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CAPÍTULO 4 DEL LIBRO DE NEWTON

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    Capitulo4 libroinvestigacion Capitulo4 libroinvestigacion Document Transcript

    • No todo Grupo de Lie es Grupo Ma-tricialSe empieza por presentar la definici´n de grupo de Lie en seguida se odemuestra que la funci´n exp es localmente un difeomorfismo. Luego se odemuestra que todo subgrupo matricial de GLn (K) es un subgrupo de Lie.Finalmente presentamos: No Todo Grupo de Lie es un SubgrupoMatricial de GLn (K), usando el grupo Heisenberg de tama˜o 3 como ncontraejemplo y herramientas de la teor´ de grupos. ıa4.1. Grupos de Lie 4.1 Definici´n. Un grupo de Lie es una variedad suave G que tambi´n es o eun grupo topol´gico en la cual las operaciones de multiplicaci´n e inverso o o mult : G × G −→ G inv : G −→ G y (x, y) −→ xy x −→ x−1son suaves en variedades.Aqu´ se entiende que G × G es la variedad producto, G es un espacio ıtopol´gico Hausdorff separable y la extensi´n de mult e inv son funciones o oinfinitamente diferenciables. 75
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg4.2 Definici´n. Sea G un grupo de Lie. Un subgrupo cerrado H de G que otambi´n es una subvariedad de G es llamado subgrupo de Lie de G. eAlgunos ejemplos de grupos de Lie, no descritos en este trabajo, son lossiguientes: 1. (Rn , +) es un grupo de Lie, ya que es una variedad suave debido a que es un espacio topol´gico Hausdorff separable con atlas la identidad, es o un grupo topol´gico aditivo y las operaciones de adici´n y cambio de o o signo son suaves. 2. U Tn (R) y SU Tn (R) son grupos de Lie, ya que son subgrupos cerrados de (GLn (R), mult) Generalizando, todo grupo matricial es un grupo de lie como veremos m´s adelante. a4.2. El GLn (K) y SLn (K) como Ejemplos de Grupos deLieComo es costumbre sea K = R o C. En esta secci´n se demostrar´ que los o aconjuntos representativosGLn (K) := {A ∈ Mn (K) : det(A) = 0} y SLn (K) := {A ∈ Mn (K) : detA = 1}localmente tienen una estructura de espacio euclidiano.4.1 Ejemplo. El GLn (K) es un grupo de Lie, con la multiplicaci´n ode matrices.Demostraci´n. Por definici´n de grupo de Lie. o o 1. Veamos que GLn (K) es variedad suave. El Mn (K) es variedad suave puesto que es espacio topol´gico Hausdorff o separable con la topolog´ dada en cap´ ıa ıtulo 1 y tomando como carta 2 la coord se forma el atlas A = {coord : Mn (K) −→ Kn } . La coord es 2 un homeomorfismo (carta) entre Mn (K) y Kn por lo que dimensi´n de o 2 Mn (K) es n . El GLn (K) es subconjunto abierto de la variedad suave Mn (K), proposi- ci´n 1.18, lo que permite formar el atlas restringida, A|GLn (K) = {coord : o 2 GLn (K) −→ Kn }. Adem´s es un espacio topol´gico Hausdorff separa- a o ble con la topolog´ relativa heredada de Mn (K). Por tanto GLn (K) es ıa una variedad suave. 76
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg 2. Por la proposici´n(1.17) GLn (K) es grupo bajo la mul- o tiplicaci´n de matrices. Por otro lado mult|GLn (K) o y inv|GLn (K) son continuas, ver proposici´n o (1.19). Por consiguiente GLn (K) es grupo topol´gico. o 3. Adem´s, la multiplicaci´n e inversa son suaves por ser funciones a o polin´micas por coordenadas y funci´n racional por coordenadas re- o o spectivamente,  n n     a1k bk1 · · · a1k bkn a11 · · · a1n b11 · · · b1n  k=1 k=1   . ... .   . .. .  −→  . ... .   . . .  . . . . .  .  . . . .   an1 · · · ann bn1 · · · bnn  n n  a b ··· nk k1 a bnk kn k=1 k=1   a11 · · · a1n i+j  . . .. .  −→ A−1 = transpuesta de la matriz (−1) det Aij . .   . . . det A an1 · · · ann Por tanto GLn (K) es un grupo de Lie.4.2 Ejemplo. El conjunto de matrices cuya determinante es uno, SLn (K) = {A ∈ Mn (K) : detA = 1},es un subgrupo de Lie de GLn (K).Demostraci´n. Por definici´n de subgrupo de Lie. o o 1. Como SLn (K) es subgrupo matricial de GLn (K). Entonces SLn (K) es subgrupo cerrado de GLn (K). 2. Veamos que SLn (K) es subvariedad de GLn (K). La funci´n determinante, det : GLn (K) −→ K, es una funci´n suave o o entre variedades. As´ para A en SLn (K) = det−1 {1} tenemos que ı, d(det)A : TA GLn (K) = Mn (K) −→ T1 K = K Si γ : (a, b) −→ GLn (K) es una curva suave con γ(0) = A. Entonces d(det)A (γ (0)) = (det ◦ γ) (0). 77
