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UNIDAD1

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Matematicas 3 unidad 1. CCH vallejo

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  • Espero les continué sirviendo la presentación Rogelio muñoz.
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UNIDAD1 UNIDAD1 Presentation Transcript

  • Unidad 1: Solución de sistemas de ecuaciones “El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia” Siddhartha unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 1
  • APUNTES BASICOS DE ► MATEMATICAS 3 A MANERA DE EXPLICACION: Con los contenidos de cada una de las unidades de las que consta la materia de matemáticas tres, continuamos lo que se puede considerar el tronco de los conocimientos matemáticos con los que los alumnos deben ir acompañados para cursar el siguiente año escolar, y así tener mayor oportunidad de cursar la especialidad que pretendan seleccionar en el momento que les corresponda. Este libro de apuntes básicos de matemáticas tres pretende ser el material didáctico a utilizar (bueno lo proponemos) por parte del profesor en el salón de clase, con el fin de cumplir con los propósitos, aprendizajes y contenido temático del programa de la materia y además para ir cubriendo (ayudando a resolver podría ser ) la gran dificultad a la que tenemos que enfrentarnos en el salón de clase, al no contar con suficientes problemas tipo, así como propuestas didácticas variadas para el trabajo con el alumno, al poner en practica los programas ajustados, después de hacer la revisión de los programas del plan de estudios actualizado (PEA). unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 2
  • ► A LOS PROFESORES: Les hacemos llegar este libro para que lo utilicen en la atención a los grupos que tienen asignados de esta materia, y lo hagan verificando que cumple tanto con el contenido como con los propósitos y que permite alcanzar los aprendizajes planteados en la misma. Solicitamos al mismo tiempo, si tienen a bien, hacemos llegar los comentarios que consideren pertinentes para incluirlos en las próxima revisión, para tener oportunidad de mejorarlos, y de esta forma contar con materiales que nos permitan a todos, desarrollar las unidades de las materia tratando de cumplir lo expuesto en los programas como son: propósitos, tanto de la materia como de cada unidad, así como también nos permitan alcanzar en los alumnos los aprendizajes fundamentales. Las graficas de la solución de los problemas se realizaron con los softwares Geolab y Winplot, se recomienda el uso de estos software en la verificación de los problemas que los alumnos deben resolver. En el apéndice se expone una explicación para la utilización del software Geolab. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 3
  • ► A LOS ESTUDIANTES: Ponemos en tus manos este libro para que al leerlo detenidamente y al analizarlo, adquieras con el, los aprendizajes que te permitan la preparación necesaria y suficiente para tu desarrollo y continuidad en tu formación matemática en la Escuela Nacional del Colegio de Ciencias y Humanidades, la Universidad, y en tu vida cotidiana. Es importante que cuando resuelvas los problemas tengas a la mano un cuaderno, para que realices las operaciones pertinentes. ► RECONOCIMIENTOS: Deseamos agradecer al Prof. Asesor Técnico del C.C.H Vallejo Marte Adolfo Pérez Botello, así como a Marco Antonio Chalini Morales, quienes leyeron el manuscrito y revisaron las imágenes. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 4
  • UNIDAD 1: SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES ► PROPOSITOS: * Ampliar el concepto de Sistema de Ecuaciones y extender los procedimientos algebraicos de solución. * Reafirmar el significado algebraico y grafico de la solución de un sistema. Proporcionar una herramienta para el manejo del método analítico. * Avanzar en la practica de la operatividad algebraica. APRENDIZAJES: AL FINALIZAR LA UNIDAD EL ALUMNO DEBE: * Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o (no) de otro tipo, y cuales son sus incógnitas. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 5
  • * Recordar el método de reducción para resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, y comprenderá la forma en que se extiende a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. * Reafirmar el concepto de sistemas equivalentes y comprenderá que en los métodos algebraicos de resolución de un sistema de ecuaciones, se recurre a transformarlos a sistemas equivalentes de mayor simplicidad, hasta llegar a alguno que contiene una ecuación con una sola incógnita, de convertir una situación desconocida o difícil, a otra conocida o mas simple. * Distinguir cuando un sistema de ecuaciones de 3 por 3 o de 4 por 4, esta escrito en forma triangular y explicar que ventajas aporta esta forma para resolverlo. * Dado un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, utilizar el método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular, y a partir de ahí, obtener su solución. *A través de un sistema de ecuaciones escrito en forma triangular, identificar si este es independiente y compatible, dependiente y compatible, o bien si es incompatible. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 6
