Capitulo4 libroinvestigacion

No todo Grupo de Lie es Grupo Ma-
tricial
Se empieza por presentar la definiciń de grupo de Lie en seguida se
o
demuestra que la funciń exp es localmente un difeomorfismo. Luego se
o
demuestra que todo subgrupo matricial de GLn (K) es un subgrupo de Lie.
Finalmente presentamos: No Todo Grupo de Lie es un Subgrupo
Matricial de GLn (K), usando el grupo Heisenberg de tamaõ 3 como
n
contraejemplo y herramientas de la teor´ de grupos.
ıa

4.1. Grupos de Lie
4.1 Definiciń. Un grupo de Lie es una variedad suave G que tambiń es
o e
un grupo topol´gico en la cual las operaciones de multiplicaciń e inverso
o o

mult : G × G −→ G inv : G −→ G
y
(x, y) −→ xy x −→ x−1

son suaves en variedades.
Aqu´ se entiende que G × G es la variedad producto, G es un espacio
ı
topol´gico Hausdorff separable y la extensiń de mult e inv son funciones
o o
infinitamente diferenciables.

75

Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg

4.2 Definiciń. Sea G un grupo de Lie. Un subgrupo cerrado H de G que
o
tambiń es una subvariedad de G es llamado subgrupo de Lie de G.
e

Algunos ejemplos de grupos de Lie, no descritos en este trabajo, son los
siguientes:

1. (Rn , +) es un grupo de Lie, ya que es una variedad suave debido a que
es un espacio topol´gico Hausdorff separable con atlas la identidad, es
o
un grupo topol´gico aditivo y las operaciones de adiciń y cambio de
o o
signo son suaves.

2. U Tn (R) y SU Tn (R) son grupos de Lie, ya que son subgrupos cerrados
de (GLn (R), mult) Generalizando, todo grupo matricial es un grupo de
lie como veremos m´s adelante.
a

4.2. El GLn (K) y SLn (K) como Ejemplos de Grupos de
Lie
Como es costumbre sea K = R o C. En esta secciń se demostrar´ que los
o a
conjuntos representativos

GLn (K) := {A ∈ Mn (K) : det(A) = 0} y SLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA = 1}

localmente tienen una estructura de espacio euclidiano.

4.1 Ejemplo. El GLn (K) es un grupo de Lie, con la multiplicaciń
o
de matrices.
Demostraciń. Por definiciń de grupo de Lie.
o o

1. Veamos que GLn (K) es variedad suave.
El Mn (K) es variedad suave puesto que es espacio topol´gico Hausdorff
o
separable con la topolog´ dada en cap´
ıa ıtulo 1 y tomando como carta
2
la coord se forma el atlas A = {coord : Mn (K) −→ Kn } . La coord es
2
un homeomorfismo (carta) entre Mn (K) y Kn por lo que dimensiń de o
2
Mn (K) es n .
El GLn (K) es subconjunto abierto de la variedad suave Mn (K), proposi-
ciń 1.18, lo que permite formar el atlas restringida, A|GLn (K) = {coord :
o
2
GLn (K) −→ Kn }. Adem´s es un espacio topol´gico Hausdorff separa-
a o
ble con la topolog´ relativa heredada de Mn (K). Por tanto GLn (K) es
ıa
una variedad suave.

76


2. Por la proposiciń(1.17) GLn (K) es grupo bajo la mul-
o
tiplicaciń de matrices. Por otro lado mult|GLn (K)
o y
inv|GLn (K) son continuas, ver proposiciń
o (1.19). Por
consiguiente GLn (K) es grupo topol´gico.
o

3. Adem´s, la multiplicaciń e inversa son suaves por ser funciones
a o
polin´micas por coordenadas y funciń racional por coordenadas re-
o o
spectivamente,
 n n 
   a1k bk1 · · · a1k bkn
a11 · · · a1n b11 · · · b1n  k=1 k=1 
 . ... .   . .. .  −→  . ... . 
 . . .  .
. . . . 
.  .
. .
. 

an1 · · · ann bn1 · · · bnn  n n 
a b ···
nk k1 a bnk kn
k=1 k=1
 
a11 · · · a1n i+j
 .
. .. .  −→ A−1 = transpuesta de la matriz (−1) det Aij .
. 
 . . . det A
an1 · · · ann
Por tanto GLn (K) es un grupo de Lie.
4.2 Ejemplo. El conjunto de matrices cuya determinante es uno,

SLn (K) = {A ∈ Mn (K) : detA = 1},

es un subgrupo de Lie de GLn (K).
Demostraciń. Por definiciń de subgrupo de Lie.
o o
1. Como SLn (K) es subgrupo matricial de GLn (K). Entonces SLn (K) es
subgrupo cerrado de GLn (K).

2. Veamos que SLn (K) es subvariedad de GLn (K).
La funciń determinante, det : GLn (K) −→ K, es una funciń suave
o o
entre variedades.
As´ para A en SLn (K) = det−1 {1} tenemos que
ı,

d(det)A : TA GLn (K) = Mn (K) −→ T1 K = K
Si γ : (a, b) −→ GLn (K) es una curva suave con γ(0) = A. Entonces

d(det)A (γ (0)) = (det ◦ γ) (0).

77


Sea γ0 : (a, b) −→ GLn (K); γ0 (t) := A−1 γ(t). Tenemos que γ0 (0) = I y
por lema 2.14
(det ◦ γ0 ) (0) = trγ0 (0).
Por lo tanto

(det ◦ γ) (0) = (det ◦ Aγ0 ) (0) = (detA)(det ◦ γ0 ) (0) = trγ0 (0),

d(det)A (γ (0)) = trγ0 (0) con, γ0 (t) = A−1 γ(t)
Entonces d(det)A (X) = tr(A−1 X) para γ (0) = X ∈ Mn (K). Co-
mo tr es sobreyectiva entonces la transformaciń lineal es d(det)A :
o
Mn (K) −→ K es sobreyectiva para cada A ∈ det−1 {1} = SLn (K). De
este modo por el teorema de la funciń implicita det−1 {1} = SLn (K)
o
es una subvariedad de GLn (K).
Por consiguiente SLn (K) es subgrupo de Lie de GLn (K).