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg Sea γ0 : (a, b) −→ GLn (K); γ0 (t) := A−1 γ(t). Tenemos que γ0 (0) = I y por lema 2.14 (det ◦ γ0 ) (0) = trγ0 (0). Por lo tanto (det ◦ γ) (0) = (det ◦ Aγ0 ) (0) = (detA)(det ◦ γ0 ) (0) = trγ0 (0), d(det)A (γ (0)) = trγ0 (0) con, γ0 (t) = A−1 γ(t) Entonces d(det)A (X) = tr(A−1 X) para γ (0) = X ∈ Mn (K). Co- mo tr es sobreyectiva entonces la transformaci´n lineal es d(det)A : o Mn (K) −→ K es sobreyectiva para cada A ∈ det−1 {1} = SLn (K). De este modo por el teorema de la funci´n implicita det−1 {1} = SLn (K) o es una subvariedad de GLn (K).Por consiguiente SLn (K) es subgrupo de Lie de GLn (K).N´tese que la dimensi´n de SLn (K) es dim Mn (K) − dim R = n2 − 1 o ocuando K = R y su espacio tangente en A ∈ SLn (K) esta dado por TA SLn (K) = ker d(det)A = {AX ∈ Mn (K)/tr(X) = 0}.Dada un grupo de Lie G y un elemento g ∈ G entonces existe el espaciotangente de G en g, Tg G. Viendo a G como una variedad usaremos lanotaci´n usual TI G := g para el espacio tangente de G en la identidad de oG. Por tanto, se dice el ´lgebra de Lie correspondiente al grupo de Lie aal espacio vectorial tangente a la variedad suave en la identidad, que tienela misma dimensi´n que la variedad y la misma notaci´n. o oPara G un grupo de Lie y g ∈ G, las tres siguientes funciones sonparticularmente importantes, ya que permiten demostrar teoremas. Lg : G −→ G; Lg (x) := gx (multiplicaci´n a izquierda) o Rg : G −→ G; Rg (x) := xg (multiplicaci´n a derecha) o χg : G −→ G; χg (x) := gxg −1 (Conjugaci´n) oApostilla. Para M y N variedad suave, respectivamente. Las funciones 78
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg Ilustraci´n 3: El ´lgebra de Lie de un grupo de Lie. o aproyecciones p1 : M ×N −→ M y p2 : M ×N −→ N dadas por p1 (m, n) = my p2 (m, n) = n son suaves.4.3 Proposici´n. o Para cada g ∈ Glas funciones Lg , Rg , χg son difeomorfismocon inversas L−1 = Lg−1 , Rg = Rg−1 , χ−1 = χg−1 . g −1 gDemostraci´n. o 1. Sean g, x en G y p2 : G×G −→ G la funci´n proyecci´n usual. Entonces, o o mult(g, x) = Lg ◦ p2 (g, x). Sean φ : U −→ V , φ : U −→ V y θ : W −→ W cartas en g, x y gx respectivamente (suponiendo a mult(U × U ) y Lg (U ) subconjuntos de W ). Entonces, por ser G un grupo de Lie tenemos que θ ◦ mult ◦ (φ × φ)−1 = θ ◦ mult ◦ φ−1 × φ−1 es suave. Por lo tanto θ ◦ mult ◦ (φ−1 × φ−1 ) = θ ◦ Lg ◦ p2 ◦ φ−1 × φ−1 = θ ◦ Lg ◦ φ−1 79
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg es suave. Esto para cartas cualesquiera φ y θ de x ∈ G y gx ∈ G. As´ Lg : G −→ G es una funci´n suave entre variedades. ı, o Por otro lado tenemos Lg ◦ Lg−1 = Id = Lg−1 ◦ Lg para la fun- ci´n Lg−1 = G −→ G dada por Lg−1 x = g −1 x. Por consiguiente o Lg : G −→ G es biyectiva y su inversa es Lg−1 : G −→ G, que tambi´n e es suave por la forma Lg−1 : G −→ G. 2. Con argumentos similares se prueba que Rg es suave para cada g ∈ G. 3. Adem´s, note que a χ = Lg ◦ Rg−1 = Rg−1 ◦ Lg . y la composici´n de funciones suaves es suave. o4.3. Todo Subgrupo de Matricial de GLn (K) es Grupode LieEn esta secci´n se demuestra que la funci´n exponencial aplica localmente o oel ´lgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo. aPara esto se empieza definiendo el conjunto g := {A ∈ Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G}donde G es un subgrupo matricial de GLn (R).4.6 Teorema. g es una sub´lgebra de Lie real de Mn (R). aDemostraci´n. Por definici´n, si a es ´lgebra de Lie sobre K con corchete de o o aLie [, ] entonces un subespacio vectorial b de a es una sub´lgebra de Lie ade a sobre K si es cerrada bajo corchete de Lie, es decir, si x, y ∈ b implica[x, y] ∈ b. 1. Veamos que g es subespacio vectorial de Mn (R). Por definici´n g ⊆ Mn (R). La matriz 0n ∈ g ya que exp(t0) = I ∈ G o para todo t ∈ R. Por definici´n g es cerrado bajo la multiplicaci´n por o o un escalar. Sea A, B ∈ g. Para r ≥ 1 se tiene que los siguientes elementos est´n en G: a r 1 1 1 1 exp A exp B , exp A exp B . r r r r 80