  • * En el caso de los sistemas de 2 por 2, ya sea que ambas ecuaciones sean lineales o incluyan cuadráticas, explicar a partir de una grafica, que significa que el sistema tenga una, ninguna o una infinidad de soluciones. * Para sistemas de ecuaciones de 2 por 2 con ambas ecuaciones cuadráticas (parábolas y/o circunferencias), trazar un bosquejo que ilustre como pueden estar colocadas las graficas para que el sistema tenga cero, una, dos , tres o cuatro soluciones. * Aplicar el método de sustitución para resolver sistemas de dos ecuaciones en los que una de ellas o ambas son cuadráticas. * Apreciar que el algebra es útil para obtener información a cerca del comportamiento de algunos objetos matemáticos, como es el caso de saber si dos graficas se intersectan o no, cuantas veces y en donde. * Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones de los tipos estudiados en esta unidad. * Interpretar en el contexto del problema proporcionado, el sentido de la solución hallada. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 7
  • ► CONTENIDO TEMÁTICO: * Situaciones que dan lugar a sistemas de ecuaciones lineales * Sistemas de ecuaciones lineales, 2x2 y 3x3 a) Con solución única b) Con infinidad de soluciones c) Sin soluciones * Sistemas de Ecuaciones Equivalentes a) Concepto b) Forma Triangular c) Métodos de resolución no lineales 2x2 * Sistemas de ecuaciones no lineales 2x2 a) Con una ecuación lineal y otra cuadrática b) Con ambas ecuaciones cuadráticas c) El significado grafico de su solución d) Método de substitución * Problemas de Aplicación unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 8
  • UNIDAD 1: SOLUCION DE SISTEMA DE ECUACIONES * PROPOSITOS: Ampliar el concepto de sistemas de ecuaciones y extender los procedimientos algebraicos de solución. Reafirmar el significado algebraico y grafico de la solución de un sistema. Proporcionar una herramienta para el manejo del método analítico. Avanzar en la practica de la operatividad algebraica. * APRENDIZAJES: - Reconocer cuando un sistema de ecuaciones es lineal o de otro tipo y cuales son sus incógnitas. - Recordar el método de reducción para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. * TEMATICA: a) Con solución única b) Con infinidad de soluciones c) Sin solución unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 9
  • INTRODUCCION Los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones simultaneas que se abordan actualmente en el estudio de las matemáticas de nivel medio superior, han experimentado un proceso de estructuración en sus formas y contenidos a lo largo de la Historia de las matemáticas, pues hay que recordar que muchos investigadores de diferentes culturas universales han coadyuvado en esta tarea. Hoy conocemos de diferentes fuentes históricas que los egipcios, entre 2200 y 1700 a. de c. sentaron bases teóricas dignas de tomar en cuenta para el desarrollo de esta clase de ecuaciones y aun con ciertas limitaciones en el desarrollo de su algebra, llegaron a plantear y resolver problemas notables; que con el uso del lenguaje algebraico actual corresponde a un sistema como este: X2+Y2=50 Y=(2/3)X Mencionemos también que algunos matemáticos pertenecientes a la cultura China en un libro que lleva por nombre “La aritmética en nueve secciones”, escritos en el año 2006 a. de c. dieron a conocer una colección de problemas sobre agricultura e ingeniería, así como las reglas para resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales. Estos procedimientos son muy semejantes a los actuales como el método de eliminación por suma y resta, el método de Gauss – Jordan y el método de la regla de Cramer. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 10
  • SITUACIONES QUE DAN LUGAR A SISTEMAS DE ECUECIONES LINEALES DOS POR DOS En la unidad 4 de matemáticas 1 se estudiaron los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, algunas de estas técnicas, por ejemplo de eliminación y sustitución las recordaremos con algunos problemas que nos conduzcan a un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Escribe en tu cuaderno el nombre de los métodos que aprendiste en tu curso de matemáticas 1 y resuelve el siguiente problema con el método que recuerdes. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 11
  • Problema 1.1 Un químico tiene dos soluciones con acido, cada una contiene un cierto porcentaje de acido nítrico. Si una solución tiene el 4% de acido nítrico y la otra el 14% del mismo acido, ¿Qué cantidad de cada solución debería mezclarse para obtener 20 litros de una solución que contenga el 12% de acido nítrico? Solución: Comprenderemos el problema ilustrándolo con figuras que muestren la realidad del problema, para identificar cuales son los datos y cuales las incógnitas. Solución X Solución Y 20 litros con el 12 % 4% de acido nítrico 14% acido nítrico de acido nítrico unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 12
