Capitulo 2 libroinvestigación

Subgrupo Matricial de GLn(K) y
Matriz Exponencial
En este cap´ıtulo presentamos la definiciń de grupo matricial inversible y sus
o
ejemplos m´s notables con la que se cumple con el objetivo (1) propuesto.
a
Luego, exponemos la nociń de homomorfismo continuo en grupo matricial
o
inversible, importante, ya que mantienen algunas propiedades algebraicas
y topol´gicas entre grupos matriciales inversibles y finalmente se expone
o
resultados de la matriz exponencial y logar´ ıtmica cuya utilidad, en este
trabajo, es que ayuda determinar el algebra de Lie de los grupos matriciales
´
inversibles GLn (K) y SLn (K).

2.1. Subgrupo Matricial de GLn (K)
2.1 Definiciń. Un subgrupo G de GLn (K), G ≤ GLn (K), bajo la
o
multiplicaciń de matrices que tambiń es cerrado en GLn (K) se dice grupo
o e
matricial inversible sobre K o un subgrupo matricial de GLn (K).

Aqu´ se entiende que G es cerrado en GLn (K) con la topolog´ rela-
ı ıa
tiva heredada de Mn (K) y donde n es un n´mero natural arbitrario.
u
Antes de considerar unos ejemplos demostramos una proposiciń y enunci-
o

24

Newton Huaman´ castro
ı Grupos Matriciales y Grupo Geisenberg

amos una definiciń sugerida.
o
2.2 Proposiciń. Sea G ≤ GLn (K) un grupo matricial inversible sobre K.
o
Si H es subgrupo de G, H ≤ G, que tambiń es cerrado en G entonces H es
e
subgrupo matricial de GLn (K)
Demostraciń. Toda sucesiń {An }n≥0 en H con l´
o o ımite en GLn (K) tiene su
ımite en G ya que An ∈ H ⊆ G para todo n y G es cerrado en GLn (K).
l´
Como H es cerrado en G, significa que {An }n≥0 tiene su l´ ımite en H.
Entonces H es cerrado en GLn (K). Adem´s ser subgrupo es una relaciń
a o
transitiva, esto es, puesto que H ≤ G y G ≤ GLn (K) entonces H ≤ GLn (K).
Por tanto H es un subgrupo matricial de GLn (K).

Este resultado sugiere la siguiente definiciń
o
2.3 Definiciń. Sea G un grupo matricial inversible sobre K.
o
Se dice que H es subgrupo matricial de G si y s´lo si H es subgrupo de G,
o
H ≤ G, que tambiń es cerrado en G.
e

A continuaciń
o se presenta ejemplos de gru-
pos matriciales inversibles m´s
a notables y de
inter´s para este trabajo de pregrado
e
2.1 Ejemplo representativo. El mismo conjunto de matrices inversibles,
GLn (K), es un grupo matricial inversible ya que es subgrupo de si mismo, es
decir GLn (K) ≤ GLn (K), bajo la multiplicaciń de matrices
o
por la proposiciń 1.17 y es cerrado en s´ mismo puesto que
o ı
GLn (K) = Mn (K) ∩ GLn (K).
2.2 Ejemplo representativo. Como SLn (K) es cerrado en Mn (K)
por la proposiciń 1.18 y SLn (K) = GLn (K) ∩ SLn (K) luego se
o
sigue es cerrado en GLn (K). Mientras por la proposiciń 1.17,
o
SLn (K) es un subgrupo de GLn (K) bajo la multiplicaciń de o
matrices. Por tanto SLn (K) es un grupo matricial inversible o sub-
grupo matricial de GLn (K).

El conjunto de matrices inversibles denotado por GLn (K) y el conjunto de
matrices cuya determinante es uno denotado aqu´ por SLn (K) son consider-
ı
ados, en este trabajo de pregrado, como los conjuntos m´s representativos.
a

En ´lgebra lineal, una matriz triangular es un tipo especial de ma-
a
triz cuadrada cuyos elementos por encima o por debajo de su diagonal
principal son todos ceros. Una matriz en Mn (K) es triangular superior,

25


si tiene la forma
 
a11 a12 · · · ··· ··· a1n
. .. ..
0 a22 . . . .
 
 a2n 

... ... ... . 
. 
0 0 . 

. ,

 .
. . ..
. ... . 

 . . . a(n−2)(n−2) . 
.
. . ..
. . 
a(n−1)(n−1) . 

 . . . 0 .
0 0 ··· 0 0 ann

es decir, aij = 0 si i > j.
2.3 Ejemplo Sean los conjuntos de matrices

U T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A es triangular superior con a11 = 0, a22 =
0, a33 = 0} y
SU T3 (R) := {A ∈ GL3 (R) : A es triangular superior con a11 = 1, a22 =
1, a33 = 1}.

Entonces se prueba que U T3 (R) y SU T3 (R) son grupos matriciales inversibles
sobre R. Adem´s, SU T3 (R) es subgrupo matricial de U T3 (R).
a
En efecto.
1. El SU T3 (R) es subconjunto de U T3 (R), es decir, SU T3 (R) ⊂ U T3 (R) ⊆
GLn (K).
2. El SU T3 (R) y U T3 (R) son estables o cerrados bajo la multiplicaci´n de
o
matrices

i) Sean A, B ∈ U T3 (R),
   
a11 a12 a13 b11 b12 b13
A =  0 a22 a23  con aii = 0 y B =  0 b22 b23  con bii = 0
0 0 a33 0 0 b33

multiplicando se tiene,
 
a11 b11 a11 b12 + a12 b22 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33
AB =  0 a22 b22 a22 b23 + a23 b33  con aii bii = 0
0 0 a33 b33

es decir, AB ∈ U T3 (R).