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg Por f´rmula del producto Trotter, teorema 2.17, para t ∈ R tenemos o que r 1 1 exp(tA + tB) = l´ ım exp tA exp tB . r−→∞ r r Como G es un subgrupo cerrado de GLn (R) entonces el l´ ımite se en- cuentra en G. Es decir (A + B) ∈ g. 2. Veamos que g es cerrado bajo el corchete de Lie. Si A, B ∈ g y r ≥ 1 se tiene que el siguiente elemento est´ en G: a r2 1 1 −1 −1 exp A exp B exp A exp B . r r r r Por f´rmula del conmutador, teorema 2.17, para t ∈ R tenemos que o exp(t[A, B]) = exp([tA, B]) 1 1 −1 = l´ ım exp tA exp B exp tA r−→∞ r r r r2 −1 exp B . r Como G es un conjunto cerrado en GLn (R) entonces el l´ ımite se en- cuentra en G. Es decir, [A, B] ∈ g para A, B ∈ g.Por consiguiente g es una sub´lgebra de Lie real de Mn (R). aSea G un subgrupo matricial de GLn (K). g := TI G = {γ (0) : γ es una curva diferenciable con γ(0) = I}.4.7 Proposici´n. Para un grupo matricial inversible, G, g es una sub´lgebra o ade Lie real de gDemostraci´n. Veamos que g es subespacio vectorial de g y es cerrada bajo oel corchete de Lie.Afirmemos g ⊆ g. En efecto, sea A ∈ g entonces la curvaγ : R −→ G; γ(t) = exp(tA), satisface que γ(0) = I y γ (0) = A,por lo tanto A ∈ g. Por otro lado g es subespacio de Mn (R) por laproposici´n 4.6, mientras por la proposici´n 3.8 g subespacio de Mn (R). Por o o 81
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenbergconsiguiente, g es subespacio vectorial g.Por la proposici´n 4.6 g es cerrado bajo el corchete de Lie. oAntes de enunciar el teorema que sigue se requiere de un resultadot´cnico. e4.8 Lema. Sea {An ∈ exp−1 G}n≥1 tal que An → 0 y {sn ∈ R}n≥1 .Si sn An −→ A ∈ Mn (R) cuando n −→ ∞ entonces A ∈ g.Es decir, dada {An } una sucesi´n de matrices cuadradas de orden n × n y o{sn } sucesi´n de n´meros reales tales que la sucesi´n {expAn } est´ contenida o u o aen el grupo matricial inversible G y el l´ ımite de la sucesi´n de normas o{ An } de las matrices dadas es cero. Entonces, el limite de {sn An } est´ en ag.Demostraci´n. Sea x ∈ R y n un n´mero entero inmediato inferior de x. Se o udefine [x] = n para n ≤ x < n + 1.Sea t ∈ R arbitrario. Para cada n ∈ N, escojamos un entero mn = [sn t] ∈ Zla que verifica que |tsn − mn | ≤ 1. Entonces mn An − tA ≤ mn An − An tsn + An tsn − tA = |mn − tsn | An + |t| An sn − A ≤ An + |t| An sn − A .Haciendo n −→ ∞ se obtiene mn An −→ tA ya que An −→ 0 y sn An −A −→ 0.Por otro, lado tenemos exp(mn An ) = exp(An )mn ∈ G,y como G es cerrado en GLn (R) ya que G es grupo matricial inversible, luegose tiene exp(tA) = l´ exp(mn An ) ∈ G. ım n→∞Por lo tanto exp(tA) ∈ G para cada t ∈ R, esto es, A ∈ g.La funci´n exponencial a menudo ayuda a determinar algebras de Lie; o ´por lo que la funci´n exponencial es relevante. o4.9 Teorema Sea G un subgrupo matricial de GLn (K). 1La funci´n exponencial exp : g −→ G dada por exp(A) = n≥0 n! An , es o 82
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberglocalmente difeomorfismo en la matriz 0, aplica una bola abierta de la matriz0 sobre una bola abierta de I en G. Demostraci´n. Escogemos V un subespacio real complementario de g, esto oIlustraci´n 4: La exponencial aplica una vecindad de 0 en g en una vecindad ode I en G.es, un subespacio real de Mn (R) tal que g ⊕ V = Mn (R). Entonces cadaelemento X ∈ Mn (K) tiene una unica expresi´n de la forma X = A + B, ´ odonde A ∈ g y B ∈ V .Consideremos la funci´n o Φ : g ⊕ V = Mn (R) −→ GLn (R) (A + B) −→ exp(A)exp(B), (A ∈ g, B ∈ V ).La Φ es funci´n o suave que aplica la ma-triz nula 0 ∈ Mn (R) en la matriz identidadI ∈ GLn (R), 1 1 exp(0 + 0) = exp(0)exp(0) = (I + 0 + 02 + ...)(I + 0 + 02 + ...) = I. 2 2N´tese que el factor exp(A) est´ en G. o aConsideremos la derivada en 0, DΦ(0) : Mn (R) −→ TI GLn (R) = Mn (R). 83
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergPara determinar DΦ(0)(A+B), la derivada de Φ en 0 evaluada en un punto deA + B ∈ Mn (R) = g ⊕ V donde A ∈ g y B ∈ V , hallamos la derivada de lacurva t −→ Φ(t(A + B)) en t = 0, es decir, Φ(0 + t(A + B)) − Φ(0) DΦ(0)(A + B) = l´ ım t−→0 t d = Φ(t(A + B))|t=0 . (4.1) dtTomemos A, B y t ∈ R peque˜os, con norma menor que 1/2, por la igualdad n(4.1) de la p´gina 48 tenemos que a Φ(t(A + B)) = exp(tA)exp(tB) = exp(C(t)) (4.2)para una unica C(t) (que depende de t) matriz en Mn (R) tal que C(0) = 0 ´y por la proposici´n 2.16 se tiene o t2 C(t) − t(A + B) − [A, B] ≤ 65|t|3 ( A + B )3 2 t2 C(t) − t(A + B) ≤ [A, B] + 65|t|3 ( A + B )3 2o´ t2 C(t) − t(A + B) ≤ ( [A, B] + 130|t|( A + B )3 ) 2Haciendo |t| −→ 0, tenemos C(t) − C(0) − t(A + B) C(t) − t(A + B) l´ ım = l´ ım = 0. t−→0 |t| t−→0 |t| dAs´ pues, ı dt C(t)|t=0 = A + B. Por lo tanto de (4.1) y (4.2) d d d Φ(t(A + B))|t=0 = exp(C(t))|t=0 = exp(C(0)). C(t)|t=0 = A + B. dt dt dtEntonces DΦ(0) es la funci´n identidad en una vecindad peque˜a de la matriz o n0 ∈ Mn (K). Puesto que, para cualquier A en Mn (R) existen {Ai }1≤i≤m con mnorma menor que 1/2 tal que A = Ai . Entonces se puede asegurar por la i=1linealidad de DΦ(0) que DΦ(0) es la funci´n identidad en todo Mn (R). En oconsecuencia aplicando el teorema de funci´n inversa, ver proposici´n 3.30, o o 84