N´tese que la dimensiń de SLn (K) es dim Mn (K) − dim R = n2 − 1
o o
cuando K = R y su espacio tangente en A ∈ SLn (K) esta dado por

TA SLn (K) = ker d(det)A = {AX ∈ Mn (K)/tr(X) = 0}.

Dada un grupo de Lie G y un elemento g ∈ G entonces existe el espacio
tangente de G en g, Tg G. Viendo a G como una variedad usaremos la
notaciń usual TI G := g para el espacio tangente de G en la identidad de
o
G. Por tanto, se dice el ´lgebra de Lie correspondiente al grupo de Lie
a
al espacio vectorial tangente a la variedad suave en la identidad, que tiene
la misma dimensiń que la variedad y la misma notaciń.
o o

Para G un grupo de Lie y g ∈ G, las tres siguientes funciones son
particularmente importantes, ya que permiten demostrar teoremas.

Lg : G −→ G; Lg (x) := gx (multiplicaciń a izquierda)
o

Rg : G −→ G; Rg (x) := xg (multiplicaciń a derecha)
o
χg : G −→ G; χg (x) := gxg −1 (Conjugaciń)
o

Apostilla. Para M y N variedad suave, respectivamente. Las funciones

78


Ilustraciń 3: El ´lgebra de Lie de un grupo de Lie.
o a

proyecciones p1 : M ×N −→ M y p2 : M ×N −→ N dadas por p1 (m, n) = m
y p2 (m, n) = n son suaves.

4.3 Proposiciń.
o Para cada g ∈ G
las funciones Lg , Rg , χg son difeomorfismo
con inversas
L−1 = Lg−1 , Rg = Rg−1 , χ−1 = χg−1 .
g
−1
g

Demostraciń.
o

1. Sean g, x en G y p2 : G×G −→ G la funciń proyecciń usual. Entonces,
o o

mult(g, x) = Lg ◦ p2 (g, x).

Sean φ : U −→ V , φ : U −→ V y θ : W −→ W cartas en g, x y gx
respectivamente (suponiendo a mult(U × U ) y Lg (U ) subconjuntos de
W ).
Entonces, por ser G un grupo de Lie tenemos que

θ ◦ mult ◦ (φ × φ)−1 = θ ◦ mult ◦ φ−1 × φ−1 es suave.

Por lo tanto

θ ◦ mult ◦ (φ−1 × φ−1 ) = θ ◦ Lg ◦ p2 ◦ φ−1 × φ−1 = θ ◦ Lg ◦ φ−1

79


es suave. Esto para cartas cualesquiera φ y θ de x ∈ G y gx ∈ G.
As´ Lg : G −→ G es una funciń suave entre variedades.
ı, o

Por otro lado tenemos Lg ◦ Lg−1 = Id = Lg−1 ◦ Lg para la fun-
ciń Lg−1 = G −→ G dada por Lg−1 x = g −1 x. Por consiguiente
o
Lg : G −→ G es biyectiva y su inversa es Lg−1 : G −→ G, que tambiń
e
es suave por la forma Lg−1 : G −→ G.
2. Con argumentos similares se prueba que Rg es suave para cada g ∈ G.
3. Adem´s, note que
a
χ = Lg ◦ Rg−1 = Rg−1 ◦ Lg .
y la composiciń de funciones suaves es suave.
o
4.3. Todo Subgrupo de Matricial de GLn (K) es Grupo
de Lie
En esta secciń se demuestra que la funciń exponencial aplica localmente
o o
el ´lgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo.
a

Para esto se empieza definiendo el conjunto
g := {A ∈ Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G}
donde G es un subgrupo matricial de GLn (R).

4.6 Teorema. g es una sub´lgebra de Lie real de Mn (R).
a
Demostraciń. Por definiciń, si a es ´lgebra de Lie sobre K con corchete de
o o a
Lie [, ] entonces un subespacio vectorial b de a es una sub´lgebra de Lie
a
de a sobre K si es cerrada bajo corchete de Lie, es decir, si x, y ∈ b implica
[x, y] ∈ b.
1. Veamos que g es subespacio vectorial de Mn (R).
Por definiciń g ⊆ Mn (R). La matriz 0n ∈ g ya que exp(t0) = I ∈ G
o
para todo t ∈ R. Por definiciń g es cerrado bajo la multiplicaciń por
o o
un escalar.

Sea A, B ∈ g. Para r ≥ 1 se tiene que los siguientes elementos
estń en G:
a
r
1 1 1 1
exp A exp B , exp A exp B .
r r r r

80


Por f´rmula del producto Trotter, teorema 2.17, para t ∈ R tenemos
o
que
r
1 1
exp(tA + tB) = l´
ım exp tA exp tB .
r−→∞ r r

Como G es un subgrupo cerrado de GLn (R) entonces el l´
ımite se en-
cuentra en G. Es decir (A + B) ∈ g.

2. Veamos que g es cerrado bajo el corchete de Lie.
Si A, B ∈ g y r ≥ 1 se tiene que el siguiente elemento est´ en G:
a
r2
1 1 −1 −1
exp A exp B exp A exp B .
r r r r
Por f´rmula del conmutador, teorema 2.17, para t ∈ R tenemos que
o

exp(t[A, B]) = exp([tA, B])
1 1 −1
= l´
ım exp tA exp B exp tA
r−→∞ r r r
r2
−1
exp B .
r

Como G es un conjunto cerrado en GLn (R) entonces el l´
ımite se en-
cuentra en G. Es decir, [A, B] ∈ g para A, B ∈ g.
Por consiguiente g es una sub´lgebra de Lie real de Mn (R).
a

Sea G un subgrupo matricial de GLn (K).

g := TI G = {γ (0) : γ es una curva diferenciable con γ(0) = I}.