26


ii) Sean A, B ∈ SU T3 (R),
   
1 a12 a13 1 b12 b13
A =  0 1 a23  y B =  0 1 b23 
0 0 1 0 0 1
entonces,  
1 b12 + a12 b13 + a12 b23 + a13
AB =  0 1 b23 + a23 
0 0 1
es decir, AB ∈ SU T3 (R).
 
1 0 0
3. La matriz identidad, I3 =  0 1 0  ∈ SU T3 (R) ⊂ U T3 (R).
0 0 1
4. Existencia del inverso
i) Si A ∈ U T3 (R), entonces det A = a11 a22 a33 ya que
 
a11 a12 a13
a22 a23 0 a23
det  0 a22 a23  = (−1)1+1 a11 det + (−1)1+2 a22 det
0 a33 0 a33
0 0 a33
Observe, que la det de A
1+3 0 a22
+(−1) a33 det . es el producto de elementos
0 0
de su diagonal.

C´lculo de A−1
a ⇔ A−1 = det A transpuesta de[(−1)i+j det Aij ]
1

En primer lugar, [(−1)i+j det Aij ] es la matriz
 
1+1 a22 a23 0 a23 0 a22
 (−1) det (−1)1+2 det (−1)1+3 det
 0 a33 0 a33 0 0 

 
 

 (−1)2+1 det a12 a13 a11 a13 a11 a12 
(−1)2+2 det (−1)2+3 det 

 0 a33 0 a33 0 0 

 
 
 a12 a13 a11 a13 a11 a12 
(−1)3+1 det (−1)3+2 det (−1)3+3 det
a22 a23 0 a23 0 a22
despu´s de un c´lculo se obtiene
e a
 1 −a12 a12 a23 −a13 a22 
a11 a11 a22 a11 a22 a33
−a23
A−1 =  0 1
a22 a22 a33
 ∈ U T3 (R).
1
0 0 a33

27


ii) Si A ∈ SU T3 (R) entonces det A = 1 ya que a11 = a22 = a33 = 1. Por
tanto  
1 −a12 a12 a23 − a13
A−1 =  0 1 −a23 
0 0 1

5. La funciń coordrs : M3 (R) → R, dada por coordrs (A) = ars es continua,
o
por la proposiciń 1.10. Por lo que coord−1 {0}, coord−1 {0}, coord−1 {0},
o 21 31 32
coord−1 {1}, coord−1 {1}, coord−1 {1} son cerrados en M3 (K), por ser {0} y
11 22 33
{1} cerrados en R.
Observe que coord−1 {0} = {A ∈ M3 (R) : coord21 (A) = a21 = 0} y tambiń
21 e
n´tese
o
 
 a21 = 0, 
GL3 (R) ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0} = GL3 (R) ∩ A ∈ M3 (R) : a31 = 0 y
21 31 32
a32 = 0
 

a = a31 = a32 = 0,
= A ∈ M3 (R) : 21
con detA = 0
 
 matriz triangular 
= A ∈ M3 (R) : superior,
con det(A) = 0
 
 

 matriz triangular 
superior,
 
= A ∈ M3 (R) :

 con aii = 0 

para i = 1, 3
 

= U T3 (R).

De l´
ıneas arriba y usando argumentos an´logos, se tiene
a

U T3 (R) = GL3 (R) ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {0}
21 31 32
SU T3 (R) = GL3 (R) ∩ coord21 {0} ∩ coord31 {0} ∩ coord−1 {0} ∩ coord−1 {1}
−1 −1
32 11
−1 −1
∩coord22 {1} ∩ coord33 {1}

6. De los dos ultimos igualdades, se deduce
´

SU T3 (R) = U T3 (R) ∩ coord−1 {1} ∩ coord−1 {1} ∩ coord−1 {1}.
11 22 33

Luego por 2, 3, 4 se tiene que U T3 (R) y SU T3 (R) son subgrupos bajo
la multiplicaciń de matrices. Por 1 se tiene que SU T3 (R) es subgrupo
o

28


matricial bajo la multiplicaciń de matrices de U T3 (R). De 5 se tiene que
o
SU T3 (R) y U T3 (R) son cerrados en GL3 (R).

Por tanto U T3 (R) y SU T3 (R) son grupos matriciales inversibles sobre
R, adem´s por 6 SU T3 (R) es subgrupo matricial de U T3 (R).
a

En el siguiente ejemplo se demuestra el caso de orden n × n
2.4 Observaciń Sean los conjuntos de matrices
o

U Tn (K) = {A ∈ GLn (K) : A es triangular superior con aii = 0, para i = 1, n}
SU Tn (K) = {A ∈ GLn (K) : A es triangular superior con aii = 1, para i = 1, n}.

Entonces U Tn (K) y SU Tn (K) son grupos matriciales inversibles sobre K.
Adem´s, SU Tn (K) es subgrupo matricial de U Tn (K).
a
En efecto.
1. El SU Tn (R) es subconjunto de U Tn (R), es decir, SU Tn (R) ⊂ U Tn (R) ⊆
GLn (K).
2. El U Tn (K) y SU Tn (K) son estables o cerrados bajo la multiplicaciń de
o
matrices
i) Sean A, B ∈ U Tn (K),
   
a11 · · · a1n b11 · · · b1n
A =  . ... .  con a = 0, i > j B =  . ... .  con b = 0, i > j
 . .   . . 
. . ij . . ij
0 · · · ann 0 · · · bnn
entonces,
 
a11 b11 · · · a1j bin
 . ... . 0 pues aij = 0 para i > j
AB =  . .  con aij bij =

. . 0 pues bij = 0 para i > j
0 ··· ann bnn

es decir, AB ∈ U Tn (K).

ii) Si aii = 1 y bii = 1 entonces aii bii = 1. Por lo tanto si A, B ∈ SU Tn (K)
implica que AB ∈ SU Tn (K).
3. La matriz identidad, In ∈ SU Tn (K) ⊂ U Tn (K).
4. Existencia del inverso