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergΦ es un difeomorfismo para alguna vecindad U de la matriz 0 en Mn (R),llevando esto a terminos de bolas abiertas, existe bola abierta NMn (K) (0; δ)para alg´n δ > 0 tal que la restricci´n de Φ a u o Φ|NMn (K) (0;δ) : NMn (K) (0; δ) −→ Φ(NMn (K) (0; δ))es un difeomorfismo.Ahora tenemos que demostrar queexp|NMn (K) (0;δ)∩g = Φ|NMn (K) (0;δ)∩g : NMn (K) (0; δ)∩g −→ Φ|NMn (K) (0;δ)∩g (NMn (K) (0; δ)∩g)aplica una bola abierta de NMn (K) (0; δ) ∩ g sobre una bola abierta de I enG. Supongamos lo contrario, esto es, existe una sucesi´n en G, {Un }, tal oque Un −→ I pero Un ∈ Φ(g) para toda n ∈ N. Para un n grande sabemosque Un ∈ Φ(NMn (K) (0; δ)) ya que Φ en NMn (K) (0; δ) es un difeomorfismo.Entonces existen An ∈ g y Bn ∈ V − {0} tal que Φ(An + Bn ) = Un . Por serΦ en NMn (K) (0; δ) un difeomorfismo tenemos que si Un −→ I =⇒ Φ−1 (Un ) = An + Bn → Φ−1 (I) = 0y esto implica que An → 0 y Bn → 0. Por definici´n de Φ tenemos que o Φ(An + Bn ) = exp(An )exp(Bn ) = Un ∈ Go´ exp(Bn ) = (exp(An ))−1 Un ∈ G,entonces Bn ∈ exp−1 (G). Consideremos a Bn := Bn Bn que est´ en la esfera 1 aunitaria de Mn (R), la cual es compacta, entonces existe una subsucesi´n oconvergente de {Bn }. Renombrando, si es necesario, tomamos Bn → B con Ben la esfera unitaria de Mn (R), B = 1. Por el lema 4.8 para {Bn ∈ exp−1 G} 1y { Bn ∈ R} se obtiene que 1 Bn = Bn → B ∈ g BnPero cada Bn y por lo tanto cada Bn est´ en V . Por ser V cerrado en Mn (R) atenemos que B ∈ V . Por lo tanto B ∈ g ∩ V = {0}, pero esto genera unacontradicci´n siempre que B = 1. oPor consiguiente exp es un difeomorfismo de una bola abierta de 0, 85
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergNMn (K) (0; δ1 ) ∩ g ⊆ g, en una bola abierta de I, NMn (K) (I; δ2 ) :=exp(NMn (K) (0; δ1 ) ∩ g) ⊆ G.Como vemos la funci´n exponencial aplica difeomorficamente el ´lge- o abra de Lie de un grupo de Lie en el grupo mismo localmente. Por lo queel algebra de Lie captura muchas de las propiedades del grupo matricial ´inversible, y como se trata de un algebra su manejo es m´s sencillo. ´ a4.10 Teorema. Todo subgrupo matricial de GLn (R) es un subgrupode Lie de GLn (R).Demostraci´n. Por definici´n de subgrupo de Lie. o oSea G un subgrupo matricial de GLn (K) cualquiera. Entonces G es subgrupocerrado en GLn (K).Veamos que G es una subvariedad de GLn (R). En efecto, G es un espaciotopol´gico Hausdorff separable pues su topolog´ relativa es la heredada de o ıaGLn (K) dada por TG = {U ⊆ G : U = F ∩G para alg´n abierto F en GLn (K)}. uPor el teorema 4.9 tenemos que para alg´n abierto V u ⊆ g tal que0 ∈ V y un abierto U ⊆ G tal que I ∈ G exp|V : V ⊆ g −→ U ⊆ Ges un difeomorfismo. Como g ⊆ Mn (R) es un subespacio normado real dedimensi´n finita entonces g es una variedad suave y sus cartas vienen dadas opor restricciones abiertas del homeomorfismo entre g y RdimR g . Para el home-omorfismo coord entre g y RdimR g tenemos que φg := coord ◦ exp−1 ◦ Lg−1 : Lg (U ) ⊆ G −→ V ⊆ RdimR ges una carta de dimensi´n dimR g en g ∈ G y donde V = coord ◦ exp−1 U . oSea φg1 y φg2 cartas arbitrarias tal que Lg1 (U1 ) ∩ Lg2 (U2 ) = φ. −1 φg2 ◦ φ−1 = coord ◦ exp−1 ◦ Lg2 ◦ coord ◦ exp−1 ◦ Lg1 g1 −1 −1 = coord ◦ exp−1 ◦ Lg2 ◦ Lg1 ◦ exp ◦ coord−1 , −1entonces φg2 ◦ φ−1g1 es un difeomorfismo en dimR gabiertos de R . Entonces φg1 y φg2 86
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenbergest´n relacionados. Por lo tanto A := {φg /g ∈ G} es un atlas de dimensi´n a odimR g para G.Versi´n simple del ´lgebra de Lie de un subgrupo o amatricial de GLn (K)Sea G un subgrupo matricial de GLn (K), entonces g = g.Donde los espacios vectoriales son definidas por g := {A ∈Mn (R)/ ∀t ∈ R, exp(tA) ∈ G} y g := TI G = {α (0) ∈ Mn (K) : α es una curva diferenciable con α(0) = I}.En efecto:Sea G es un subgrupo matricial de GLn (K). La dimensi´n de G, como ovariedad, es la dimensi´n de sus cartas dimR g, la cual es igual a la dimensi´n o ode su algebra de Lie, seg´n la definici´n 3.7, que es dimR g. Por lo tanto, ´ u odimR g = dimR g y dado que g ⊆ g se tiene que g = g.4.4. Grupo Heisenberg de Tama˜ o 3 nLos siguientes parr´fos extra´ de Esther GALINA en [11] describe al grupo a ıdoHeisenberg, haciendo uso de las series de Fourier y teor´ de representaciones, ıade la forma siguiente:“ ... El grupo Heisenberg Hn es un grupo de