Geometria elemental
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  • Colegio Tierra del Fuego Quillota
  • P= a + b + c +d

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  • 1. Geometría Elemental Polígonos Integrantes: Ariana Aguilera. Carolina Andrade. Katherine Aravena. Francisco arias. Constanza barraza. Gabriel bustos. Mauricio Cáceres. Laura caneo. Kareen Norambuena . Colegio Tierra del Fuego Quillota
  • 2.
    • Polígono es una superficie plana, formada por trazos unidos en sus extremos. El número de lados, debe ser mayor o igual a 3.
    Vértice. Lados. Diagonal. Polígonos
  • 3.
    • Tipos de polígonos
    • a. Convexo: todos sus ángulos son menores a 180º, y todas sus diagonales son interiores.
    • b. Cóncavo: un ángulo mide mas de 180º, y una de sus diagonales es externa.
    • c. Regulares: Sus ángulos y sus lados son congruentes
    • d. Irregulares: Sus ángulos y lados son diferentes.
    • a. b. c. d.
  • 4.
    • Altura, es una recta perpendicular, trazada desde un vértice al lado opuesto.
    Altura de polígonos Altura del triángulo equilátero                                                                                                                            
  • 5. Ejemplo: Calcular altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.                      Diagonales de un polígono Diagonal, es un segmento que une dos vértices opuestos. Nº de diagonales de un polígono                                  8.66 cm
  • 6. 4 · (4 − 3) : 2 = 2                                         Diagonal del cuadrado                                                                                 Diagonal del rectángulo                                                                        5 · (5 − 3) : 2 = 5  
  • 7. Ejercicios: Completa la tabla. 3 4 5 6 6 8 Regular Irregular Irregular 10
  • 8.
    • Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.
    50 Calcular la diagonal de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura. 136
  • 9. Calcular número de diagonales. 6 · (6 − 3) : 2 = 9 : 2 = 9
  • 10. Cuadriláteros
    • Los cuadriláteros son figuras geométricas que tienen cuatro lados y cuatro ángulos.
    • Se clasifican en: Paralelógramos, Trapecios y Trapezoides.
    • Paralelógramos: Cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Los paralelogramos son: el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
  • 11. a) Cuadrado: Todos sus lados son de igual medida. Todos sus ángulos miden 90º. b) Rectángulo: Tiene dos pares de igual medida. Todos sus ángulos son rectos. P = 4 · l P= 2 (a+b)
  • 12. c) Rombo: Todos sus lados son de igual medida. Sus ángulos no son rectos; dos son agudos y dos son obtusos (los ángulos opuestos). d) Romboide : Tiene dos pares de lados de igual medida. Dos pares de sus ángulos son agudos y dos pares son obtusos    P = 4 · l P = 2b + 2a
  • 13.
    • Trapecios : Son cuadriláteros que tiene solamente un par de lados paralelos.
    • Los trapecios son: trapecio isósceles, trapecio rectángulo, trapecio trisolátero y trapecio escaleno.
    a) Trapecio isósceles: tiene un par de lados paralelos de igual medida. P= a + b + c +d   Sus ángulos basales son iguales AD  =   BC < DAB   =   < ABC e no es perpendicular con f e = f Las diagonales no son bisectrices. α + β = 180 º AE = EB, ED = EC, EG = 2EF El trazo FG (perpendicular a las bases divide a cada base en la mitad)
  • 14. b) Trapecio trisolátero: Es el que tiene tres lados de igual medida. Sus ángulos basales son de igual medida, respectivamente c) Trapecio rectángulo: Es el que tiene dos ángulos rectos, es decir, un ángulo de 90º. P= a + b + c +d P= a + b + c +d
  • 15. d) Trapecio escaleno: Tiene todos sus lados de distinta medida. Sus ángulos basales también son diferentes.
    • Trapezoides: Son aquellos cuadriláteros que no tienen lados paralelos. Ellos son el trapezoide simétrico y el trapezoide asimétrico.
    P= a + b + c +d
  • 16. a) trapezoide simétrico: Tiene dos pares de lados de igual medida. b) Trapezoide asimétrico: Puede tener dos lados de igual medida, tres lados de igual medida o bien ninguno. 
  • 17. Ejercicios Calcular el perímetro de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura . P = 2 · (10 + 6) = 32 cm
  • 18. Ejercicios
    • Calcular el perímetro de un cuadrado de 5 cm
    • de lado.
    • P = 4 · 5 = 20 cm
  • 19. TRIÁNGULO Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados , y los extremos de los lados, vértices .
  • 20. Clasificación de los triángulos según sus lados :
    • Equiláteros (sus tres lados iguales)
    Isósceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno (tres lados desiguales)
  • 21. Según sus ángulos: Rectángulos (un ángulo recto) Acutángulos (tres ángulos agudos) Obtusángulos (un ángulo obtuso)
  • 22. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS  
    • Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos agudos .
    Hipotenusa : La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto , y es lado mayor del triángulo. Catetos : Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos , y son los lados menores del triángulo
  • 23. Área de un triángulo rectángulo: El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2 . Del cateto : En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
  • 24. Congruencia
    • Dos figuras son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma.
    • Existen diferentes formas de mover una figura plana, estas son:
    • - Trasladar
    • - Invertir
    • - Girar o rotar
  • 25.
    • a) trasladar: existe traslación si dos figuras son de igual tamaño, de igual forma e igual posición (una delante de la otra)
  • 26.