29


i) Si A ∈ U Tn (K), entonces det A = a11 a22 · · · ann  que det A1j
ya  0
=
1
a11
··· 0
 . .. .
para j = par. Por tanto A−1 = transpuesta de  . . .  ∈

. .
Σi 1
=0
··· ann
U Tn (K).
ii) Si A ∈ SU Tn (K) entonces det A 1 y det Aij  0 para i < j.
= =
1 ··· 0
 . . 
Por tanto A−1 = transpuesta de  . . . . .  ∈ SU Tn (K).
. .
Σi
=0
··· 1
5. Por otro lado

U Tn (K) = GLn (K) ∩ coord−1 {0}
ij
i>j

SU Tn (K) = GLn (K) ∩ coord−1 {1} ∩ · · · ∩ coord−1 {1} ∩
11 nn coord−1 {0}
ij
i>j

6. De las dos ultimas igualdades se tiene
´
SU Tn (K) = U Tn (K) ∩ coord−1 {1} ∩ · · · ∩ coord−1 {1}
11 nn

Por 2, 3, 4 se tiene que U Tn (K) y SU Tn (K) son subgrupos bajo la mul-
tiplicaciń de matrices. Por 1 se tiene que SU Tn (K) es subgrupo bajo
o
la multiplicaciń de matrices de U Tn (K). De 5 se tiene que SU Tn (K) y
o
U Tn (K) son cerrados en GLn (K).
Por consiguiente U Tn (K) y SU Tn (K) son grupos matriciales inversibles
sobre K, adem´s por 6 SU Tn (K) es subgrupo matricial de U Tn (K).
a

2.5 Ejemplo Podemos hacer que GLn (K) sea un subgrupo matricial
de GLn+1 (K). Aumentando fila y columna apropiadamente.
En efecto. Sea L la aplicaciń definida por
o
L : GLn (K) −→ L(GLn (K)) ⊆ GLn+1 (K)
A −→ L(A) = A donde
 
a11 · · · a1n 0
 . .. . . 
A 0  . . . . 
A := = . . . 
0 1  an1 · · · ann 0 
0 ··· 0 1

30


 
a11 · · · a1n
para A =  . .. .  cualquier matriz en GL (K); entonces las sigu-
 . . 
. . . n
an1 · · · ann
ientes propiedades se satisfacen:

i) detA = detA,

ii) A = B si y s´lo si A = B,
o

iii) (AB) = A B ,

iv) (A )−1 = (A−1 ) ,

v) lim (An ) = ( lim An ) .
n→∞ n→∞

En efecto: Sea A, B, An ∈ GLn (K) con lim An = A y A ∈ GLn+1 (K),
n→∞

A 0
i) detA = det = detA.det1 = detA
0 1

A 0 B 0
ii) A = B ⇔ = ⇔A=B
0 1 0 1

A 0 B 0 AB 0
iii) A B = = = (AB)
0 1 0 1 0 1
−1
−1 A 0 A−1 0
iv) (A ) = = = (A−1 ) ,
0 1 0 1

An 0 lim An 0
v) lim (An ) = lim = n→∞ = ( lim An ) .
n→∞ n→∞ 0 1 0 1 n→∞

vi) L(A) = L(B) ⇒ A = B ⇒ A = B

vii) L(AB) = (AB) = A B = L(A)L(B)

viii) lim L(An ) = lim (An ) = ( lim An ) = L( lim An ) = L(A)
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

31


Por lo tanto L es un homomorfismo de grupos inyectivo tal que la funciń
o
L es continua. As´ la imagen de L, L(GLn (K)) = {A : A ∈ GLn (K)}, es
ı,
subgrupo matricial de GLn+1 (K).

2.2. Homomorfismo Continuo de Subgrupos Matriciales
de GLn (K).
En el estudio de grupos la nociń de homomorfismo continuo de grupos
o
cobra un papel principal debido a que preservan algunas propiedades
algebraicas como topol´gicas. Por lo que en esta secciń introducimos
o o
su definiciń luego se pone a luz que el cociente de dos subgrupos
o
matriciales de GLn (K) donde uno de ellos es un subgrupo normal
del otro no necesariamente es subgrupo matricial de GLn (K). Por
lo que esta secciń proporcionar´ una nueva forma de comprobar la hip´tesis.
o a o

Para relacionar dos grupos se necesita definir una aplicaciń que preserve la
o
estructura de grupo por lo que es necesario precisar. Sean (G, ) y (G , )
dos grupos, un homomorfismo de grupos es una funciń ϕ : G −→ G tal
o
que si u, v ∈ G, ϕ(u v) = ϕ(u) ϕ(v).

En la siguiente definiciń se entiende que los subgrupos matriciales de
o
GLn K, G y H, tienen la topolog´ relativa heredada de Mn (K)
ıa
2.5 Definiciń. Sean G, H dos grupos matriciales inversibles sobre K y
o
ϕ : G −→ H un homomorfismo de grupos. Se dice ϕ es un homomorfismo
continuo de subgrupos matriciales si y s´lo si ϕ es continua y la imagen por
o
ϕ, Imϕ = ϕ(G), es un subgrupo matricial de H.

En otras palabras una aplicaciń ϕ : G −→ H entre subgrupos matri-
o
ciales es homomorfismo continuo de subgrupos matriciales si:

i) ϕ es un homomorfismo de grupos, con la multiplicaciń de matrices,
o

ii) ϕ es una funciń continua, es decir, para cada {An } con An ∈ G y
o
limAn = A se tiene lim ϕ(An ) = ϕ(A),

iii) La imagen por ϕ es subgrupo de H, ϕ(G) ≤ H, y es un subconjunto
cerrado en H.

En el siguiente ejemplo (2.6) se mues-
tra un homomorfismo continuo de subgrupos

32


matriciales. Para este prop´sito definimos el c´
o ırculo unitario complejo
con centro en el origen del plano complejo como S1 := {z ∈ C : zz = 1} que
puede ser visto como un grupo matricial sobre C.