Lie conexo, simplemente conexo,dos pasos nilpotente, un grupo no conmutativo y no compacto. Su nombrey su significado en la mec´nica cu´ntica proviene del hecho que su ´lgebra a a ade Lie sobre R est´ definida por las relaciones can´nicas de conmutaci´n a o ode Heisenberg. EL grupo de Heisenberg tiene aplicaciones en diversas ´reas ade la matem´tica, la f´sica te´rica, la teor´a de c´digos y se˜ales digitales, a ı o ı o ncomo as´ tambi´n en la ingenier´ el´ctrica ...” ı e ıa eAunque es posible definir el grupo Heisn para n arbitrario. Aqu´ de- ıscribimos el grupo de Heisenberg de tama˜o 3, Heis3 , obteniendo de una nforma sencilla como el cociente de dos grupos matriciales inversibles, dondeuna ellos es un subgrupo normal del otro.Construcci´n del grupo Heisenberg. Sea SU T3 (R) el conjunto de omatrices triangulares superiores tal que a11 = a22 = a33 = 1, esto es,     1 a b  SU T3 (R) =  0 1 c  : a, b, c ∈ R . 0 0 1   87
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergSU T3 (R) es un subgrupo matricial de GL3 (R), ya que del ejemplo 2.3 esgrupo bajo multiplicaci´n de matrices y es cerrado en GLn (K). oLa regla pr´ctica de multiplicaci´n de dos matrices en SU T3 (R) viene dado a opor      1 x1 x2 1 y1 y2 1 x1 + y 1 x2 + x 1 y 3 + y 2  0 1 x 3   0 1 y3  =  0 1 x3 + y3  0 0 1 0 0 1 0 0 1y la regla pr´ctica para obtener la inversa a de una matriz en SU T3 (R) vienedado por  −1   1 a b 1 −a ac − b  0 1 c  = 0 1 −c  . 0 0 1 0 0 1 Se precisa aqu´ si G es grupo y N es subgrupo de G. Se dice que N es ı,normal en G si y s´lo si gng −1 ∈ N , para cualesquier n ∈ N y g ∈ G. oAcontinuaci´n se define el conjunto o     1 0 z  Z3 :=  0 1 0  : z ∈ Z . 0 0 1  Luego se deduce que Z3 es un subgrupo normal de SU T3 (R).En efecto, dado cualquier A ∈ SU T3 (R) y z ∈ Z3 , entonces para cualquiera, b, c ∈ R y s ∈ Z se tiene que       1 a b 1 0 z 1 −a ac − b 1 0 sAzA−1 =  0 1 c   0 1 0   0 1 −c  =  0 1 0  = z ∈ Z3 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 14.12 Definici´n. El grupo Heisenberg de tama˜o 3, se define como el co- o nciente de dos grupos Heis3 := SU T3 (R)/Z3 = {AZ3 : A ∈ SU T3 (R)}.N´tese, Heis3 es el conjunto de todas las clases laterales de Z3 en SU T3 (R) odonde las clases laterales o bien son ajenas o bien iguales. Como Z3 es sub-grupo normal de SU T3 (R) entonces AZ3 = Z3 A y (AZ3 )(BZ3 ) = (AB)Z3 88
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenbergpara cualesquier A, B ∈ SU T3 (R). En consecuencia es posible darle a Heis3una estructura de grupo con la siguiente operaci´n binaria o mult : Heis3 × Heis3 −→ Heis3 (AZ3 , BZ3 ) −→ mult(AZ3 , BZ3 ) = (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 .Lo cual cumple los axiomas de grupo con I3 Z3 como elemento identidad(donde I3 es la matriz identidad de SU T3 (R)) y A−1 Z3 como inverso de AZ3 .Adem´s, la proyecci´n can´nica o natural q : SU T3 (R) −→ SU Z3 (R) = Heis3 a o o T 3dada por q(A) = AZ3 es un homomorfismo sobreyectivo cuyo n´cleo es Z3 , ues decir Ker q = Z3 .4.13 Proposici´n. El grupo Heisenberg de o tama˜o 3, Heis3 , es un ngrupo de Lie.Demostraci´n. o(i) Veamos que Heis3 es una variedad suave.Sea q : SU T3 (R) −→ Heis3 = SU Z3 (R) dada por T 3        1 a b 1 a b  1 a b+z  q  0 1 c  =  0 1 c  Z3 =  0 1 c :z∈Z 0 0 1 0 0 1 0 0 1  la proyecci´n o natural entonces q es ho-momorfismo sobreyectivo. Aprovechando estodaremos al grupo Heisenberg, Heis3 , una estructura topol´gica como osigue: U ⊆ Heis3 es abierto si y solo si q −1 (U ) ⊆ SU T3 (R) es abierto.El grupo Heisenberg, Heis3 , con esta topolog´ es Hausdorff separable. En ıa −1 −1efecto, como q (φ) = φ y q (Heis3 ) = SU T3 (R) son abiertos en SU T3 (R)entonces φ y Heis3 son abiertos en Heis3 . Sea {Uλ } una familia cualquierade abiertos en Heis3 entonces q −1 (Uλ ) es abierto en SU T3 (R) para cadaλ luego q −1 (Uλ ) = q −1 ( Uλ ) es abierto en SU T3 (R) por lo que Uλes un abierto en Heis3 . Tambi´n es Uλ es abierto en Heis3 dado que e −1 −1q ( Uλ ) = q (Uλ ) y {Uλ } es familia finita de abiertos en Heis3 .Esta topolog´ hace de q una aplicaci´n abierta. Para U ⊆ SU T3 (R) se tiene ıa, o −1q (qU ) = sU donde U s = {us ∈ SU T3 (R) : u ∈ U }. Si U ⊆ SU T3 (R) s∈Z3es abierto, entonces cada U s (s ∈ Z3 ) es abierto. Por lo tanto q(U ) es abierto 89