  • DATOS: x+y=20------------------------(1) .04x+.14y=.12(20)------------(2) Incógnitas: ¿ Cuantos litros de solución “x” con una concentración del 4% de acido nítrico así como cuantos litros de solución “y” con una concentración del 14%, se necesitan para obtener una solución de 20 litros con una concentración del 12% de acido nítrico? Para llegar a la respuesta podemos resolver el sistema por el método de suma y resta: A la ecuación (1) la multiplicaremos por -.40 y la sumamos a la ecuación (2). -.04(x+y=20) .04x+.14y=2.4 .1y=1.6 y=16 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 13
  • Sustituyendo en la ecuación (1) este valor x+16=20 X=4 Podemos decir que se necesitan 4 litros de solución con una concentración de acido nítrico del 4% y 16 litros de solución con una concentración del 14% del mismo acido. Esto lo podemos verificar si sustituimos estos valores en el sistema original. 4+16=20 (1) .04(4)+.14(16)=.12(20) (2) PROBLEMA 1.2 El costo de tres camisetas y cinco pantalones es de $465 pesos. El costo de dos camisetas y un pantalón es de $226. ¿Cuál será el costo de una camiseta y un pantalón? unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 14
  • Solucion: Identificaremos los datos y las incógnitas con algunos esquemas que nos ilustren el problema. 3x ┼ 5y 2x ┼ y Denotemos el costo de una camisa por la variable x, el costo de un pantalón por la variable y. Incógnitas: cuanto es el costo de una camisa y cuanto es el costo de un pantalón. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 15
  • Planteando un sistema de ecuaciones lineales, se tiene: 3x+5y =465 (1) 2x+y=226 (2) Aplicando el método de suma y resta, resolveremos este sistema. Eliminemos la variable y multiplicando la ecuación (2) por -5 y sumemos con la ecuación (1): 3x+5y=465 -10x-5y=-1130 -7x+0=-665 Considerando la ecuación: -7x= -665 despeja la variable x; realiza las operaciones en tu cuaderno. Debes encontrar la siguiente solución. x=95 Sustituyendo este valor de x=95 en la ecuación (1), encuentra el valor de 3(95)+5y=465 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 16
  • Debes llegar al siguiente resultado. y=36 Concluimos que el costo de una camisa es de $95 y el costo de un pantalón es de $36. Para asegurarnos que se resolvió correctamente el problema, sustituimos estos valores en el sistema de ecuaciones planteado anteriormente y observaremos que en ambas ecuaciones la igualdad se cumple: 3x+5y=465 (1) 2x+y=226 (2) Sustituimos x = 95; y = 36, en la ecuación (1): 3x+5y=465 3(95)+5(36)=465 285+180=465 465=465 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 17
  • Hacemos lo mismo en la ecuación (2): 2x+y=226 2(95)+36=226 190+36=226 226=226 Problemas: Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno con el método de suma y resta, realiza algunos esquemas con el fin de identificar correctamente cuales son tus datos y cuales son tus incógnitas, verifica en cada problema si tu solución es correcta y escribe una solución para cada uno de los problemas. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 18
  • 1) En un supermercado Juan compro 5 kg. De naranjas y 4 kg. De plátanos, y pago 57 pesos, por otros 2 kg. De naranjas y 6 kg. De plátanos pago 60 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De naranja y un kilogramo de plátanos. Sol.Preciodelkilodenaranjas:4.64 Precio del kilo de plátanos: 8.45 2) El perímetro de un rectángulo es de 64 metros. Si el largo del rectángulo es el triple del ancho: Construye un sistema de dos ecuaciones de 2 por 2, para determinar el largo y el ancho del rectángulo. Sol. Ancho : 20 Largo :48 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 19
  • 3) Se tiene un cable conductor de energía de 60 metros de largo, para conectar equipos en una planta termoeléctrica. Si con el cable se forma un rectángulo: ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo, si el largo del rectángulo que se forma es el doble que su ancho? Sol. Ancho :20 Largo :48 4) En un supermercado Juan compro 5kg. De toronjas y 4 kg. De duraznos, y pago 30 pesos, por otros 2 kg. De toronjas y 6 kg. De duraznos, pago 23 pesos. Encuentra el precio de 1 kg. De toronjas y duraznos. Sol. kg. de toronjas = 4 pesos kg. de duraznos = 2.5 pesos unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 20
  • Recuerda que no todos los sistemas lineales tienen solución: cuando un sistema de ecuaciones tiene solución se dice que es consistente e independiente ( las rectas se intersecan), cuando no tiene solución se llama inconsistente ( las rectas son paralelas), cuando tiene una infinidad de soluciones se dice que el sistema es dependiente ( las rectas coinciden). Considerando un sistema general de dos ecuaciones lineales con dos variables. a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2 En donde a1,b1,c1,a2,b2,c2 son números reales. Las graficas de cada una de estas ecuaciones son rectas; se hará referencia a ellas como Si se grafican dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de coordenadas rectangulares ocurrirá una de las tres siguientes alternativas siguientes: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 21