4.7 Proposiciń. Para un grupo matricial inversible, G, g es una sub´lgebra
o a
de Lie real de g
Demostraciń. Veamos que g es subespacio vectorial de g y es cerrada bajo
o
el corchete de Lie.
Afirmemos g ⊆ g. En efecto, sea A ∈ g entonces la curva
γ : R −→ G; γ(t) = exp(tA), satisface que γ(0) = I y γ (0) = A,
por lo tanto A ∈ g. Por otro lado g es subespacio de Mn (R) por la
proposiciń 4.6, mientras por la proposiciń 3.8 g subespacio de Mn (R). Por
o o

81


consiguiente, g es subespacio vectorial g.
Por la proposiciń 4.6 g es cerrado bajo el corchete de Lie.
o

Antes de enunciar el teorema que sigue se requiere de un resultado
tćnico.
e
4.8 Lema. Sea {An ∈ exp−1 G}n≥1 tal que An → 0 y {sn ∈ R}n≥1 .
Si sn An −→ A ∈ Mn (R) cuando n −→ ∞ entonces A ∈ g.
Es decir, dada {An } una sucesiń de matrices cuadradas de orden n × n y
o
{sn } sucesiń de n´meros reales tales que la sucesiń {expAn } est´ contenida
o u o a
en el grupo matricial inversible G y el l´ ımite de la sucesiń de normas
o
{ An } de las matrices dadas es cero. Entonces, el limite de {sn An } est´ en
a
g.
Demostraciń. Sea x ∈ R y n un n´mero entero inmediato inferior de x. Se
o u
define
[x] = n para n ≤ x < n + 1.
Sea t ∈ R arbitrario. Para cada n ∈ N, escojamos un entero mn = [sn t] ∈ Z
la que verifica que |tsn − mn | ≤ 1. Entonces

mn An − tA ≤ mn An − An tsn + An tsn − tA
= |mn − tsn | An + |t| An sn − A
≤ An + |t| An sn − A .

Haciendo n −→ ∞ se obtiene mn An −→ tA ya que An −→ 0 y sn An −
A −→ 0.
Por otro, lado tenemos

exp(mn An ) = exp(An )mn ∈ G,

y como G es cerrado en GLn (R) ya que G es grupo matricial inversible, luego
se tiene
exp(tA) = l´ exp(mn An ) ∈ G.
ım
n→∞

Por lo tanto exp(tA) ∈ G para cada t ∈ R, esto es, A ∈ g.

La funciń exponencial a menudo ayuda a determinar algebras de Lie;
o ´
por lo que la funciń exponencial es relevante.
o
4.9 Teorema Sea G un subgrupo matricial de GLn (K).
1
La funciń exponencial exp : g −→ G dada por exp(A) = n≥0 n! An , es
o

82


localmente difeomorfismo en la matriz 0, aplica una bola abierta de la matriz
0 sobre una bola abierta de I en G.
Demostraciń. Escogemos V un subespacio real complementario de g, esto
o

Ilustraciń 4: La exponencial aplica una vecindad de 0 en g en una vecindad
o
de I en G.

es, un subespacio real de Mn (R) tal que g ⊕ V = Mn (R). Entonces cada
elemento X ∈ Mn (K) tiene una unica expresiń de la forma X = A + B,
´ o
donde A ∈ g y B ∈ V .
Consideremos la funciń
o
Φ : g ⊕ V = Mn (R) −→ GLn (R)
(A + B) −→ exp(A)exp(B), (A ∈ g, B ∈ V ).
La Φ es funciń
o suave que aplica la ma-
triz nula 0 ∈ Mn (R) en la matriz identidad
I ∈ GLn (R),
1 1
exp(0 + 0) = exp(0)exp(0) = (I + 0 + 02 + ...)(I + 0 + 02 + ...) = I.
2 2
N´tese que el factor exp(A) est´ en G.
o a
Consideremos la derivada en 0,
DΦ(0) : Mn (R) −→ TI GLn (R) = Mn (R).

83


Para determinar DΦ(0)(A+B), la derivada de Φ en 0 evaluada en un punto de
A + B ∈ Mn (R) = g ⊕ V donde A ∈ g y B ∈ V , hallamos la derivada de la
curva t −→ Φ(t(A + B)) en t = 0, es decir,

Φ(0 + t(A + B)) − Φ(0)
DΦ(0)(A + B) = l´
ım
t−→0 t
d
= Φ(t(A + B))|t=0 . (4.1)
dt
Tomemos A, B y t ∈ R pequeõs, con norma menor que 1/2, por la igualdad
n
(4.1) de la p´gina 48 tenemos que
a

Φ(t(A + B)) = exp(tA)exp(tB) = exp(C(t)) (4.2)

para una unica C(t) (que depende de t) matriz en Mn (R) tal que C(0) = 0
´
y por la proposiciń 2.16 se tiene
o

t2
C(t) − t(A + B) − [A, B] ≤ 65|t|3 ( A + B )3
2
t2
C(t) − t(A + B) ≤ [A, B] + 65|t|3 ( A + B )3
2
o
´
t2
C(t) − t(A + B) ≤ ( [A, B] + 130|t|( A + B )3 )
2
Haciendo |t| −→ 0, tenemos

C(t) − C(0) − t(A + B) C(t) − t(A + B)
l´
ım = l´
ım = 0.
t−→0 |t| t−→0 |t|
d
As´ pues,
ı dt
C(t)|t=0 = A + B. Por lo tanto de (4.1) y (4.2)

d d d
Φ(t(A + B))|t=0 = exp(C(t))|t=0 = exp(C(0)). C(t)|t=0 = A + B.
dt dt dt
Entonces DΦ(0) es la funciń identidad en una vecindad pequeã de la matriz
o n
0 ∈ Mn (K). Puesto que, para cualquier A en Mn (R) existen {Ai }1≤i≤m con
m
norma menor que 1/2 tal que A = Ai . Entonces se puede asegurar por la
i=1
linealidad de DΦ(0) que DΦ(0) es la funciń identidad en todo Mn (R). En
o
consecuencia aplicando el teorema de funciń inversa, ver proposiciń 3.30,
o o

84


Φ es un difeomorfismo para alguna vecindad U de la matriz 0 en Mn (R),
llevando esto a terminos de bolas abiertas, existe bola abierta NMn (K) (0; δ)
para algń δ > 0 tal que la restricciń de Φ a
u o