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenbergen Heis3 .Esta topolog´ hace de q una aplicaci´n continua. Sea U ⊆ Heis3 un abierto ıa, oentonces por definici´n de q, q −1 (U ) es abierto en SU T3 (R). oEl Heis3 = SU Z3 (R) es separable. En efecto, Como SU T3 (R) es separable T 3entonces existe una base contable de abiertos SU T3 (R) = Ui . Luego i∈Naplicando tenemos Heis3 = q(Ui ) que es una base contable de abiertos. i∈NFinalmente Heis3 es Hausdorff. Sea AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 con AZ3 = BZ3entonces AZ3 ∩ BZ3 = φ luego aplicando q −1 (AZ3 ) ∩ q −1 (BZ3 ) = φ o seaque A = B son puntos distintos en SU T3 (R). Como SU T3 (R) es un espaciotopol´gico Hausdorff separable entonces para A y B existen abiertos U A oyV B en SU T3 (R) tal que U ∩ V = φ. Como q es sobreyectiva entoncesexisten conjuntos U = q −1 (U ) con AZ3 ∈ U y V = q −1 (V ) con BZ3 ∈ V .Como φ = U ∩ V = q −1 (U ) ∩ q −1 (V ) entonces U ∩ V = φ.Se define Ux1 ,x2 ,x3 como bola abierta de radio 1/2 y centro  1 x1 x2 0 1 x3  ∈ SU T3 (R) con x1 , x2 , x3 ∈ Q en SU T3 (R), esto es, 0 0 1         1 y1 y2 1 x1 x2 1 y1 y2 Ux1 ,x2 ,x3 =  0 1 y3  :  0 1 x3  −  0 1 y3  < 1/2 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1   maxEntonces la colecci´n U := {Ux1 ,x2 ,x3 : xi ∈ Q} es un cubrimiento contable ode SU T3 (R).La aplicaci´n (restringida de la proyecci´n natural) definida por o o φa,b,c : Ua,b,c −→ φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3     1 x1 x2 1 x1 x2  0 1 x3  −→  0 1 x3  Z3 0 0 1 0 0 1es un homeomorfismo entre Ua,b,c y φa,b,c (Ua,b,c ). En efecto, la aplicaci´n φa,b,c oessobreyectiva.     1 x1 x2 1 y1 y2Veamos que φa,b,c es inyectiva. Sean  0 1 x3 ,  0 1 y3  en 0 0 1 0 0 1 90
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergUa,b,c entonces |x2 − b| < 1 y |y2 − b| < 2 . 2 1Si      1 x1 x2  1 x1 x2 + z   0 1 x3  Z3 =  0 1 x3  : z ∈ Z 0 0 1 0 0 1  es igual a      1 y1 y2  1 y1 y2 + z   0 1 y3  Z3 =  0 1 y3  : z ∈ Z 0 0 1 0 0 1  entonces      1 x1 x2 1 y1 y2 1 0 z  0 1 x3  =  0 1 y3   0 1 0  para alg´n z ∈ Z u 0 0 1 0 0 1 0 0 1     1 x1 x2 1 y1 y2 + z  0 1 x3  =  0 1 y3  0 0 1 0 0 1por igualdad de matrices se sigue x1 = y1 , x3 = y3 y x2 − y2 = z ∈ Z.Por otro lado |x2 − y2 | ≤ |x2 − b| + |y2 − b| < 2 + 1 < 1. Como x2 − y2 ∈ Z 1 2entonces x2 = y2 . Entonces φa,b,c : Ua,b,c ⊆ SU T3 (R) −→ φa,b,c (Ua,b,c ) dadapor φa,b,c (A) = AZ3 es biyectiva con inversa φ−1 : φa,b,c (Ua,b,c ) −→ Ua,b,c a,b,cdada por φ−1 (AZ3 ) = A. a,b,cLas funciones φa,b,c y φ−1 son continuas. Supongamos U ⊆ Heis3 abierto en a,b,cHeis3 entonces por definici´n de topolog´ φ−1 (U ) es abierto en SU T3 (R). o ıaSupongamos U ⊆ SU T3 (R) es abierto en SU T3 (R). Como la funci´n φ−1 es o a,b,csobreyectiva entonces existe un conjunto V ⊆ Heis3 tal que U = φ−1 (V ) a,b,cluego por definici´n de topolog´ V es abierto en Heis3 . Como φ−1 es o ıa a,b,c −1 −1 −1biyectiva entonces (φa,b,c ) (U ) = φa,b,c (U ) = φa,b,c (φa,b,c (V )) = V esabierto en Heis3 . Por consiguiente φa,b,c es homeomorfismo.   1 a bLa aplicaci´n, ψ : SU T3 (R) −→ R3 dada por  0 1 c  −→ (a, b, c) es un o 0 0 1difeomorfismo de manera natural. Entonces la compuesta ψ ◦ φ−1 : φa,b,c (Ua,b,c ) ⊆ Heis3 −→ ψ(Ua,b,c ) ⊆ R3 a,b,c 91
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberges homeomorfismo de un abierto de Heis3 en un abierto de R3 . En conse-cuencia ψ ◦ φ−1 es una carta de Heis3 de dimensi´n 3. a,b,c oSean dos cartas, ψ ◦ φ−1 y ψ ◦ φ−1 ,c , tal que Ua,b,c ∩ Ua ,b ,c = φ a,b,c a ,bentonces (ψ ◦ φ−1 ) ◦ (ψ ◦ φ−1 ,c )−1 = (ψ ◦ φ−1 ) ◦ (φa ,b ,c ◦ ψ −1 ) la a,b,c a ,b a,b,ccomposici´n es difeomorfismo, por lo tanto las cartas est´n relacionadas. o aPor otro lado, como SU T3 (R) = {Ua,b,c : a, b, c ∈ Q} luego aplicando φa,b,ctenemos Heis3 = q(SU T3 (R)) = {φa,b,c (Ua,b,c ) : a, b, c ∈ Q}. Por tantoA := ψ ◦ φ−1 : a, b, c ∈ Q es un atlas de dimensi´n 3 para Heis3 . a,b,c oPor consiguiente, Heis3 es una variedad suave de dimensi´n 3. o(ii) Veamos que Heis3 es grupo topol´gico. El Heis3 es grupo con la ooperaci´n (AZ3 )(BZ3 ) = ABZ3 , donde AZ3 , BZ3 ∈ Heis3 ,. La operaci´n o obinaria mult = LAZ3 ◦ P2 , donde AZ3 ∈ Heis3 , es continua porque LAZ3y P2 son continuas. La operaci´n unaria inv = LA−1 Z3 ◦ CT EIZ3 , donde oCT EIZ3 : Heis3 −→ {IZ3 } dada por CT EIZ3 (AZ3 ) = IZ3 , es continuaporque LA−1 Z3 y CT EIZ3 son continuas.(iii) Puesto que LAZ3 , P2 , LA−1 Z3 y CT EIZ3 son suaves. Entonces mult : Heis3 × Heis3 −→ Heis3 inv : Heis3 −→ Heis3 y (xZ3 , yZ3 ) −→ xyZ3 xZ3 −→ x−1 Z3son funciones suaves.Por lo tanto de (i), (ii) y (iii) se concluye que el grupo Heisenberg, Heis3 ,es un grupo de Lie de dimensi´n 3. o4.14 Definici´n.oLos centros de SU T y Heis3 est´n definidos por  3 (R)  a   1 0 b 1. C(SU T3 (R)) :=  0 1 0 :b∈R . 0 0 1      1 0 b 2. C(Heis3 ) :=  0 1 0  Z3 : b ∈ R . 0 0 1  Luego C(SU T3 (R)) es subgrupo normal de SU T3 (R) y C(Heis3 ) essubgrupo normal abeliano de Heis3 .Notaci´n de cociente del grupo Heisenberg. o 92