  • 1) Las rectas coinciden; por consiguiente, el sistema de ecuaciones tiene un numero infinito de soluciones. Por ello se dice que el sistema es dependiente. 2) Las rectas son paralelas; por consiguiente, el sistema de ecuaciones no tiene ninguna solución. Por ello se dice que el sistema es inconsistente. 3) Las rectas se intersecan en exactamente en un punto. Por ello se dice que el sistema es consistente e independiente. Los siguientes sistemas de ecuaciones y sus graficas correspondientes ilustran estos tres casos. 2x-y=-3 x+2y=4 x+2y=4 4x-2y=-6 x+2y=8 2x-y=3 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 22
  • Rectas que coinciden Rectas paralelas Rectas que se Sistemas dependientes Sistemas inconsistentes intersecan Numero infinito de Sin solución Sistemas inconsistentes soluciones e independientes Exactamente una APLICANDO EL METODO DE SUMA Y solución RESTA: CUANDO EL SISTEMA ES CONSISTENETE Y TIENE UNA SOLUCION unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 23
  • Problema 1.3: . A continuación resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones y construiremos su grafica. x-y=-5 (1) x+2y=4 (2) Solución del problema: Escribe en tu cuaderno cuales serian tus datos en la solución del problema: Escribe en tu cuaderno, cual es la incógnita en la solución del problema: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 24
  • Resolveremos el sistema de ecuaciones: Si multiplicamos la ecuación (1) por -1 tendremos que en ambas ecuaciones respecto a la variable x, coeficientes que solo difieren en el signo, posteriormente sumamos. -x+y=5 x+2y=4 0x+3y=9 De la ecuación: 3y = 9 despeja la variable y, en tu cuaderno y=3 Sí sustituimos este valor en la ecuación (2) obtendremos el valor de la variable x+2y= x+2(3)=4 Despeja la variable, debes llegar al resultado: x = -2 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 25
  • Podemos concluir que: el punto en donde se intersecan estas dos rectas es P (-2 , 3). Como se observa en la grafica. Realiza la grafica en tu cuaderno identificando cual es la ecuación de cada una de las rectas. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 26
  • EL METODO DE ELIMINACION: CUANDO EL SISTEMA ES INCONSISTENETE, ES DECIR NO TIENE SOLUCIÓN. Problema 1.4 Resuelve el siguiente problema de ecuaciones lineales y realiza una grafica. -2x+2y=5 (1) x-y=1 (2) Solución: Recordaremos que para resolver un problema debemos tener muy presente, cuales son los datos, escríbelos en tu cuaderno: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 27
  • Escribe en tu cuaderno, cuales son las incógnitas: Solución del sistema de ecuaciones: Podemos obtener coeficientes que difieren solo en el signo a la variable “x” y la variable “y” si multiplicamos la segunda ecuación por (2), al sumarlas observamos que tenemos una ecuación falsa. -2x+2y=5 2x-2y=2 0=7 Ecuación falsa Como no hay valores de las variables: “x” e “y” para los cuales 0=7 el sistemas es inconsistente y no tiene solución, entonces las rectas correspondientes al sistema original son paralelas. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 28
  • Las líneas correspondientes a las dos ecuaciones dadas en este sistema se muestran en la siguiente figura. Observa que las dos líneas son paralelas. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 29
  • EL METODO DE SUMA Y RESTA: CUANDO EL SISTEMA TIENE MUCHAS SOLUCIONES. Problema 1.5 Resuelve el sistema lineal por el método de eliminación o suma y resta y construye la grafica correspondiente 3x-2y=6 -6x+4y=-12 Solución: Para resolver el problema debemos tener presente que los datos de el problema son: el sistema de ecuaciones que debemos resolver por el método de eliminación. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 30
  • Escribe en tu cuaderno cuales son las incógnitas: Resolviendo el sistema de ecuaciones: Podemos obtener coeficientes en la variable “y” así como en la variable “x” que difieran solo en el signo, si multiplicamos la primera ecuación por 2, posteriormente sumamos con la ecuación (2). 6x-4y=12 -6x+2y=-12 0=0 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 31
  • Observemos que obtenemos una igualdad, esto significa que las dos rectas son equivalentes (tienen el mismo conjunto solución), el sistema tiene infinidad de soluciones, podemos decir que el conjunto de soluciones esta formado por todos los puntos ( x , y ) que se encuentren en la línea 3x – 2y =6 como se muestra en la figura. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 32