2.6 Ejemplo de un homomorfismo continuo de subgrupo ma-
tricial.
La aplicaciń
o

1 t
ϕ : SU T2 (R) −→ S1 ; ϕ = e2πti
0 1

es un homomorfismo continuo de subgrupos matriciales, adem´s es sobreyec-
a
tiva.
En efecto. Sea z en S1 , la circunferencia unitario con centro en el origen del
plano complejo, entonces z = cos(2πt) + isen(2πt) = e2πti para algń t ∈ R.
u
Por lo tanto ϕ es sobreyectiva.
Para verificar 1: Homomorfismo de ϕ

1 t1 1 t2 1 t1 + t2
ϕ · = ϕ
0 1 0 1 0 1
= e2π(t1 +t2 )i = e2πt1 i e2πt2 i
1 t1 1 t2
= ϕ ϕ .
0 1 0 1

Para verificar 2 : La continuidad de ϕ
Sea {tn }n∈N una sucesiń de n´meros reales tales que tn −→ t ∈ R; entonces
o u
1 tn
es una sucesiń convergente cualquiera en SU T2 (R) y
o
0 1 n≥1

1 tn 1 t
lim ϕ = lim e2πtn i = e2πti = ϕ .
n−→∞ 0 1 n−→∞ 0 1

Para verificar 3 : La imagen de ϕ es subgrupo matricial.
La funciń ϕ es sobreyectiva entonces ϕ(SU T2 (R)) = S1 ; que es un subgrupo
o
cerrado de C.

Para que dos grupos sean idńticos en estructura algebraica es nece-
e
sario definir una funciń que preserve tal estructura por lo que es necesario
o
precisar. Sea ϕ : G −→ G un homomorfismo de grupos. Se dice que

33


ϕ : G −→ G es un isomorfismo si existe un homomorfismo ϕ−1 : G −→ G
tal que ϕ−1 ◦ ϕ = IG y ϕ ◦ ϕ−1 = IG . En consecuencia se dice que G y G
son isomorfos si existe un isomorfismo y se denota por G ∼ G .
=
El nucleo de ϕ, denotado por Kerϕ, es el conjunto de todos los elementos
x ∈ G tales que ϕ(x) = I donde I denota la identidad de G . La imagen de
ϕ, denotada por Imϕ, es el conjunto de ϕ(x) con x ∈ G.
Sea ϕ : G −→ G un Homomorfismo de grupos. Si H es un subgrupo de G
entonces ϕ(H) es un subgrupo de G . Si H es un subgrupo de G entonces
ϕ−1 (H ) es un subgrupo de G.
Observe que la imagen inversa es un subgrupo del dominio aunque no exista
una funciń inversa ϕ−1 para ϕ. En consecuencia Kerϕ es subgrupo de G y
o
Imϕ es subgrupo de G .
Sea ϕ : G −→ G un Homomorfismo de gru-
pos. Si ϕ es biyectiva entonces la funciń
o
inversa ϕ−1 : G −→ G es tambiń un homomorfismo. Si x ∈ G en-
e
tonces ϕ(x−1 ) = ϕ−1 (x). Tambiń, ϕ(IG ) = IG .
e

Sean G, H subgrupos matriciales inversibles. Cuando ϕ : G −→ H
es un homomorfismo continuo de subgrupos matriciales y adem´s es una
homeomorfismo (es decir, una biyecciń con inversa continua) entonces se
o
dice que ϕ es un isomorfismo continuo de subgrupos de matriciales.
En consecuencia se dice que G como H son esencialmente idńticos como
e
subgrupos matriciales de GLn (K).
2.6 Proposiciń. Sea ϕ : G −→ H un homomorfismo continuo de subgru-
o
pos matriciales de GLn (K). Entonces kerϕ es un subgrupo matricial de G.
El grupo cociente, G/kerϕ, puede ser identificado con el subgrupo matricial,
ϕ(G), mediante el isomorfismo cociente usual ϕ : G/kerϕ → ϕ(G).
Demostraciń. Por ser ϕ un homomorfismo de grupos, kerϕ es subgrupo de
o
G. Veamos si kerϕ es un subconjunto cerrado de G.
Sea {gi }i∈N una sucesiń de elementos en kerϕ tal que gi → g ∈ G; entonces
o

ϕ(g) = ϕ( lim gi ) = lim ϕ(gi ) = 0,
i→∞ i→∞

por lo tanto g ∈ kerϕ y as´ kerϕ es cerrado en G.
ı
Por el teorema fundamental de homomorfismo de la teor´ de grupos ϕ
ıa
existe.
N´tese, que ϕ : G/kerϕ → ϕ(G) no necesariamente es un homomorfismo
o
continuo de subgrupos matriciales dado que G/kerϕ no necesariamente es

34


un grupo matricial inversible.

2.3. Matriz Exponencial y Logaritmo.
Las versiones en matrices de las funciones exponenciales y logar´
ıtmicas son
fundamentales en el estudio de subgrupos matriciales; la importancia de la
funciń exponencial en la Teor´ de Lie es que aplica el algebra de Lie de
o ıa ´
un grupo de Lie en el grupo mismo. En particular en grupos matriciales
inversibles como veremos m´s adelante.
a

Las series de potencias exponencial, ex , y logaritmo, ln(x), en el plano
complejo definidas por

1 n (−1)n−1 n
ex = x , ln(x) = x , (x ∈ C)
n≥0
n! n≥1
n

tienen como radio de convergencia infinita (∞) y 1 respectivamente. Este
resultado se puede extender a Mn (K) como veremos a continuaciń.
o

Para A ∈ Mn (K) se tiene las siguientes series convergentes en Mn (K)
1 n 1 1
Exp(A) := A = I + A + A2 + A3 + · · · ,
n≥0
n! 2! 3!
(−1)n−1 n 1 1 1
Ln(A) := A = A − A2 + A3 − A4 + · · · ,
n≥1
n 2 3 4

cuyos radios de convergencia son infinita (∞) y 1, respectivamente.
Observe que la serie Exp(A) converge para todo A ∈ Mn (K) mientras la serie
Ln(A) converge para A < 1. En efecto, para A ∈ Mn (K) se tiene
N N
1 n 1 n
A ≤ A
n=0
n! n=0
n!
N ∞
1 n 1 n
A ≤ A
n=0
n! n=0
n!
N
1 n A
0≤ A ≤ e = cte donde A ∈ K y N ∈ N,
n=0
n!