    • b) invertir: existe inversión cuando dos figuras tienen el mismo tamaño, la misma forma y están en posición inversa o enfrentada.
  • 27.
    • c) rotación o giro: existe rotación cuando una figura tiene el mismo tamaño, misma forma y ha girado sobre uno de sus puntos.
  • 28. Semejanzas
    • figuras que son idénticas, excepto en sus dimensiones.
    • Dos triángulos son semejantes siempre que sus ángulos sean congruentes y si sus lados homólogos (ángulos opuestos a los ángulos iguales)son proporcionales .
  • 29.
    •   
    • Una de las figuras es una ampliación de la otra. Por ejemplo, todas las circunferencias que se muestran en la figura de la son semejantes.
    • Entre los rectángulos, ya no hay semejanza general. Por ejemplo, los rectángulos de la figura siguiente no son semejantes.
  • 30.
    • Para determinar la semejanza entre las figuras existen criterios que son los siguientes:
    • CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE DOS POLÍGONOS:
    • Para que dos polígonos (con el mismo número de lados) sean semejantes se deben cumplir dos condiciones:
    •   1. Los ángulos respectivos deben ser iguales:                         A = A´ ; B = B´ ; C = C´ ; ...
    • 2. Los lados respectivos deben ser proporcionales: 
    • AB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´D´ = constante
  • 31.
    • Dos polígonos son semejantes si y solamente si los ángulos correspondientes
    • son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.
  • 32. Criterios de semejanzas de triángulos
    • 1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
    2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman. 3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales.
  • 33. ejercicios
    • 1º Una fotografía rectangular de 10 cm x 15 cm se enmarca dejando una franja de 5 cm de ancho por todo el borde, como muestra la figura (NO está a escala). ¿Son semejantes los rectángulos que se forman al interior y al exterior? Explica
  • 34.
    • Thales era un hombre que se destacó en varia áreas : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra
    • Se destaco que en sus teoremas geométricos aparecen los inicios del concepto de demostración y se podría decir que son el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas.
    Teorema de Thales
  • 35. Teorema
    • &quot; Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales
    • En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 T y S son transversales, los segmentos a,b,c,d son proporcionales, es decir:
    a c d b a /b =c/d T S L 1 L 2 L 3
  • 36. en la figura L 1 // L 2 // L 3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD Formamos la proporción 3/2=x+4/x+1 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= 5 + 4 = 9 L 1 L 2 L 3 T S x+4 x+1 3 2 C D
  • 37. Triángulos de Thales
    • En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón de semejanza
    De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: AE/AB=ED/BC B C A D E
  • 38. Aplicaciones de esta idea
    • Calcula la altura del siguiente edificio
    Escribimos la proporción 3/5=15/x Por que 3+12=15 Y resolvemos la proporción 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25 x 5 3 12
  • 39. teorema de Euclides en un triangulo rectangulo, segun el teorema de euclides, se cumple que: el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la proyección del mismo cateto la altura elevado al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa H^2 = m x n b^2 = a x m c^2 = a x n
  • 40. Ejemplo C B A 40 10 D Triangulo ∆ABC Rectángulo en C Encontrar h 40 x 10 = 400 si 400 es igual que h al cuadrado se saca la raiz a √(400) √(400) = 20 h = 20 h
  • 41. Área de un triángulo El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos.  La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados.  Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:  Área del triángulo = (base . altura) / 2
  • 42. Linkografia
    • Ariana Aguilera: polígonos
    • http:// matematica - educativa.blogspot.com /2007/05/ polgonos.html
    • http:// www.escolar.com / geometr /03polig.htm
    • http:// www.vitutor.com / geo /eso/s_1. html
    • http:// www.geoka.net / geometria / poligonos.html
  • 43.
    • Carolina Andrade: cuadriláteros
    • http://www.profesorenlinea.cl/geometria/cuadrilateros.htm
    • http:// puntajenacional.cl / uploads / guia /-240355215b47465497c3e2e7d671c8b68253662cc4b0c5838. pdf
  • 44.
    • - Katherine Aravena: triángulos
    • http:// www.ditutor.com / geometria / triangulo_rectangulo.html
    • http:// www.ditutor.com / geometria / triangulo_rectangulo.html
  • 45. Constanza Barraza: semejanzas.
    • http:// www.rena.edu.ve / TerceraEtapa / Matematica /TEMA30/ SemejanzaTriangulos.html
    • http:// www.sectormatematica.cl / educmedia.htm
    • http:// www.vitutor.com / geo /eso/ ss _3. html
    • http:// inst - mat.utalca.cl / tem /taller- geo /interactivas/curso1/ geometria / geoweb /semej3.htm
    • http:// www.amolasmates.es / pdf / cidead /3_eso/apuntes/ teoria %20figuras%20planas%20propiedades
  • 46.
    • Gabriel Bustos: teorema de Thales.
    • http:// www.iesadpereda.net / thales / thales.htm
    • http:// www.geoka.net / triangulos / triangulo_thales.html
    • http:// sapiens.ya.com / adolfoyfrancisc / thales.htm
  • 47.
    • Kareen Norambuena:
    • http://80.24.129.36/mates/descartes/1y2_eso/ Los_cuadrilateros /Cuadrilateros2.htm
    • http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_cuadrado.html
    • http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_rombo.html
    • http://www.ditutor.com/geometria/perimetro_romboide.html
    • http://www.geoka.net/triangulos/area_triangulo.html
  • 48.
    • Marcia Caneo:
    http:// sipan.inictel.gob.pe / internet / av / geometri / areas.htm