  • Problema 1.6 Problema : Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de sustitución. x+2y=4. . . .(1) 2x-y=3. . . .(2) Realiza las operaciones en tu cuaderno. Recuerda el método, puedes despejar de la ecuación (1) la variable x, y sustituirla en la ecuación (2) y así conocer el valor de la variable de x, la solución del problema se ilustra con la siguiente grafica, contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas: 1) Escribe la solución que encontraste y localiza esta solución en la grafica. 2) Este sistema es consistente o inconsistente 3) Explica que significa que un sistema sea consistente o inconsistente 4) Verifica la solución unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 33
  • Problemas Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas por estos dos métodos, dibuja un esquema con el fin de que identifiques correctamente cuales son tus datos y cuales son tus incógnitas y cuando termines de resolver cada uno de los problemas verifícalos: Recomendación: Estos problemas se sugiere sean resueltos por equipos según lo indique el profesor. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 34
  • 1) La suma de dos números es 44 y su diferencia es 20. ¿Cuáles son los números? Sol. 12, 32 2) Dos ángulos son suplementarios, de tal manera que el primero es igual a 7 veces el segundo mas 4º. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos? 3) Un químico tiene una solución acida al 25% y otra al 50%. ¿Qué volumen de cada una debe utilizarse para preparar 25 litros de una solución acida al 40% ? Sol. 10 litros de solución al 25% 15 litros de solución al 50% unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 35
  • 4) Resuelve el sistema lineal por el método de suma y resta, construye su grafica y analiza si el sistema es consistente o inconsistente. 2x+y=4 x-y=2 Sol. (2, 0) 5) Resuelve el sistema lineal por método de sustitución x+3y=2 -x+2y=3 Sol. ( -1, 1 ) 6)Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado, analiza si es consistente o inconsistente y construye su grafica. x-y=1 -2x+2y=5 Sol. inconsistente unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 36
  • 7) Resuelve el sistema lineal por el método que consideres mas apropiado, analiza si es consistente o inconsistente y construye su grafica. 3x-2y=6 -6x+4y=-12 Sol. (2a , 3a-3 ) 8) Resuelve el sistema por cualquier método, realiza una grafica 9x-3y=-1 3x+6y=-5 Sol. ( -1/3 , -2/3 ) 9) Resuelve el sistema lineal y realiza una grafica 2/3x+1/6y=2/3 4x+y=4 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 37
  • 10)Resuelve el sistema de ecuaciones y realiza la grafica x/y+y/6=1 x+y=3 Sol. (18/5 , 3/5) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 38
  • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS Aprendizajes. El alumno: • Reafirmara el concepto de sistemas equivalentes y entenderá que en los métodos algebraicos de resolución de un sistema de ecuaciones, se recurre a transformar los sistemas equivalentes de mayor simplicidad, hasta llegar a alguno que contiene una ecuación con una solo incógnita. Con ello reafirmara la estrategia matemática de convenir una situación desconocida o difícil, a otra conocida o mas fácil. • Dado un sistema de ecuaciones lineales 3x3, utilizara el método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular, y a partir de ahí, obtendrá su solución. Temática: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 39
  • Sistemas de ecuaciones equivalentes a) Concepto b) Forma triangular Ahora ampliaremos la definición de ecuación lineal ax + by = c a una ecuación lineal o de primer grado con tres variables ax + by +cz =d, en la que su grafica es un plano en el espacio, a diferencia de la grafica de la primera ecuación que es una línea recta. La solución de una ecuación lineal como : 2x + y – 3z = 3 es una terna ordenada de números. Por ejemplo, (1, -2, -1 ) es una solución de la ecuación pues si se sustituyen a x, y, z por 1, -2, -1, en ese orden resulta una ecuación verdadera. La solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables es una tercia ordenada de números. Por ejemplo la solución del sistema: x+y-z 2x+y+z=1 3x-2y-z=3 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 40
  • Es la tercia (1, 1, -2 ) que es la solución de cada una de las tres ecuaciones. Es fácil comprobar por sustitución que esta tercia es solución del sistema anterior. 1+1-(-2)=4 2(1)+2+(-2)=1 3(1)-2(1)-(-2)=3 Un sistemas de tres ecuaciones lineales variables es consistente o inconsistente, según como se intersequen los tres planos que corresponden a las tres ecuaciones, en las siguientes figuras se muestran algunas de las probabilidades de cómo se pueden intersecar estos tres planos. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 41
  • Los tres planos se intersectan en Los tres planos tienen Los tres planos no tienen punto un solo punto P. una solución una recta l común en común , no hay solución infinitas soluciones A continuación se plantean los pasos para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables. 1. Se seleccionan dos de las tres ecuaciones y se elimina una variable 2. Se utiliza la ecuación del sistema original que no fue usada en el primer paso junto con cualquiera de las otras dos ecuaciones y se elimina la misma variable unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 42