35


luego, por el criterio de Cauchy para series, la sucesiń de sumas parciales
o
N 1 n
n=0 n! A es convergente. Puesto que Mn (K) es un espacio m´trico
e
N ∈N
completo, por la proposiciń 1.15, y por criterio de comparaciń se deduce
o o
1 n
que la serie n!
A converge a una matriz de Mn (K) para todo A ∈ Mn (K).
n≥0
An´logamente, para la serie Ln(A) se tiene
a
N N N ∞
(−1)n−1 n 1 n n
A ≤ A ≤ A ≤ A n,
n=1
n n=1
n n=1 n=1

(−1)n−1 n
luego usando criterios se deduce que la serie Ln(A) := n
A converge
n≥1
a una matriz de Mn (K) para A < 1.

Se darń a continuaciń una serie de teoremas y proposiciones, de
a o
utilidad para este trabajo, las cuales se pueden encontrar en el libro de
Baker[5].
2.7 Proposiciń. Sea A ∈ Mn (K).
o

i) Para u, v ∈ C, Exp((u + v)A) = Exp(uA)Exp(vA).

ii) Exp(A) ∈ GLn (K) y Exp(A)−1 = Exp(−A).

Demostraciń.
o
1
i) Desarrollando la serie Exp((u + v)A) = n≥0 n! (u + v)n An =
(u+v)n n
n≥0 n!
A .

36


Por otro lado

ur r vs s
Exp(uA)Exp(vA) = A A
r≥0
r! s≥0
s!
ur v s r+s
= A
r≥0 s≥0
r!s!
n
ur v n−r
= An
n≥0 r=0
r!(n − r)!
n
1 n
= ur v n−r An
n! r
n≥0 r=0
n
(u + v) n
= A
n≥0
n!
= Exp((u + v)A).

ii) De la parte (i),
I = Exp(0) = Exp((1 + (−1))A) = Exp(A)Exp(−A), luego Exp(A)
es invertible con inversa Exp(−A).

Estas propiedades permiten definir la funciń exponencial como la apli-
o
caciń
o
1 n
exp : Mn (K) −→ GLn K; exp(A) := Exp(A) = A .
n≥0
n!

2.8 Proposiciń. Si A, B ∈ Mn (K) conmutan entonces exp(A + B) =
o

37


exp(A)exp(B). Demostraciń.
o
1 r 1 s
exp(A)exp(B) = A B
r≥0
r! s≥0
s!
1 r s
= AB
r≥0 s≥0
r!s!
n
1
= Ar B n−r ; haciendo: r + s = n
n≥0 r=0
r!(n − r)!
n
1 n
= Ar B n−r
n! r
n≥0 r=0
1
= (A + B)n
n≥0
n!
= exp(A + B).
Tenga en cuenta, que se hace uso crucial de la conmutatividad de A y B en
n
la identidad nr=0 Ar B n−r = (A + B)n .
r
Igualmente, que para la funciń exponencial, se define la funciń
o o
logaritmo
(−1)n−1
ln : NMn (K) (I; 1) −→ Mn (K); ln(A) := Ln(A − I) = (A − I)n .
n≥1
n

N´tese, existe ln(A) para A − I < 1.
o
2.9 Proposiciń. Las funciones exp y ln tienen las siguientes propiedades.
o
i) Si A − I < 1, entonces exp(ln(A)) = A.
ii) Si exp(B) − I < 1, entonces ln(exp(B)) = B.
Demostraciń.
o
De las series de potencias formales se derivan las siguientes identidades
m
1 (−1)n−1
(x − 1)n = x,
m≥0
m! n≥1
n
n
(−1)n−1 1
(x)m = x,
n≥1
n m≥0
m!

38


reemplazando x por A y B se obtiene lo que se quiere.

La funciń exponencial es continua en 0n ∈ Mn (K). En efecto, para
o
cualquier > 0 existe δ = ln( + 1) tal que si A − 0 < δ entonces

1 n 1 n 1 n
exp(A)−exp(0n ) ≤ A ≤ A < δ = eδ −1 = eln( +1) −1 < .
n≥1
n! n≥1
n! n≥1
n!

Adem´s, para r ∈ R+ tenemos
a

exp(NMn (K) (0; r)) ⊆ NMn (K) (I; er − 1),

ya que para A < r se tiene,

1 n 1 n 1 n
exp(A) − I = A ≤ A < r = er − 1.
n≥1
n! n≥1
n! n≥1
n!

2.10 Proposiciń. Sea la funciń exponencial, exp : Mn (R) −→ GLn (R)
o o
∞
1 k
dada por exp(A) = k!
A .
k=0

i) La aplicaciń exp es inyectiva cuando es restringida a la bola abierta
o
NMn (R) (0n , ln 2).

ii) La funciń exponencial, exp, es un difeomorfismo de una bola abierta
o
de 0n , en una bola abierta de In .
Demostraciń.
o
i) Sea A, B ∈ NMn (R) (0n , ln 2). como exp(NMn (R) (0n , ln 2)) ⊆
NMn (R) (In , 1) entonces exp(A), exp(A) ∈ NMn (R) (In , 1), es decir,
exp(A) − In < 1 y exp(B) − In < 1.

exp(A) = exp(B)
ln(exp(A)) = ln(exp(B))
A = B.

ii) Esta afirmaciń
o es verdadera porque es
un caso particular del teorema 4.9.
haciendo G = GLn (R) y g = g = Mn (R).

