fins i tot en la relació entre les freqüències de novesnotes fora de les escales cromàtiques (per exemple en For Ann (rising), de JamesTenney).Hi ha gent que creu que la raó àuria té propietats estètiques particulars. Daltresargumenten que qualsevol proporció compresa entre 1,4 i 1,8 en té.El nombre dor en la naturaCuriosament, el nombre dor el podem trobar també en la naturalesa, de vegades enllocs insospitats: • En cada rusc dabelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles. • En la disposició dels pètals de les flors (Anomenat Llei de Ludwig en botànica) • En la relació entre els nervis del tall duna fulla. • En la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent (les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el nombre dor), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes a les altres (es creu que això és degut al fet que el nombre dor és el nombre irracional que triga més a convergir i, per tant, lefecte que crea aquest angle és precisament el devitar que mai les fulles se superposin completament). • En la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de gira-sol • En lespiral dels cargols "nautilus", que són espirals dor, logarítmiques. • En les espirals duna pinya. • En els cristalls de Pirita dodecaèdrics (piritoedres), que formen pentàgons perfectes (el pentàgon, com ja hem vist, guarda moltes relacions amb el nombre auri).Algunes daquestes aparicions poden arribar-se a explicar-se mitjançant lessuccessions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. Daltresperò, són aparicions més misterioses.Q.E.D. = quod erat demostrandum ( como se quería demostrar)CASTELLANONúmero áureo
  14. 14. Una sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadaspor el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es alsegmento más corto b.El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razóndorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por laletra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el número irracional:Se trata de un número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y quefue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporciónentre segmentos de rectas. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figurasgeométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras delas hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razónáurea, así como una importancia mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuidoimportancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estoscasos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.Contenido:DefiniciónNúmerosγ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δBinario 1,1001111000110111011...Decimal 1,6180339887498948482...Hexadecimal 1,9E3779B97F4A7C15F39...Fracción continuaAlgebraicoSe dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:
  15. 15. Para obtener el valor de a partir de esta razón considere lo siguiente:Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estossegmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:Multiplicando ambos lados por x y reordenando:Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que lasdos soluciones de la ecuación sonLa solución positiva es el valor del número áureo.Historia del número áureoExisten varios textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporciónen ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo noexiste documentación histórica que indique que el número áureo fue usadoconscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas.También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácilobtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además paraque se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas debentomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de loselaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estasrazones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayandescubierto el número áureo.[2]El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c.300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando lalínea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."Euclides en Los Elementos.Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón dedos números enteros, es decir es irracional.
  16. 16. Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sinembargo, a veces ese le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con elnúmero áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dioorigen."Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sinembargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversiay muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvonada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los númerosirracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llavea la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos ymatemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a latarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando loscinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinóla idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia,con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondíaa uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, latierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua alicosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione(La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que consideraapropiado considerar divino al Número áureo: 1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios. 2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad. 3. La inconmesurabilidad; para Pacioli la inconmesurabilidad del número áureo, y la inconmesurabilidad de Dios son equivalentes. 4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios. 5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás defiguras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiralbasada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), desarrolló un modelo Platónico delSistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo entérminos grandiosos“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, ladivisión de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemoscomparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”
  17. 17. Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a estenúmero lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico GeorgSimon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine ElementarMatematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partescomo éstas la sección dorada."Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común parala fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el términopudo ganar popularidad alrededor de 1830.En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual pararepresentar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sinembargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático MarkBarr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego(Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido asus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo.Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro TheCurves of Live, de Sir Theodore Cook.El número áureo en las MatemáticasPropiedades y representacionesÁngulo de oroPropiedades algebraicas • Φ es el único número real positivo tal que:La expresión anterior es fácil de comprobar: • Φ posee además las siguientes propiedades:
  18. 18. • Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera sucesión recurrente de potencias.El caso más simple es: Φn = Φn − 1 + Φn − 2, cualquiera sea n un número real. Este casoes una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potenciasanteriores.Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma a1un + k − 1 + a2un + k − 2 + ... + akun,donde ai es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o iguala n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es k = 2, a1 = 1 y a2 = 1.Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:Φn = Φn − 2 + 2Φn − 3 + Φn − 4. Aquí k = 4, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2 y a4 = 1.Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmularecurrente de orden 6:Φn = Φn − 3 + 3Φn − 4 + 3Φn − 5 + Φn − 6En general: .En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como elelemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2k; donde k es unnúmero natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potenciasnegativas de Φ, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de Φcorresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativossean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hayun parentesco. • El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y la sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:
  19. 19. .Representación mediante fracciones continuasLa expresión mediante fracciones continuas es:Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también lamás simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta.Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximablemediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad medianteracionales posible.[3]Representación mediante ecuaciones algebraicas [editar]El número áureo y la sección áurea son soluciones de las siguientesecuaciones:Representación trigonométricaÉstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distanciaentre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otrasrelaciones similares en el pentagrama.En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con elnúmero de la Bestia:
  20. 20. Lo que puede combinarse en la expresión:Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan losgrados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienenpara unidades diferentes.Representación mediante raíces anidadasEsta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por NathanAltshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American MathematicalMonthly, 1917.El teorema general dice:La expresión (donde ai = a), esigual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea,Relación con la serie de FibonacciSi se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número deFibonacci, como Fn + 1, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscilasiendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notarque la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números deFibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: ; ; y , lo que se acerca considerablemente alnúmero áureo. Entonces se tiene que:Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, sinembargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por elmatemático inglés Robert Simson.A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Philippe Marie Binetredescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, ypor otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el
  21. 21. enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los númerosanteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:El número áureo en la geometríaEl número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricosregulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos oaparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco. • Relaciones entre las partes del pentágono. • Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama. • Relaciones entre las partes del decágono. • Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.El rectángulo áureo de EuclidesEuclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectánguloBEFC es asimismo áureo.El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción delnúmero áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene suconstrucción.>Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tantoresultando evidente quede donde, finalmente
  22. 22. Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este últimoes asimismo un rectángulo áureo.En el pentagramaPentagrama que ilustra algunas de las razones áureas: los segmentos rojo y azul, azuly verde, verde y morado.El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en lospentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otrosegmento en una razón áurea.El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cincoobtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos seconocen como los triángulos áureos.Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro delpentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta elinfinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería asu vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total deuna de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquierade los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en queaparece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.El teorema de Ptolomeo y el pentágono
  23. 23. Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágonoregular.Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, elcual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando esteteorema un cuadrilátero es formado al quitar uno de los vértices del pentágono, Si lasdiagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta queb2 = a2 + ab lo que implica:Relación con los sólidos platónicosEl número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con elicosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del númeroáureo. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2, pueden darse encoordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0,±1)Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1, también sepueden dar en términos similares: (±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ,0, ±1/φ)Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de undodecaedro.Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se puedenexpresar también en términos del número áureo:Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinasde los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, ycon los centros de las caras de un dodecaedro:El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro comodel icosaedro.El número áureo en la Naturaleza
  24. 24. Concha de nautilus en espiral logarítmicaEn la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o losnúmeros de Fibonacci: • Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.[4] • La relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. • La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig). • La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci. • La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles • La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior). • La distancia entre las espirales de una Piña. • La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen
  25. 25. este tipo de espiral de crecimiento.[5] [6] Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.[7] • Para que las hojas esparcidas de una planta (Ver Filotaxis) o las ramas alrededor del tronco tengan el máximo de insolación con la mínima interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas en hélice ascendente según un ángulo constante y teóricamente igual a 360º (2 - φ) ≈ 137º 30 27,950 580 136 276 726 855 462 662 132 999..." En la naturaleza se medirá un ángulo práctico de 137º 30 o de 137º 30 28" en el mejor de los casos. Para el cálculo se considera iluminación vertical y el criterio matemático es que las proyecciones horizontales de unas sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la iluminación del Sol no es, en general, vertical y varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el máximo aprovechamiento de la luz solar. Este hecho fue descubierto empíricamente por Church y confirmado matemáticamente por Weisner en 1875. En la práctica no puede medirse con tanta precisión el ángulo y las plantas lo reproducen "orgánicamente"; o sea, con una pequeña desviación respecto al valor teórico. • En la cantidad de elementos constituyentes de las espirales o dobles espirales de las inflorescencias, como en el caso del girasol, y en otros objetos orgánicos como las piñas de los pinos se encuentran números pertenecientes a la sucesión de Fibonacci. El cociente de dos números sucesivos de esta sucesión tiende al número áureo. • Existen cristales de Pirita dodecaédricos pentagonales (piritoedros) cuyas caras son pentágonos irregulares. Sin embargo, las proporciones de dicho poliedro irregular no involucran el número áureo.El número áureo en el ser humano • La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que: o La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. o La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. o La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. o La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ. o La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz o Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter- pupilar o Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).
  26. 26. El número áureo en el ArteHombre de VitruvioLeonardo da Vinci • Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo , donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice (inexistente en la actualidad) y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), se apoya en la interpretación de un pasaje de Heródoto (Historiae, libro II, cap. 124) y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque
  27. 27. se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.[8] No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Teeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5.[9] Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo . Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo y cuatro cuadrados.[10] Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores,en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.[11]• En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.
  28. 28. • En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo. • El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros. • Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci. • En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras). • En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza. • En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus. • Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión. • En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).El número áureo en el misticismoEn la cruz latina, símbolo del catolicismo, la relación entre el palo vertical y elhorizontal es el número áureo. Así mismo, el palo horizontal divide al vertical ensecciones áureas.La composición áurea es un método de división ideal de un rectángulo paracomponer una imagen basándose en puntos que unen a los lados entre sí. Estadivisión es tomada como apoyo compositivo, en la mayor parte de las obras, por losgrandes maestros de la pintura.Estas direcciones y puntos sirven para organizar armónicamente las formas quecompondrán la imagen, tomando en cuenta las direcciones y puntos generados por elcruce de estas líneas imaginarias.

×