  • 3. Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos variables 4. Se sustituyen los valores de las dos variables en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la tercera variable 5. Si en algún paso se obtiene una contradicción, el sistema no tiene solución 6.Si al resolver un sistema de tres ecuaciones con tres variables se obtiene una identidad de algún paso, el sistema tiene un numero infinito de soluciones o no tiene ninguna. De haber un numero infinito de soluciones, se expresan como se indico para un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Recordemos que en un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden representar por dos líneas rectas. Si las rectas tienen un solo punto de intersección entonces el sistema tiene una solución únicas en el coinciden, existe un numero infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una solución y el sistema es inconsistente. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 43
  • Algo similar pasa cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones ax+ by+ cz=d ex+ fy+ gz=h jx+ ky+ iz=m Cada ecuación es la ecuación de un plano. Al resolver cualquier sistema de ecuaciones de 3x3 existen 6 posibilidades de solución. Esto lo podemos observar en las figuras que a continuación se presentan. 1)Los tres planos se intersecan en un solo punto. Entonces existe una solo solución única para el sistema, es decir los tres planos se intersecan en un solo punto, ver fig. 1.9 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 44
  • 2) Los planos se intersecan en la misma recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y el sistema tiene un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.10: 3) Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tiene un numero infinito de soluciones fig. 1.11 4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 45
  • 4) Dos de los planos coinciden intersecan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe un numero infinito de soluciones, ver fig. 1.12: 5) Al menos dos planos son paralelos y distintos. Entonces ningún punto puede estar en ambos y no hay solución. El sistema es inconsistente, ver fig. 1.13: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 46
  • 6) Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es paralelo a L (y no contiene a L), de manera que ningún punto del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existe una solución, y el sistema es inconsistente, ver fig. 1.14: A continuación resolveremos un problema que nos conduzca a un planteamiento de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para su solución, el cual lo resolveremos por el método de eliminación con el fin de ilustrar el método. . unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 47
  • TRANSFORMACION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS A LA FORMA Problema 1.7 TRIANGULAR El señor Ramírez es dueño de una dulcería y para surtir su negocio compro un kilogramo de cada uno de los tres tamaños diferentes de dulces: pequeños, medianos y grandes. Después se dio cuenta que había subestimado la cantidad de dulces pequeños y grandes que necesitaba. Así pues, compro otra vez la misma cantidad de dulces pequeños y dos tantos de lo que había comprado de los grandes. Después de organizar su negocio se dio cuenta que le volvieron a faltar dulces, por lo que necesito comprar otro kilogramo de dulces pequeño y medianos. Cuando vio la nota de su compra observo que le habían cobrado por dulces $60 la primera vez; $65 la segunda y $35 la tercera ocasión. Los precios de los dulces varían de acuerdo el tamaño, pero en las notas no se estipularon. Encuentre dichos precios. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 48
  • A continuación ilustremos el problema con un esquema para identificar cuales son los datos y las incógnitas Precio por kilogramo Precio por kilogramo Precio por Solución:pequeños kilogramo Dulces Dulces medianos Dulces Si x, grandes y, z son los precios de los dulces por kilogramo que corresponden a cada uno de los tres tamaños: chicos, medianos y grandes. A continuación se plantea el sistema de ecuaciones que hay que resolver, para saber el por kilogramo de los tres tamaños de los dulces. x+y+z=60 (1) x+0·y+2z=65 (2) x+y+0·z=35 (3) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 49
  • Consideremos la ecuación (1) y la ecuación (2), eliminaremos la variable x multiplicando la segunda ecuación por (-) y sumando ambas ecuaciones obtenemos la ecuación (4): x+y+z=60 (1) -x-0y-2z=-65 (2) y-z=-5 (4) Consideremos la primera y la tercera ecuación. x+y+z=60………………………………………..(1) x+y+0z=35 ………………………………………(3) A la ecuación (3) la multiplicamos por (-1) y la sumamos con la ecuación (1) para eliminarla la x y así obtener la ecuación (5) . x+y+z=60………………………………………..(1) -x-y-0z=-35 ………………………………………(3) z=25 ……………..............................(5) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 50