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergNotemos que C(Heis3 ) = C(SU T3 (R))/Z3 .El grupo circular S1 := {z ∈ C : |z| = 1}es ismomorfo al centro de Heis3 , es decir C(Heis3 ) ∼ S1 con el isomorfismo =natural dada por   1 0 t  0 1 0  Z3 ←→ e2πit . (4,2) 0 0 1De ahora en adelante denotaremos un cociente   1 x t  0 1 y  Z3 ∈ Heis3 0 0 1como [x, y, e2πit ].Entonces un elemento de Heis3 tendr´ la forma [x, y, z] para x, y ∈ R y a 1z ∈ S . El elemento unidad de Heis3 es [0, 0, 1] = IZ3 .La multiplicaci´n, inversos y conmutadores en Heis3 est´n dados o apor [x1 , x2 , x3 ][y1 , y2 , y3 ] = [x1 + y1 , x2 + y2 , x3 y3 e2πx1 y2 ], [x, y, z]−1 = [−x, −y, z −1 e2πixy ],[x1 , x2 , x3 ] [y1 , y2 , y3 ] [x1 , x2 , x3 ]−1 [y1 , y2 , y3 ]−1 = [0, 0, e2πi(x1 y2 −x2 y1 ) ].Para x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R y x3 , y3 ∈ S1 .4.5. No Todo Grupo de Lie Tiene Representaci´n oMatricialEl siguiente teorema nos muestra que el grupo de Heisenberg de tama˜o 3, nHeis3 , no puede ser considerado como un subgrupo matricial de GLn (K) enun sentido m´s amplio y t´cnico podemos decir que entre Heis3 y GLn (C) a eno existe un isomorfismo continuo de grupos con lo que se da por finalizadoeste trabajo de pregrado de la que se desprende una pregunta y es: ¿Cu´ndo aun grupo de Lie es un subgrupo matricial de GLn (K)?, seg´n lo expuesto upor Andrew Baker en su libro Matrix Groups[5]; todo grupo de Lie compactopuede ser representado por un subgrupo matricial de GLn (K). 93
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg4.15 TeoremaNo existen homomorfismo continuos de grupos ϕ : Heis3 −→ GLn (C) conkernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3 Z3 }, para cualquier n ∈ N. Es decir, elgrupo de Heisenberg de tama˜o 3, Heis3 , no tiene representaci´n mediante n oun subgrupo matricial de GLn (K).Demostraci´n por absurdo. oSupongamos que ϕ : Heis3 −→ GLn (C) es un homomorfismo continuo conkernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]} = {I3 Z3 }, y sea n el m´ ınimo para el cualesto sucede.Por cada g ∈ Heis3 , la matriz ϕ(g), act´a sobre Cn del siguiente umodo Heis3 × Cn → Cn (g, v) → ϕ(g)v.Identificamos a C(Heis3 ) con S1 por medio del isomorfismo dado en laecuaci´n 4.2. oSean z0 ∈ C(Heis3 ) ∼ S1 y λ un valor propio de la matriz ϕ(z0 ) con =vector propio v, entonces det(ϕ(z0 ) − λIn ) = 0, ϕ(z0 )v = λv y adem´s a k ϕ(z0 )v = ϕ(z0 )k v = ϕ(z0 )k−1 λv = λk v.N´tese que el autovalor λ = 0 pues si λ = 0 entonces det(ϕ(z0 )) = 0 lo cual ocontradice al det(ϕ(z0 )) = 0 ya que ϕ(z0 ) ∈ GLn (C). −1Tomemos a |λ| ≥ 1 (reemplazando, si es necesario, z0 por z0 )Si |λ| > 1 se obtiene que k |ϕ(z0 )k x| ϕ(z0 ) := m´x a : x ∈ Cn − {0} ≥ |λ|k ; |x| kpor lo tanto ϕ(z0 ) → ∞ cuando k → ∞, lo cual implica que k{ϕ(z0 ) : k ∈ N} no est´ acotada por el criterio de comparaci´n. a o kPor otro lado {z0 : k ∈ N} ⊆ C(Heis3 ) = ∼ S1 y S1 es compacto entoncespor la continuidad de ϕ la imagen ϕ(S1 ) es compacto. En consecuencia k{ϕ(z0 ) : k ∈ N} es acotada. Lo cual es una contradicci´n. As´ necesaria- o ı,mente |λ| = 1. 94
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergSea g un elemento cualquiera de Heis3 , entonces ϕ(z0 )ϕ(g)v = ϕ(z0 g)v = ϕ(gz0 )v = ϕ(g)ϕ(z0 )v = λϕ(g)v,lo cual muestra que ϕ(g)v ∈ Cn es un vector propio de ϕ(z0 ) para el valorpropio λ.SeanVλk := {v ∈ Cn /∃k ≥ 1 tal que (ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0} y Vλ := Vλk . kSe deduce que Vλ1 ⊆ Vλ2 ⊆ · · · ⊆ Vλk ⊆ · · ·EL conjunto Vλ es un subespacio vectorial de Cn , el cual es cerrado bajo laacci´n de las matrices ϕ(g) con g ∈ Heis3 , es decir, si v est´ en Vλ , entonces o aϕ(g)v est´ en Vλ . Esto es verdad ya que si v est´ en Vλ existe un k > 0 para a ael cual (ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0, as´ ı (ϕ(z0 ) − λIn )k ϕ(g)v = (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 )ϕ(g) − λϕ(g))v = (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(z0 g) − λϕ(g))v = (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 (ϕ(gz0 ) − λϕ(g))v = (ϕ(z0 ) − λIn )k−1 ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )v = ϕ(g)(ϕ(z0 ) − λIn )k v = 0,Por lo tanto ϕ(g)v ∈ V λ.Escojamos k0 ≥ 1 el mayor n´mero natural para la cual exista v0 ∈ Vλ que usatisfaga (ϕ(z0 ) − λIn )k0 v0 = 0, pero (ϕ(z0 ) − λIn )k0 −1 v0 = 0.Si k0 > 1, 0 = (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 ,Sean v := (ϕ(z0 ) − λIn )(ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0 y u := (ϕ(z0 ) − λIn )k0 −2 v0vectores que porsupuesto son no nulos en Vλ tales que 95