39


2.11 Proposiciń Para A, B ∈ Mn (C) tal que AB = BA conmutan, se
o
tiene
d
exp(A + hB) = Bexp(A).
dh |h=0
Demostraciń. Sea A que conmuta con B, AB = BA, entonces
o
d 1
exp(A + hB) = lim {exp(A + hB) − exp(A)}
dh |h=0 h→0 h
1
= lim {exp(hB)exp(A) − exp(A)}
h→0 h
1 In
= lim exp(hB) − lim exp(A)
h→0 h h→0 h
∞
1 1 In
= lim (hB)k − lim exp(A)
h→0 h k! h→0 h
k=0
In hB 2 h2 B 3 In
= lim + lim B + lim + lim − lim exp(A)
h→0 h h→0 h→0 2! h→0 3! h→0 h

= Bexp(A).

Para la siguiente definiciń
o y lo que resta
de trabajo se suponen a, b ∈ R tal que
a < 0 < b.
2.12 Definiciń. Una curva diferenciable en Mn (K) es una funciń
o o

γ : (a, b) −→ Mn (K)

tal que la derivada de γ en t, γ (t), existe para cada t ∈ (a, b). Aqu´ γ (t)
ı
significa un elemento de Mn (K) definido por

γ(s) − γ(t)
γ (t) = lim ,
s→t s−t
siempre que este l´
ımite exista.
ımite antes mencionado existe si y s´lo si existen los n2 limites de variable
El l´ o
compleja o real,

γ(s)ij − γ(t)ij
lim = γ (t)ij para 1 ≤ i, j ≤ n,
s→t s−t

40


donde
   
γ(s)11 · · · γ(s)1n γ(t)11 · · · γ(t)1n
γ(s) =  . .. . , γ(t) =  . .. .  ∈ M (K).
 . .   . . 
. . . . . . n
γ(s)n1 · · · γ(s)nn γ(t)n1 · · · γ(t)nn

Consid´rese la ecuaciń diferencial de primer orden
e o

γ (t) = γ(t)A,

para γ una curva diferenciable en Mn (K) y A una matriz no nula en Mn (K).
2.13 Teorema. Para A, C ∈ Mn (R) con A no nula, y a < 0 < b, la ecuacińo
diferencial
γ (t) = γ(t)A
tiene una unica soluciń γ : (a, b) → Mn (R) con condiciń inicial γ(0) = C.
´ o o
Adem´s, si C es invertible, entonces tambiń lo es γ(t) para cada t en (a, b).
a e
Demostraciń. En primer lugar resolveremos la ecuaciń diferencial sujeta a
o o
la condiciń de inicial α(0) = I.
o
Para t ∈ a, b , la serie

tk k 1
A = (tA)k = exp(tA)
k≥0
k! k≥0
k!

converge, por lo que la funciń definida por
o

α : a, b −→ Mn (R); α(t) = exp(tA),

tiene como diferencial
tk−1
α (t) = Ak = exp(tA)A = Aexp(tA).
k≥1
(k − 1)!

Por lo tanto α satisface la anterior ecuaciń diferencial con condiciń inicial
o o
α(0) = I.
Observe tambiń que cuando los valores s, t, (s + t) ∈ a, b , se cumple
e

α(s + t) = exp((s + t)A) = exp(sA)exp(tA) = α(s)α(t).

En consecuencia, haciendo s + t = 0, se deduce que α(t) es siempre invertible
con α(t)−1 = α(−t).

41


Una soluciń
o de la ecuaciń
o diferencial su-
jeta a la condiciń
o inicial α(0) = C es
α(t) = Cexp(tA).
Unicidad de soluciń: Supongamos que β con β(0) = C es una soluciń
o o
de la ecuaciń diferencial. Entonces γ(t) := β(t)exp(−tA) satisface
o
d
γ (t) = β (t)exp(−tA) + β(t) exp(−tA)
dt
= β (t)exp(−tA) − β(t)exp(−tA)A
= β(t)Aexp(−tA) − β(t)exp(−tA)A
= 0.
Entonces γ(t) es una funciń constante para todo t ∈ a, b con
o
γ(t) = γ(0) = C, ya que γ(0) = β(0)exp(0A) = β(0) = C. As´ pues,
ı
β(t) = Cexp(tA) es la unica soluciń sujeta a β(0) = C.
´ o
Si C es invertible entonces Cexp(tA) tambiń es invertible para todo
e
t ∈ a, b .

´
2.4. Resultados Utiles de la Matriz Exponencial.
En esta secciń se exponen algunos resultados de la funciń exponencial
o o
en versiń matricial, que sera util en la obtenciń de algebras de Lie y en
o ´ o
algunas demostraciones posteriores.

2.14 Lema. Sea α : (a, b) −→ Mn (R) una curva diferenciable en
Mn (R) con α(0) = I. Entonces
d
detα(t) = trα (0). (2.1)
dt |t=0
Demostraciń. Sea A ∈ Mn (K) y la traza
o
n
trA = aii .
i=1

d
Usando el operador ∂ = dt t=0
que tiene la propiedad de derivaciń
o
∂(γ1 γ2 ) = (∂γ1 )γ2 (0) + γ1 (0)(∂γ2 ).
Para aij (t) = α(t)ij , evaluando en t = 0
aij (0) = δij .

42


Escribimos con Cij , la matriz cofactor, obtenida suprimiendo la i-´sima fila y
e
la j-´sima columna de la matriz α(t). Luego la determinante de α(t) usando
e
la n-´sima fila es
e
n
detα(t) = (−1)n+j anj (t)detCnj (t)
j=1

entonces
n
∂detα(t) = (−1)n+j {(∂anj )detCnj (0) + anj (0)(∂detCnj )}
j=1
n
= (−1)n+j (∂anj )detCnj + (∂detCnn ).
j=1

Para t = 0, detCnj (0) = δjn ya que α(0) = In , lo que implica

∂det(α(t)) = ∂ann + ∂detCnn .