Φ|NMn (K) (0;δ) : NMn (K) (0; δ) −→ Φ(NMn (K) (0; δ))

es un difeomorfismo.
Ahora tenemos que demostrar que

exp|NMn (K) (0;δ)∩g = Φ|NMn (K) (0;δ)∩g : NMn (K) (0; δ)∩g −→ Φ|NMn (K) (0;δ)∩g (NMn (K) (0; δ)∩g)

aplica una bola abierta de NMn (K) (0; δ) ∩ g sobre una bola abierta de I en
G. Supongamos lo contrario, esto es, existe una sucesiń en G, {Un }, tal
o
que Un −→ I pero Un ∈ Φ(g) para toda n ∈ N. Para un n grande sabemos
que Un ∈ Φ(NMn (K) (0; δ)) ya que Φ en NMn (K) (0; δ) es un difeomorfismo.
Entonces existen An ∈ g y Bn ∈ V − {0} tal que Φ(An + Bn ) = Un . Por ser
Φ en NMn (K) (0; δ) un difeomorfismo tenemos que si

Un −→ I =⇒ Φ−1 (Un ) = An + Bn → Φ−1 (I) = 0

y esto implica que An → 0 y Bn → 0. Por definiciń de Φ tenemos que
o

Φ(An + Bn ) = exp(An )exp(Bn ) = Un ∈ G

o
´
exp(Bn ) = (exp(An ))−1 Un ∈ G,
entonces Bn ∈ exp−1 (G). Consideremos a Bn := Bn Bn que est´ en la esfera
1
a
unitaria de Mn (R), la cual es compacta, entonces existe una subsucesiń o
convergente de {Bn }. Renombrando, si es necesario, tomamos Bn → B con B
en la esfera unitaria de Mn (R), B = 1. Por el lema 4.8 para {Bn ∈ exp−1 G}
1
y { Bn ∈ R} se obtiene que

1
Bn = Bn → B ∈ g
Bn

Pero cada Bn y por lo tanto cada Bn est´ en V . Por ser V cerrado en Mn (R)
a
tenemos que B ∈ V . Por lo tanto B ∈ g ∩ V = {0}, pero esto genera una
contradicciń siempre que B = 1.
o
Por consiguiente exp es un difeomorfismo de una bola abierta de 0,

85


NMn (K) (0; δ1 ) ∩ g ⊆ g, en una bola abierta de I, NMn (K) (I; δ2 ) :=
exp(NMn (K) (0; δ1 ) ∩ g) ⊆ G.

Como vemos la funciń exponencial aplica difeomorficamente el ´lge-
o a
bra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo localmente. Por lo que
el algebra de Lie captura muchas de las propiedades del grupo matricial
´
inversible, y como se trata de un algebra su manejo es m´s sencillo.
´ a

4.10 Teorema. Todo subgrupo matricial de GLn (R) es un subgrupo
de Lie de GLn (R).
Demostraciń. Por definiciń de subgrupo de Lie.
o o
Sea G un subgrupo matricial de GLn (K) cualquiera. Entonces G es subgrupo
cerrado en GLn (K).
Veamos que G es una subvariedad de GLn (R). En efecto, G es un espacio
topol´gico Hausdorff separable pues su topolog´ relativa es la heredada de
o ıa
GLn (K) dada por TG = {U ⊆ G : U = F ∩
G para algń abierto F en GLn (K)}.
u

Por el teorema 4.9 tenemos que para algń abierto V
u ⊆ g tal que
0 ∈ V y un abierto U ⊆ G tal que I ∈ G

exp|V : V ⊆ g −→ U ⊆ G

es un difeomorfismo. Como g ⊆ Mn (R) es un subespacio normado real de
dimensiń finita entonces g es una variedad suave y sus cartas vienen dadas
o
por restricciones abiertas del homeomorfismo entre g y RdimR g . Para el home-
omorfismo coord entre g y RdimR g tenemos que

φg := coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 : Lg (U ) ⊆ G −→ V ⊆ RdimR g

es una carta de dimensiń dimR g en g ∈ G y donde V = coord ◦ exp−1 U .
o
Sea φg1 y φg2 cartas arbitrarias tal que Lg1 (U1 ) ∩ Lg2 (U2 ) = φ.
−1
φg2 ◦ φ−1 = coord ◦ exp−1 ◦ Lg2 ◦ coord ◦ exp−1 ◦ Lg1
g1 −1 −1

= coord ◦ exp−1 ◦ Lg2 ◦ Lg1 ◦ exp ◦ coord−1 ,
−1

entonces φg2 ◦ φ−1g1 es un difeomorfismo en
dimR g
abiertos de R . Entonces φg1 y φg2

86


estń relacionados. Por lo tanto A := {φg /g ∈ G} es un atlas de dimensiń
a o
dimR g para G.

Versiń simple del ´lgebra de Lie de un subgrupo
o a
matricial de GLn (K)
Sea G un subgrupo matricial de GLn (K), entonces
g = g.
Donde los espacios vectoriales son definidas por g := {A ∈
Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G} y g := TI G = {α (0) ∈ Mn (K) :
α es una curva diferenciable con α(0) = I}.
En efecto:
Sea G es un subgrupo matricial de GLn (K). La dimensiń de G, como
o
variedad, es la dimensiń de sus cartas dimR g, la cual es igual a la dimensiń
o o
de su algebra de Lie, segń la definiciń 3.7, que es dimR g. Por lo tanto,
´ u o
dimR g = dimR g y dado que g ⊆ g se tiene que g = g.