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenbergϕ(z0 )u = λu + v, ϕ(z0 )v = λv.Dado que v = 0 y para cualquier k ∈ N, k ϕ(z0 )u = ϕ(z0 )k u = ϕ(z0 )k−1 (λu + v) = λϕ(z0 )k−1 u + ϕ(z0 )k−1 v = λϕ(z0 )k−1 u + λk−1 v = λϕ(z0 )k−2 (λu + v) + λk−1 v = λ2 ϕ(z0 )k−2 u + λk−1 v + λk−1 v = λ2 ϕ(z0 )k−3 (λu + v) + λk−1 v + λk−1 v = λ3 ϕ(z0 )k−3 u + λk−1 v + λk−1 v + λk−1 v . . . = λk u + kλk−1 v,puesto que |λ| = 1 se obtiene ϕ(z0 ) = ϕ(z0 )k ≥ |λ|k−1 |λu + kv| = |λu + kv| → ∞ kcuando k → ∞. Esta afirmaci´n esta en contradicci´n con el hecho que ϕ(S1 ) o oes acotada, entonces k0 = 1. Por consiguiente Vλ es el espacio vectorial de losvectores propios de ϕ(z0 ) para el valor propio λ, es decir, Vλ := {v : (ϕ(z0 ) − λIn )v = 0}.As´ pues, la siguiente acci´n del Heis3 sobre Vλ ı o ϕ : Heis3 × Vλ → Vλ (g, v) → ϕ(g)ves la representaci´n de Heis3 sobre el espacio vectorial Vλ , por lo tanto la oaplicaci´n (la cual podemos tomar ϕ sin perder la generalidad) o ϕ : Heis3 −→ GLdimVλ (C)es un homomorfismo continuo con kernel trivial tal que ϕ(z0 ) = λI(dimVλ ) ypor la condici´n m´ o ınima de n se debe tener que dimVλ = n. Es m´s, por la acontinuidad de ϕ tenemos que para todo z en C(Heis3 ), ϕ(z) = (escalar)In . 96
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo GeisenbergDado que todo z ∈ C(Heis3 ) es un conmutador; z = ghg −1 h−1 parag, h ∈ Heis3 , y det como ϕ son homomorfismos, tenemos que detϕ(z) = detϕ(ghg −1 h−1 ) = 1 (∀z ∈ C(Heis3 )).Entonces, existe una funci´n continua µ : C(Heis3 ) −→ C× = C − {0} tal oque para todo z en C(Heis3 ), ϕ(z) = µ(z)In y µ(z)n = detϕ(z) = 1.Como C(Heis3 ) ∼ S1 es un subconjunto conexo de C y ϕ(I3 Z3 ) = In donde =I3 Z3 ∈ C(Heis3 ), se tiene que µ(z) = 1 para toda z en S1 ∼ C(Heis3 ). As´ = ı,ϕ(z) = In para todo z en C(Heis3 ), por lo tanto C(Heis3 ) est´ contenido en aKerϕ, es decir C(Heis3 ) ⊆ Kerϕ. Lo cual es contradictorio con la suposici´n ode que el kernel de ϕ es trivial, es decir kerϕ = {IZ3 }.Por tanto, no existe homomorfismos continuo entre Heis3 y GLn (C),ϕ : Heis3 −→ GLn (C), con kernel trivial, kerϕ = {[0, 0, 1]}. Es decir, elgrupo de Heisenberg de tama˜o 3, Heis3 , no tiene representaci´n mediante n oun subgrupo matricial de GLn (K). 97
    • Newton Huaman´ castro ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg La funci´n exponencial aplica el ´lgebra de Lie de un subgrupo o a matricial de GLn (K) en el grupo mismo. 98
    • Bibliograf´ ıa[1] EMILIO LLUIS PUEBLA. Teor´a ı de grupos: Publicaci´n o de la Sociedad Matem´tica Mexicana, 2006. a[2] E. LAGES LIMA. Introdu¸˜o `s variedades diferenci´veis: Editorial ca a a Meridional, 1960.[3] ´ E. LAGES LIMA. Algebra linear : Publicaci´n de IMPA, s´ptima edi- o e ci´n, 2004. o[4] GUILLERMO MORENO & MIGUEL ANGEL TORRES. Grupos de Lie que no son Grupos de Matrices: Departamento de Matem´ticas a CINVESTAV-MEXICO, Publicado en 1991.[5] ANDREW BAKER. Matrix Groups: An introduction to Lie group theory: Editorial Springer-Verlag-Inglaterra, 2002.[6] R. CARTER, G. SEGAL & I. MACDONALD. Lectures on Lie Groups and Lie Algebras: Impreso en Cambridge University, 2004.[7] MICHAEL SPIVAK. C´lculo en Variedades: Editorial Revert´, 1988. a e[8] ANDREW BAKER. An introduction to matrix groups and their ap- plications: Departamento de matem´ticas de University of Glasgow- a Inglaterra, 2000.[9] E. LAGES LIMA. An´lise no espa¸o Rn . Editorial Universidad de a c Bras´ ılia-San Paulo-Brasil, 1970. 99
    • [10] MORRIS W. HIRSCH & STEPHEN SMALE. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra-1974: Versi´n en espa˜ol por o n Carlos Fern´ndez P´rez, editorial Alianza-Madrid-Espa˜a, 1983. a e n[11] ESTHER GALINA. Representaciones del grupo de Heisenberg: Notas ´ del curso de Analisis Armonico en el Grupo Heisenberg en la Univer- sidad Nacional de Cordova-Espa˜a, dictadas en el primer semestre de n 2008.[12] SERGE LANG. Algebra: Editorial Addison-Wesley, segunda edici´n o 1984. 100