Se repite el calculo para la matriz Cnn de orden (n − 1) × (n − 1), matriz
obtenida suprimiendo la n-´sima fila y n-´sima columna, luego tenemos que
e e

∂det(α(t)) = ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂detC(n−1)(n−1)
.
.
.
= ∂ann + ∂a(n−1)(n−1) + ∂a(n−2)(n−2) + · · · + ∂a22 + ∂a11
= trα (0)

2.15 Lema. Para A ∈ Mn (C) tenemos

det exp(A) = etrA . (2.2)

Demostraciń. Usando ecuaciones diferenciales
o
Haciendo C× := C − {0} = GL1 (C), consid´rese la curva
e

γ : R −→ GL1 (C) = C× ; γ(t) = det exp(tA).

La curva γ satisface la ecuaciń diferencial con condiciń inicial,
o o
γ (t) = γ(t)trA
(2.3)
γ(0) = 1,

43


En efecto:
det exp((t + h)A) − det exp(tA)
γ (t) = lim
h→0 h
det exp((t)A)exp(hA) − det exp(tA)
= lim
h→0 h
det exp(hA) − 1
= det exp(tA) lim
h→0 h
d
= det exp(tA) det exp(tA) por lema 2.14 para t → exp(tA)
dt |t=0
= det exp(tA)trA
= γ(t)tr(A).
Tambiń satisface la condiciń inicial γ(0) = det exp(0A) = det(I) = 1.
e o

Por otro lado la curva t −→ ettrA tambiń satisface la ecuaciń difer-
e o
encial (2.3), por lo tanto utilizando la unicidad de soluciń de una ecuaciń
o o
t trA
diferencial, teorema 2.13, obtenemos que γ(t) = det exp(tA) = e .

La proposiciń 2.10 nos permite escoger un r ∈ R con 0 < r ≤ 1/2 < ln(2)
o
de tal forma que si A, B ∈ NMn (R) (0, r) entonces exp(A)exp(B) ∈
exp NMn (R) (0, ln 2) .

Puesto que exp es inyectiva sobre NMn (R) (0, ln 2) por la proposiń
o
2.10, luego se sigue que existe un unico C ∈ Mn (R) tal que
´
exp(A)exp(B) = exp(C). (2.4)
Utilizando la f´rmula de Campbell-Hausdorff se puede expresar C como una
o
serie de potencias en A, B y [A, B] de la forma siguiente
1
C = A + B + [A, B] + S
2
donde [A, B] := AB − BA (es el conmutador o corchete de Lie en Mn (R))
y la matriz S ∈ Mn (R) es el resto que tiene una norma delimitada por una
expresiń de la forma cte( A + B )cte .
o
2.16 Proposiciń. Supongamos las matrices A, B y C en Mn (R) con
o
norma menor que 1/2 tal que exp(A)exp(B) = exp(C). Entonces si
1
C = A + B + [A, B] + S, (2.5)
2

44


la matriz S satisface
S ≤ 65( A + B )3 .
Demostraci´n.
o
Para X ∈ Mn (R) cualquiera con X ≤ 1 se tiene
exp(X) = I + X + R1 (X),
donde R1 (X) es el resto de terminos dada por
1 k
R1 (X) = X .
k≥2
k!
Entonces,
2 1 k−2
R1 (X) ≤ X X ,
k≥2
k!
y como X ≤ 1,

2 1
R1 (X) ≤ X = X 2 (e − 2) < X 2 .
k≥2
k!
1
Asi pues, en particular para C < 2
se tiene
2
R1 (C) ≤ C y exp(C) = I + C + R1 (C).
Por otro lado, usando (2.5) y el desarrollo de exp(A)exp(B) se tiene
exp(C) = exp(A)exp(B) = I + A + B + R1 (A, B),
donde
k
1 k!
R1 (A, B) = Ar B k−r
k≥2
k! r=0
r!(k − r)!
aplicando tenemos
k
1 k! r k−r
R1 (A, B) ≤ A B
k≥2
k! r=0
r!(k − r)!
( A + B )k
=
k≥2
k!

2 ( A + B )k−2
= ( A + B )
k≥2
k!
2
< ( A + B )

45


puesto que ( A + B ) < 1, debido a que A + B < 1 + 2
1
2
<1.
Combinando estas dos maneras de escribir exp(C) se tiene
C = A + B + R1 (A, B) − R1 (C) (2.6)
Luego tenemos
C ≤ A + B + R1 (A, B) + R1 (C)
< A + B + ( A + B )2 + C 2
1
≤ 2 ( A + B ) + C 2,
2
1
ya que A , B , C < 2 . Finalmente de estos se sigue
C ≤ 4( A + B ).
De la ecuaciń (2.6) tambiń tenemos
o e
C −A−B ≤ R1 (A, B) + R1 (C)
≤ ( A + B )2 + (4( A + B ))2 ,
o sea C − A − B ≤ 17 ( A + B )2 .
Ahora vamos a refinar ań m´s estas estimaciones. Escribiendo
u a
1
exp(C) = I + C + C 2 + R2 (C),
2
donde
1 k
R2 (C) = C .
k≥3
k!
la estimaciń se ajusta aun m´s
o a
1 3
R2 (C) ≤ C
3
1
ya que C < 2 < 1.
Usando la ecuaciń (2.5) obtenemos
o
1 1
exp(C) = I + A + B + [A, B] + S + C 2 + R2 (C)
2 2
1 1
= I + A + B + [A, B] + (A + B)2 + T
2 2
1 2
= I + A + B + (A + 2AB + B 2 ) + T, (2.7)
2