4.4. Grupo Heisenberg de Tama˜ o 3
n
Los siguientes parr´fos extra´ de Esther GALINA en [11] describe al grupo
a ıdo
Heisenberg, haciendo uso de las series de Fourier y teor´ de representaciones,
ıa
de la forma siguiente:
“ ... El grupo Heisenberg Hn es un grupo de Lie conexo, simplemente conexo,
dos pasos nilpotente, un grupo no conmutativo y no compacto. Su nombre
y su significado en la mecńica cuńtica proviene del hecho que su ´lgebra
a a a
de Lie sobre R est´ definida por las relaciones canńicas de conmutaciń
a o o
de Heisenberg. EL grupo de Heisenberg tiene aplicaciones en diversas ´reas
a
de la matem´tica, la f´sica te´rica, la teorá de c´digos y seãles digitales,
a ı o ı o n
como as´ tambiń en la ingenier´ elćtrica ...”
ı e ıa e

Aunque es posible definir el grupo Heisn para n arbitrario. Aqu´ de- ı
scribimos el grupo de Heisenberg de tamaõ 3, Heis3 , obteniendo de una
n
forma sencilla como el cociente de dos grupos matriciales inversibles, donde
una ellos es un subgrupo normal del otro.
Construcciń del grupo Heisenberg. Sea SU T3 (R) el conjunto de
o
matrices triangulares superiores tal que a11 = a22 = a33 = 1, esto es,
  
 1 a b 
SU T3 (R) =  0 1 c  : a, b, c ∈ R .
0 0 1
 

87


SU T3 (R) es un subgrupo matricial de GL3 (R), ya que del ejemplo 2.3 es
grupo bajo multiplicaciń de matrices y es cerrado en GLn (K).
o
La regla prćtica de multiplicaciń de dos matrices en SU T3 (R) viene dado
a o
por
    
1 x1 x2 1 y1 y2 1 x1 + y 1 x2 + x 1 y 3 + y 2
 0 1 x 3   0 1 y3  =  0 1 x3 + y3 
0 0 1 0 0 1 0 0 1

y la regla prćtica para obtener la inversa
a de una matriz en SU T3 (R) viene
dado por
 −1  
1 a b 1 −a ac − b
 0 1 c  = 0 1 −c  .
0 0 1 0 0 1
Se precisa aqu´ si G es grupo y N es subgrupo de G. Se dice que N es
ı,
normal en G si y s´lo si gng −1 ∈ N , para cualesquier n ∈ N y g ∈ G.
o
Acontinuaciń se define el conjunto
o
  
 1 0 z 
Z3 :=  0 1 0  : z ∈ Z .
0 0 1
 

Luego se deduce que Z3 es un subgrupo normal de SU T3 (R).
En efecto, dado cualquier A ∈ SU T3 (R) y z ∈ Z3 , entonces para cualquier
a, b, c ∈ R y s ∈ Z se tiene que
     
1 a b 1 0 z 1 −a ac − b 1 0 s
AzA−1 =  0 1 c   0 1 0   0 1 −c  =  0 1 0  = z ∈ Z3 .
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

4.12 Definiciń. El grupo Heisenberg de tamaõ 3, se define como el co-
o n
ciente de dos grupos

Heis3 := SU T3 (R)/Z3 = {AZ3 : A ∈ SU T3 (R)}.

N´tese, Heis3 es el conjunto de todas las clases laterales de Z3 en SU T3 (R)
o
donde las clases laterales o bien son ajenas o bien iguales. Como Z3 es sub-
grupo normal de SU T3 (R) entonces AZ3 = Z3 A y (AZ3 )(BZ3 ) = (AB)Z3

88


para cualesquier A, B ∈ SU T3 (R). En consecuencia es posible darle a Heis3
una estructura de grupo con la siguiente operaciń binaria
o
mult : Heis3 × Heis3 −→ Heis3
(AZ3 , BZ3 ) −→ mult(AZ3 , BZ3 ) = (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 .

Lo cual cumple los axiomas de grupo con I3 Z3 como elemento identidad
(donde I3 es la matriz identidad de SU T3 (R)) y A−1 Z3 como inverso de AZ3 .
Adem´s, la proyecciń canńica o natural q : SU T3 (R) −→ SU Z3 (R) = Heis3
a o o T
3
dada por q(A) = AZ3 es un homomorfismo sobreyectivo cuyo nćleo es Z3 ,
u
es decir Ker q = Z3 .

4.13 Proposiciń. El grupo Heisenberg de
o tamaõ 3, Heis3 , es un
n
grupo de Lie.
Demostraciń.
o
(i) Veamos que Heis3 es una variedad suave.
Sea q : SU T3 (R) −→ Heis3 = SU Z3 (R) dada por
T
3

      
1 a b 1 a b  1 a b+z 
q  0 1 c  =  0 1 c  Z3 =  0 1 c :z∈Z
0 0 1 0 0 1 0 0 1
 

la proyecciń
o natural entonces q es ho-
momorfismo sobreyectivo. Aprovechando esto
daremos al grupo Heisenberg, Heis3 , una estructura topol´gica como
o
sigue:

U ⊆ Heis3 es abierto si y solo si q −1 (U ) ⊆ SU T3 (R) es abierto.

El grupo Heisenberg, Heis3 , con esta topolog´ es Hausdorff separable. En
ıa
−1 −1
efecto, como q (φ) = φ y q (Heis3 ) = SU T3 (R) son abiertos en SU T3 (R)
entonces φ y Heis3 son abiertos en Heis3 . Sea {Uλ } una familia cualquiera
de abiertos en Heis3 entonces q −1 (Uλ ) es abierto en SU T3 (R) para cada
λ luego q −1 (Uλ ) = q −1 ( Uλ ) es abierto en SU T3 (R) por lo que Uλ
es un abierto en Heis3 . Tambiń es Uλ es abierto en Heis3 dado que
e
−1 −1
q ( Uλ ) = q (Uλ ) y {Uλ } es familia finita de abiertos en Heis3 .
Esta topolog´ hace de q una aplicaciń abierta. Para U ⊆ SU T3 (R) se tiene
ıa, o
−1
q (qU ) = sU donde U s = {us ∈ SU T3 (R) : u ∈ U }. Si U ⊆ SU T3 (R)
s∈Z3
es abierto, entonces cada U s (s ∈ Z3 ) es abierto. Por lo tanto q(U ) es abierto

89


en Heis3 .
Esta topolog´ hace de q una aplicaciń continua. Sea U ⊆ Heis3 un abierto
ıa, o
entonces por definiciń de q, q −1 (U ) es abierto en SU T3 (R).
o
El Heis3 = SU Z3 (R) es separable. En efecto, Como SU T3 (R) es separable
T
3
entonces existe una base contable de abiertos SU T3 (R) = Ui . Luego
i∈N
aplicando tenemos Heis3 = q(Ui ) que es una base contable de abiertos.
i∈N
Finalmente Heis3 es Hausdorff. Sea AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 con AZ3 = BZ3
entonces AZ3 ∩ BZ3 = φ luego aplicando q −1 (AZ3 ) ∩ q −1 (BZ3 ) = φ o sea
que A = B son puntos distintos en SU T3 (R). Como SU T3 (R) es un espacio
topol´gico Hausdorff separable entonces para A y B existen abiertos U A
o
yV B en SU T3 (R) tal que U ∩ V = φ. Como q es sobreyectiva entonces
existen conjuntos U = q −1 (U ) con AZ3 ∈ U y V = q −1 (V ) con BZ3 ∈ V .
Como φ = U ∩ V = q −1 (U ) ∩ q −1 (V ) entonces U ∩ V = φ.