  • Así obtenemos un sistema triangular con las ecuaciones (1) ,(4) y (5) como a continuación: x+y+z=60…………………………….(1) y-z=-5………………………………….(4) z=25…………………………………….(5) Substituyendo la ecuación (5) en la ecuación (4) se obtiene el valor de y. y-z=-5 y-25=-5 y=-5+25 y=20 Si sustituimos los valores z, y en la ecuación (1) obtenemos el valor de x. x+y+z=60 x+20+25=60 x+45=60 x=60-45 x=15 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 51
  • Entonces el kilogramo de los respectivos dulces corto: Chicos x= 15 pesos Medianos y=20 pesos Grandes z=25 pesos unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 52
  • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TRES POR TRES CON SOLUCION UNICA. Problema 1.8 Resolvemos el siguiente problema por método de suma y resta transformándolo a la forma triangular, con el fin de ilustrar el método. x+y+z=3……………….(1) x+2y-z=0………………(2) 3x-y+2z=2……………..(3) Multipliquemos por -1 la ecuación (2) y sumemos con la ecuación (1) para eliminar a la variable x, y obtener la ecuación (4) x+y+z=3 -x-2y+z=0 -y+2z=3……..(4) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 53
  • Sumemos la ecuación (1) multiplicada por -3, con la ecuación (3), para eliminar la variable x, así obtendremos la ecuación (5). -3x-3y-3z=-9 3x-y+2z=0 -4y-z=-7……….(5) Obtenemos un sistema triangular: x+y+z=3……………….(1) -y+2z=3………………...(4) y=11/9………………….(6) Sustituyendo (6) en la ecuación (4) obtenemos el valor de z: -11/9+2z=3 z=19/9 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 54
  • Encontremos el valor de x substituyendo el valor de y, así como el de z en (1) x+11/9+19/9=3 x=-1/3 Conclusión: Podemos decir que esto tres planos se intersecan en el punto P( -1/3,11/9,19/9) A continuación representaremos esta solucion de una manera intuitiva mediante las siguientes figuras. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 55
  • En tu cuaderno realiza la verificación del problema. ► Problema 1.9 Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones, realizaremos una gráfica que ilustre de una manera intuitiva del problema y verificaremos el problema. x+y+z=6…………(1) x+z=-2…………...(2) y+3Z=11…………(3) Solución: ¿Estaríamos de acuerdo que nuestros datos son: El sistema de ecuaciones y nuestra incógnita saber como se intersecan los planos?, es decir saber si el sistema tiene solución única, una infinidad de soluciones o no tiene solución. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 56
  • Resolvamos el sistema : Multipliquemos por -1 a la ecuación (2). -1(x-z=-2) -x+z=2 Realicemos la suma algebraica de esta ecuación con la ecuación (1) x+y+z=6 -x+z=2 y+2z=8………….(4) Multipliquemos por -1 a la ecuación (3) y sumemos con la ecuación (4) -1(y+3z=11) -y-3z=-11 Y+2z=8 -y-3z=-11 unidad 1 -z=3………………(5) Solucion de Sistemas de Ecuaciones 57
  • Obtenemos un sistema triangular x+y+z=6…………….(1) x+2z=8……………...(4) -z=-3…………………(5) Sustituyendo en (4) z=3 Despejemos y: y+2(3)=8 y=8-6=2; y=2 Sustituyamos en (1) estos valores para conocer x x+y+z=6 x+2+3=6 x=1 Conclusión: Estos tres planos se intersecan en el punto P(1,2,3), por lo tanto tenemos un sistema consistente, a continuación representaremos de una manera intuitiva la forma de cómo se intersecan estos planos mediante las siguientes gráficas. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 58
  • Problema 1.10 Completa en tu cuaderno la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de suma y resta para transformarlo a la forma triangular. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 59
  • x+y+2z=9………………..(1) 2x+4y-3z=1……………..(2) 3x+6y-5z=0……………..(3) Elegimos las ecuaciones: la primera y segunda x+y+2z=9………….(1) 2x+4y-3z=1………..(2) Si multiplicamos la primera ecuación por -2 y la sumamos con la segunda, obtendremos la ecuación (4): 2y-7z=-17……………………(4) Observa que esta nueva ecuación no contiene a la variable x Considera ahora la primera y la tercera ecuación y elimina la variable “x”, si a la primera ecuación la multiplicamos por -3 y la sumamos con la tercera obtendremos la ecuación (5): 3y-11z=-27………………(5) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 60
  • Observa que esta nueva ecuación no incluye a la variable x Ahora tendremos el sistema : x+y+2z=9………(1) 2y-7z=-17………(4) 3y-11z=-27…….(5) El sistema va adquiriendo lo que se llama forme triangular. Termina de triangular el sistema, considera la ecuación (4) y la ecuación (5) y elimina la variable para encontrar el valor de z. Con las ecuaciones (1),(4) y el valor de z obtendremos un sistema de forma triangular y que es equivalente al sistema con el que empezamos. x+y+2z=9………(1) 2y-7z=-17………(4) z=3………………..(6) Este ultimo sistema es más fácil de resolver que el sistema inicial, termina su solución en tu cuaderno. Podemos concluir que éstos tres planos se intersecan en el punto P(1,2,3) Realiza en tu cuaderno una gráficadeque ilustre la solución de unidad 1 Solucion de Sistemas Ecuaciones 61 manera intuitiva.