46


donde
1 2
T =S+ C − (A + B)2 + R2 (C).
2
Por otro lado tenemos
1 2
exp(A)exp(B) = I+A+B+ A + 2AB + B 2 +R2 (A, B) (2.8)
2
donde
k
1 k!
R2 (A, B) = Ar B k−r ,
k≥3
k! r=0
r!(k − r)!

que satisface
1
R2 (A, B) ≤ ( A + B )3
3
ya que A + B < 1.
Comparando las ecuaciones (2.7) y (2.8) y usando exp(A)exp(B) = exp(C)
tenemos que
1
S = R2 (A, B) + (A + B)2 − C 2 − R2 (C).
2
Tomando normas tenemos
1
S ≤ R2 (A, B) + (A + B)(A + B − C) + (A + B − C)C + R2 (C)
2
1 1 1
≤ ( A + B )3 + ( A + B + C ) A + B − C + C 3
3 2 3
1 5 1
≤ ( A + B ) + ( A + B ) · 17( A + B ) + (4 A + B )3
3 2
3 2 3
≤ 65( A + B )3 ,

Por tanto la estimaci´n obtenida es
o

S ≤ 65( A + B )3 . (2.9)

2.17 Teorema. Para A, B ∈ Mn (R) se tiene las siguientes formulas.
F´rmula del Producto Trotter:
o

exp(A + B) = lim {exp((1/r)A)exp((1/r)B)}r .
r→∞

47


F´rmula del Conmutador:
o
2
exp[A, B] = lim {exp((1/r)A)exp((1/r)B)exp(−(1/r)A)exp(−(1/r)B)}r .
r→∞

Demostraciń.
o
Demostraciń de la F´rmula del Producto Trotter
o o
Haciendo r lo suficientemente grande tomamos U = 1 A y V = 1 B y reem-
r r
plazando en exp(U )exp(V ) = exp(C) se tiene
1 1
exp( A)exp( B) = exp(Cr ) (2.10)
r r
donde
1 17( A + B )2
Cr − (A + B) ≤ .
r r2
17( A + B )2
Haciendo r −→ ∞ en rCr − (A + B) ≤ r
se tiene

17( A + B )2
rCr − (A + B) = −→ 0.
r
Por tanto rCr −→ (A + B). Como exp(rCr ) = exp(Cr )r , y exp es continua
en su dominio, entonces se obtiene

exp(A + B) = lim {exp((1/r)A)exp((1/r)B)}r .
r→∞

Demostraciń de la F´rmula del conmutador.
o o
De exp( 1 A)exp( 1 B) = exp(Cr ), se tiene
r r

1 1 ( A + B )3
Cr = (A + B) + 2 [A, B] + Sr donde Sr ≤ 65 .
r 2r r3
Similarmente, reemplazando A, B con −A, −B en (2.10) se obtiene

exp((−1/r)A)exp((−1/r)B) = exp(Cr ),

donde
A + B )3
Cr = −1 (A + B) + 2r2 [A, B] + Sr
r
1
y Sr ≤ 65 ( r3
.
Multiplicando estos resultados se obtiene
1 1 1 1
exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) = exp(Cr )exp(Cr ) = exp(Er ),
r r r r

48


donde
1 1 1
Er = Cr +Cr + [Cr , Cr ]+Tr = 2 [A, B]+ [Cr , Cr ]+Sr +Sr +Tr . (2.11)
2 r 2
Aqu´ Tr es el resto, proposiciń 2.16.
ı o
Haciendo los c´lculos se tiene,
a
1 1 −1 1
[Cr , Cr ] = [ (A + B) + 2 [A, B] + Sr , (A + B) + 2 [A, B] + Sr ]
r 2r r 2r
1 1 1
= 3 [A + B, [A, B]] + [A + B, Sr + Sr ] + 2 [[A, B], Sr − Sr ] + [Sr , Sr ].
r r 2r
cte cte
Puesto que r ≥ 1, Sr ≤ r3
, Sr ≤ r3
entonces

1 1 4 cte
3
[A + B, [A, B]] ≤ 3 2 A + B [A, B] ≤ 3
= 3;
r r r r

1 1 cte cte cte
[A + B, Sr + Sr ] ≤ 2 A+B Sr +Sr ≤ 2 Sr +Sr ≤ 2 + 3 = ;
r r r3 r r3
1 1 1 cte cte cte
2
[[A, B], Sr − Sr ] ≤ 2 2 [A, B] Sr −Sr ≤ 2 ( Sr + Sr ) ≤ 3 + 3 = 3 ;
2r 2r r r r r
por ultimo [Sr , Sr ] ≤ 2 Sr Sr ≤ 2 cte · cte ≤ cte . Entonces [Cr , Cr ] tiene
´ r3 r3 r3
una norma delimitada por una expresiń de la forma (constante)/r3 .
o
De (2.11) tenemos Er − r12 [A, B] = 1 [Cr , Cr ] + Sr + Sr + Tr y adem´s
2
a
Tr ≤ cte . Luego se deduce que Er − r12 [A, B] tiene una norma delimitada
r3
por una expresiń de la forma (constante)/r3 .
o

Consideremos
Qr = r2 Er − [A, B].
Luego aplicando norma

1 (constante)
Qr = r2 Er − [A, B] = |r2 | Er − 2
[A, B] ≤ |r2 |
r r3
Haciendo r −→ ∞ se tiene
(constante)
Qr ≤ −→ 0,
r

49


o sea, Qr −→ 0. Como r2 Er = [A, B]+Qr entonces exp(r2 Er ) = exp([A, B]+
Qr ). Puesto que exp es continuidad y haciendo r −→ 0, se sigue
2
exp(Er )r = exp([A, B] + Qr ) −→ exp([A, B]).

Puesto que exp(Er ) = exp( 1 A)exp( 1 B)exp(− 1 A)exp(− 1 B) entonces
r r r r

r2
1 1 1 1
exp([A, B]) = lim exp( A)exp( B)exp(− A)exp(− B) .
r→∞ r r r r

50

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