Se
 define Ux1 ,x2 ,x3 como bola abierta de radio 1/2 y centro

1 x1 x2
 0 1 x3  ∈ SU T3 (R) con x1 , x2 , x3 ∈ Q en SU T3 (R), esto es,
0 0 1
      
 1 y1 y2 1 x1 x2 1 y1 y2 
Ux1 ,x2 ,x3 =  0 1 y3  :  0 1 x3  −  0 1 y3  < 1/2 .
0 0 1 0 0 1 0 0 1
 
max

Entonces la colecciń U := {Ux1 ,x2 ,x3 : xi ∈ Q} es un cubrimiento contable
o
de SU T3 (R).
La aplicaciń (restringida de la proyecciń natural) definida por
o o

φa,b,c : Ua,b,c −→ φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3
   
1 x1 x2 1 x1 x2
 0 1 x3  −→  0 1 x3  Z3
0 0 1 0 0 1

es un homeomorfismo entre Ua,b,c y φa,b,c (Ua,b,c ). En efecto, la aplicaciń φa,b,c
o
es
sobreyectiva.    
1 x1 x2 1 y1 y2
Veamos que φa,b,c es inyectiva. Sean  0 1 x3 ,  0 1 y3  en
0 0 1 0 0 1

90


Ua,b,c entonces |x2 − b| < 1 y |y2 − b| < 2 .
2
1

Si     
1 x1 x2  1 x1 x2 + z 
 0 1 x3  Z3 =  0 1 x3  : z ∈ Z
0 0 1 0 0 1
 

es igual a
    
1 y1 y2  1 y1 y2 + z 
 0 1 y3  Z3 =  0 1 y3  : z ∈ Z
0 0 1 0 0 1
 

entonces
    
1 x1 x2 1 y1 y2 1 0 z
 0 1 x3  =  0 1 y3   0 1 0  para algń z ∈ Z
u
0 0 1 0 0 1 0 0 1
   
1 x1 x2 1 y1 y2 + z
 0 1 x3  =  0 1 y3 
0 0 1 0 0 1

por igualdad de matrices se sigue x1 = y1 , x3 = y3 y x2 − y2 = z ∈ Z.
Por otro lado |x2 − y2 | ≤ |x2 − b| + |y2 − b| < 2 + 1 < 1. Como x2 − y2 ∈ Z
1
2
entonces x2 = y2 . Entonces φa,b,c : Ua,b,c ⊆ SU T3 (R) −→ φa,b,c (Ua,b,c ) dada
por φa,b,c (A) = AZ3 es biyectiva con inversa φ−1 : φa,b,c (Ua,b,c ) −→ Ua,b,c
a,b,c
dada por φ−1 (AZ3 ) = A.
a,b,c
Las funciones φa,b,c y φ−1 son continuas. Supongamos U ⊆ Heis3 abierto en
a,b,c
Heis3 entonces por definiciń de topolog´ φ−1 (U ) es abierto en SU T3 (R).
o ıa
Supongamos U ⊆ SU T3 (R) es abierto en SU T3 (R). Como la funciń φ−1 es
o a,b,c
sobreyectiva entonces existe un conjunto V ⊆ Heis3 tal que U = φ−1 (V ) a,b,c
luego por definiciń de topolog´ V es abierto en Heis3 . Como φ−1 es
o ıa a,b,c
−1 −1 −1
biyectiva entonces (φa,b,c ) (U ) = φa,b,c (U ) = φa,b,c (φa,b,c (V )) = V es
abierto en Heis3 . Por consiguiente φa,b,c es homeomorfismo.
 
1 a b
La aplicaciń, ψ : SU T3 (R) −→ R3 dada por  0 1 c  −→ (a, b, c) es un
o
0 0 1
difeomorfismo de manera natural. Entonces la compuesta

ψ ◦ φ−1 : φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3 −→ ψ(Ua,b,c ) ⊆ R3
a,b,c

91


es homeomorfismo de un abierto de Heis3 en un abierto de R3 . En conse-
cuencia ψ ◦ φ−1 es una carta de Heis3 de dimensiń 3.
a,b,c o

Sean dos cartas, ψ ◦ φ−1 y ψ ◦ φ−1 ,c , tal que Ua,b,c ∩ Ua ,b ,c = φ
a,b,c a ,b
entonces (ψ ◦ φ−1 ) ◦ (ψ ◦ φ−1 ,c )−1 = (ψ ◦ φ−1 ) ◦ (φa ,b ,c ◦ ψ −1 ) la
a,b,c a ,b a,b,c
composiciń es difeomorfismo, por lo tanto las cartas estń relacionadas.
o a
Por otro lado, como SU T3 (R) = {Ua,b,c : a, b, c ∈ Q} luego aplicando φa,b,c
tenemos Heis3 = q(SU T3 (R)) = {φa,b,c (Ua,b,c ) : a, b, c ∈ Q}. Por tanto
A := ψ ◦ φ−1 : a, b, c ∈ Q es un atlas de dimensiń 3 para Heis3 .
a,b,c o

Por consiguiente, Heis3 es una variedad suave de dimensiń 3.
o

(ii) Veamos que Heis3 es grupo topol´gico. El Heis3 es grupo con la
o
operaciń (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 , donde AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 ,. La operaciń
o o
binaria mult = LAZ3 ◦ P2 , donde AZ3 ∈ Heis3 , es continua porque LAZ3
y P2 son continuas. La operaciń unaria inv = LA−1 Z3 ◦ CT EIZ3 , donde
o
CT EIZ3 : Heis3 −→ {IZ3 } dada por CT EIZ3 (AZ3 ) = IZ3 , es continua
porque LA−1 Z3 y CT EIZ3 son continuas.

(iii) Puesto que LAZ3 , P2 , LA−1 Z3 y CT EIZ3 son suaves. Entonces

mult : Heis3 × Heis3 −→ Heis3 inv : Heis3 −→ Heis3
y
(xZ3 , yZ3 ) −→ xyZ3 xZ3 −→ x−1 Z3

son funciones suaves.
Por lo tanto de (i), (ii) y (iii) se concluye que el grupo Heisenberg, Heis3 ,
es un grupo de Lie de dimensiń 3.
o
4.14 Definiciń.o
Los centros de SU T y Heis3 estń definidos por
 3 (R)  a 
 1 0 b 
1. C(SU T3 (R)) :=  0 1 0 :b∈R .
0 0 1
 
 
 1 0 b 
2. C(Heis3 ) :=  0 1 0  Z3 : b ∈ R .
0 0 1
 

Luego C(SU T3 (R)) es subgrupo normal de SU T3 (R) y C(Heis3 ) es
subgrupo normal abeliano de Heis3 .
Notaciń de cociente del grupo Heisenberg.
o

92


Notemos que C(Heis3 ) = C(SU T3 (R))/Z3 .
El grupo circular
S1 := {z ∈ C : |z| = 1}
es ismomorfo al centro de Heis3 , es decir C(Heis3 ) ∼ S1 con el isomorfismo
=
natural dada por
 
1 0 t
 0 1 0  Z3 ←→ e2πit . (4,2)
0 0 1

De ahora en adelante denotaremos un cociente
 
1 x t
 0 1 y  Z3 ∈ Heis3
0 0 1

como [x, y, e2πit ].
Entonces un elemento de Heis3 tendr´ la forma [x, y, z] para x, y ∈ R y
a
1
z ∈ S . El elemento unidad de Heis3 es [0, 0, 1] = IZ3 .
La multiplicaciń, inversos y conmutadores en Heis3 estń dados
o a
por

[x1 , x2 , x3 ][y1 , y2 , y3 ] = [x1 + y1 , x2 + y2 , x3 y3 e2πx1 y2 ],
[x, y, z]−1 = [−x, −y, z −1 e2πixy ],
[x1 , x2 , x3 ] [y1 , y2 , y3 ] [x1 , x2 , x3 ]−1 [y1 , y2 , y3 ]−1 = [0, 0, e2πi(x1 y2 −x2 y1 ) ].

Para x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R y x3 , y3 ∈ S1 .

4.5. No Todo Grupo de Lie Tiene Representaciń
o
Matricial
El siguiente teorema nos muestra que el grupo de Heisenberg de tamaõ 3,
n
Heis3 , no puede ser considerado como un subgrupo matricial de GLn (K) en
un sentido m´s amplio y tćnico podemos decir que entre Heis3 y GLn (C)
a e
no existe un isomorfismo continuo de grupos con lo que se da por finalizado
este trabajo de pregrado de la que se desprende una pregunta y es: ¿Cuńdo
a
un grupo de Lie es un subgrupo matricial de GLn (K)?, segń lo expuesto
u
por Andrew Baker en su libro Matrix Groups[5]; todo grupo de Lie compacto
puede ser representado por un subgrupo matricial de GLn (K).

93


4.15 Teorema
No existen homomorfismo continuos de grupos ϕ : Heis3 −→ GLn (C) con
kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3 Z3 }, para cualquier n ∈ N. Es decir, el
grupo de Heisenberg de tamaõ 3, Heis3 , no tiene representaciń mediante
n o
un subgrupo matricial de GLn (K).
Demostraciń por absurdo.
o
Supongamos que ϕ : Heis3 −→ GLn (C) es un homomorfismo continuo con
kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3 Z3 }, y sea n el m´ ınimo para el cual
esto sucede.

Por cada g ∈ Heis3 , la matriz ϕ(g), actá sobre Cn del siguiente
u
modo

Heis3 × Cn → Cn
(g, v) → ϕ(g)v.

Identificamos a C(Heis3 ) con S1 por medio del isomorfismo dado en la
ecuaciń 4.2.
o

Sean z0 ∈ C(Heis3 ) ∼ S1 y λ un valor propio de la matriz ϕ(z0 ) con
=
vector propio v, entonces det(ϕ(z0 ) − λIn ) = 0, ϕ(z0 )v = λv y adem´s
a
k
ϕ(z0 )v = ϕ(z0 )k v = ϕ(z0 )k−1 λv = λk v.

N´tese que el autovalor λ = 0 pues si λ = 0 entonces det(ϕ(z0 )) = 0 lo cual
o
contradice al det(ϕ(z0 )) = 0 ya que ϕ(z0 ) ∈ GLn (C).
−1
Tomemos a |λ| ≥ 1 (reemplazando, si es necesario, z0 por z0 )
Si |λ| > 1 se obtiene que

k |ϕ(z0 )k x|
ϕ(z0 ) := m´x
a : x ∈ Cn − {0} ≥ |λ|k ;
|x|
k
por lo tanto ϕ(z0 ) → ∞ cuando k → ∞, lo cual implica que
k
{ϕ(z0 ) : k ∈ N} no est´ acotada por el criterio de comparaciń.
a o
k
Por otro lado {z0 : k ∈ N} ⊆ C(Heis3 ) = ∼ S1 y S1 es compacto entonces
por la continuidad de ϕ la imagen ϕ(S1 ) es compacto. En consecuencia
k
{ϕ(z0 ) : k ∈ N} es acotada. Lo cual es una contradicciń. As´ necesaria-
o ı,
mente |λ| = 1.

94


Sea g un elemento cualquiera de Heis3 , entonces

ϕ(z0 )ϕ(g)v = ϕ(z0 g)v = ϕ(gz0 )v = ϕ(g)ϕ(z0 )v = λϕ(g)v,

lo cual muestra que ϕ(g)v ∈ Cn es un vector propio de ϕ(z0 ) para el valor
propio λ.
Sean

Vλk := {v ∈ Cn /∃k ≥ 1 tal que (ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0} y Vλ := Vλk .
k

Se deduce que
Vλ1 ⊆ Vλ2 ⊆ · · · ⊆ Vλk ⊆ · · ·
EL conjunto Vλ es un subespacio vectorial de Cn , el cual es cerrado bajo la
acci´n de las matrices ϕ(g) con g ∈ Heis3 , es decir, si v est´ en Vλ , entonces
o a
ϕ(g)v est´ en Vλ . Esto es verdad ya que si v est´ en Vλ existe un k > 0 para
a a
el cual (ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0, as´
ı

(ϕ(z0 ) − λIn )k ϕ(g)v = (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 )ϕ(g) − λϕ(g))v
= (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 g) − λϕ(g))v
= (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(gz0 ) − λϕ(g))v
= (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )v
= ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )k v
= 0,

Por lo tanto ϕ(g)v ∈ V λ.
Escojamos k0 ≥ 1 el mayor n´mero natural para la cual exista v0 ∈ Vλ que
u
satisfaga

(ϕ(z0 ) − λIn )k0 v0 = 0, pero (ϕ(z0 ) − λIn )k0 −1 v0 = 0.

Si k0 > 1,

0 = (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 ,

Sean v := (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 y u := (ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0
vectores que porsupuesto son no nulos en Vλ tales que

95


ϕ(z0 )u = λu + v, ϕ(z0 )v = λv.
Dado que v = 0 y para cualquier k ∈ N,
k
ϕ(z0 )u = ϕ(z0 )k u
= ϕ(z0 )k−1 (λu + v)
= λϕ(z0 )k−1 u + ϕ(z0 )k−1 v
= λϕ(z0 )k−1 u + λk−1 v
= λϕ(z0 )k−2 (λu + v) + λk−1 v
= λ2 ϕ(z0 )k−2 u + λk−1 v + λk−1 v
= λ2 ϕ(z0 )k−3 (λu + v) + λk−1 v + λk−1 v
= λ3 ϕ(z0 )k−3 u + λk−1 v + λk−1 v + λk−1 v
.
.
.
= λk u + kλk−1 v,

puesto que |λ| = 1 se obtiene

ϕ(z0 ) = ϕ(z0 )k ≥ |λ|k−1 |λu + kv| = |λu + kv| → ∞
k

cuando k → ∞. Esta afirmaciń esta en contradicciń con el hecho que ϕ(S1 )
o o
es acotada, entonces k0 = 1. Por consiguiente Vλ es el espacio vectorial de los
vectores propios de ϕ(z0 ) para el valor propio λ, es decir,

Vλ := {v : (ϕ(z0 ) − λIn )v = 0}.

As´ pues, la siguiente acciń del Heis3 sobre Vλ
ı o

ϕ : Heis3 × Vλ → Vλ
(g, v) → ϕ(g)v

es la representaciń de Heis3 sobre el espacio vectorial Vλ , por lo tanto la
o
aplicaciń (la cual podemos tomar ϕ sin perder la generalidad)
o

ϕ : Heis3 −→ GLdimVλ (C)

es un homomorfismo continuo con kernel trivial tal que ϕ(z0 ) = λI(dimVλ ) y
por la condiciń m´
o ınima de n se debe tener que dimVλ = n. Es m´s, por la
a
continuidad de ϕ tenemos que para todo z en C(Heis3 ), ϕ(z) = (escalar)In .

96


Dado que todo z ∈ C(Heis3 ) es un conmutador; z = ghg −1 h−1 para
g, h ∈ Heis3 , y det como ϕ son homomorfismos, tenemos que

detϕ(z) = detϕ(ghg −1 h−1 ) = 1 (∀z ∈ C(Heis3 )).

Entonces, existe una funciń continua µ : C(Heis3 ) −→ C× = C − {0} tal
o
que para todo z en C(Heis3 ),

ϕ(z) = µ(z)In y µ(z)n = detϕ(z) = 1.

Como C(Heis3 ) ∼ S1 es un subconjunto conexo de C y ϕ(I3 Z3 ) = In donde
=
I3 Z3 ∈ C(Heis3 ), se tiene que µ(z) = 1 para toda z en S1 ∼ C(Heis3 ). As´
= ı,
ϕ(z) = In para todo z en C(Heis3 ), por lo tanto C(Heis3 ) est´ contenido en
a
Kerϕ, es decir C(Heis3 ) ⊆ Kerϕ. Lo cual es contradictorio con la suposiciń
o
de que el kernel de ϕ es trivial, es decir kerϕ = {IZ3 }.

Por tanto, no existe homomorfismos continuo entre Heis3 y GLn (C),
ϕ : Heis3 −→ GLn (C), con kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]}. Es decir, el
grupo de Heisenberg de tamaõ 3, Heis3 , no tiene representaciń mediante
n o
un subgrupo matricial de GLn (K).

97


La funci´n exponencial aplica el ´lgebra de Lie de un subgrupo
o a
matricial de GLn (K) en el grupo mismo.

98

Bibliograf´
ıa

[1] EMILIO LLUIS PUEBLA. Teorá
ı de
grupos: Publicaciń
o de la Sociedad
Matem´tica Mexicana, 2006.
a

[2] E. LAGES LIMA. Introdu¸õ `s variedades diferenci´veis: Editorial
ca a a
Meridional, 1960.

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E. LAGES LIMA. Algebra linear : Publicaciń de IMPA, s´ptima edi-
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ciń, 2004.
o

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Lie que no son Grupos de Matrices: Departamento de Matem´ticas
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An introduction to Lie group theory:
Editorial Springer-Verlag-Inglaterra, 2002.

[6] R. CARTER, G. SEGAL & I. MACDONALD. Lectures on Lie Groups
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99

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[11] ESTHER GALINA. Representaciones del grupo de Heisenberg: Notas
´
del curso de Analisis Armonico en el Grupo Heisenberg en la Univer-
sidad Nacional de Cordova-Espaã, dictadas en el primer semestre de
n
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[12] SERGE LANG. Algebra: Editorial Addison-Wesley, segunda ediciń
o
1984.

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