  • Sistema de ecuaciones lineales Problema 1.11 Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones y construyamos una gráfica que ilustre intuitivamente la manera de cómo se intersecan si es que se intersecan estos tres planos : Solución. Escribe en tu cuaderno, cuales son tus datos y que serian tus incógnitas. 3x+y+z=0………………….(1) -5x+5y+z=0……………….(2) x+2y+z=0…………………..(3) Multipliquemos por -5 a la ecuación (1) y sumemos con la ecuación (2) obtendremos la ecuación (4). unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 62
  • -5(3x+y+z=0) -15x-5y-5z=0 Sumando: -15x-5y-5z=0 -5x+5y+z=0 -20x-4z=0…………..(4) Si multiplicamos por -2 a la ecuación (1) y sumamos con la ecuación (3) obtendremos la ecuación (5). -6x-2y-2z=0 x+2y+z=0 -5x-z=0………………..(5) Multipliquemos por -4 a la ecuación (5) y sumemos con la ecuación (4) Realiza la suma algebraica de (5) con (4). 20x+4z=0 -20x-4z=0 unidad 1 0=0 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 63
  • Como resultado es una igualdad podemos concluir que sistema tiene una infinidad de soluciones, a continuación se ilustra de una manera intuitiva esta solución, es decir cuando los tres planos se intersecan en una línea recta y el sistema tiene un sinfín de soluciones. Resuelve por equipo y en tu cuaderno el siguiente sistema de ecuaciones, ilustra en forma intuitiva con una figura la solución del problema, verifica la solución. x-3y+2z=6 4x-2y+3x=14 2x+4y-z=2 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 64
  • SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SIN SOLUCION Problema 1.12 Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones. x+y-z=4………………(1) x-y-z=2……………….(2) 3x-y-3z=-4…………..(3) Suma la ecuación (1) y (2) Debes obtener la ecuación: 2x-2z=6…………(4) A continuación suma (1) y (3) Debes obtener la ecuación: 4x-4z=0…………..(5) Ahora resuelve el sistema: 2x-2z=6 4x-4z=0 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 65
  • Simplificando cada una de las ecuaciones nos debe quedar el sistema: x-z=3 x-z=0 Si resuelves éste sistema, vas a llegar a una contradicción 0=3, es cuando los planos pueden ser paralelos, a continuación ilustraremos este resultado con una gráfica que nos ilustra de una manera intuitiva esta solución del sistema. Unidad 1 unidad 1 Solución de sistemas de ecuaciones de Sistemas de Ecuaciones Solucion 66
  • Unidad 1 unidad 1 Solución de sistemas de ecuaciones Solucion de Sistemas de Ecuaciones 67
  • 2) La suma de edades de Mari, Leon y Lulu es 53. Lulu es igual a 5 años mas joven que león y, dentro de 2 años, mari tendrá la misma edad que león tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada uno? Solución Mary 18, Leon 20 y lulu 15 3) El angula mas pequeño de un triangulo mide la tercera parte del angula mediano, y el angulo mas grande es 30 grados mayor que el angulo mediano. Encontrar la medida de cada angulo. Solución X=21.43, y=64.29, z=94.29 4) El numero total de butacas en un estadio deportivo de baloncesto es 12000. El estadio esta divido en tres secciones: lunetas, palcos de platea y galerías, hay dos veces mas butacas de galería que butacas de luneta. Para el juego de campeonato, los precios de los boletos eran de 10.00 dolares para luneta, 8.00 dolares para galería y 7 .00 dolares para platea. Sihubo un lleno total para ese juego y la recaudación en taquilla fue de 99000 dolares ¿Cuántas butacas eran de luneta, palcos y galerias? unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 68
  • Solución Lunetas=3000 Palcos=3000 Galerías 6000 5) resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y construye una grafica que ilustre la solución del problema de forma intuitiva. x-2y+3z=4 y-2z=-1 4z=8 Transformar los siguientes sistemas de ecuaciones a un sistema en forma triangular y resuelve los sistemas de ecuaciones, respectivamente: 6) x+y+z=5 3x+2y+z=8 2x+3y+3z=14 Sol. x=1, y=1, z=3 7) 2x+2y+3z=24 4x+5y+2z=35 3x+2y+z=19 Sol. x=3, y=3, z=4 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 69
  • ► 8) las compañías de oriente, este y oeste que se dedican a distribuir muebles, contratan la fabricación de muebles. A la primera le fabrican2 mesas, 3 vitrinas y 4 salas, cobrándoles $20,000.00. A la segunda le fabrican 3 mesas, 4 vitrinas y 2 salas, cobrándole $ 17,000.00. A la tercera le fabrican 3 mesas, 2 vitrinas y 3 salas, cobrándole $16,000.00. construye el sistema de 3 ecuaciones con tres incognitas, representativo del problema. 9) 2x-y-z=1 2x-3y-4z=0 x+y-z=4 sol. x=1,y=2, z=-1 10) x+y+z=-6 2x+y-z=-1 x-2y+3z=-6 sol. x=-1, y=-2, z=-3 11) x+y-z=7 4x-y+5z=4 6x+y+3z=20 sol. No existe soluciones unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 70
  • 12) x+4y+5z=11 3x-2y+z=5 4x+y-3z=-26 sol. x=-2, y=-3, z=5 13) x-3y+2z=6 4x-2y+3z=14 2x+4y-z=2 sol. x=infinidad de soluciones 14) 2x+3y+4z=3 2x+6y+8z=5 4x+9y-4z=4 sol. x=1/2, y=1/3, z=1/4 15) x+y+z=3 -x+2y-z=0 3x-y+2z=2 sol. x=-1, y=1, z=3 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 71
  • Sistema de ecuaciones no lineales APRENDIZAJES: El alumno: • En el caso de Sistemas 2x2, ya sea que ambas ecuaciones sean lineales o incluyan cuadráticas, explicara a partir de una grafica, que significa que el sistema tenga una, ninguna o infinidad de soluciones. • Aplicara el método de tabulación o de sustitución para resolver problemas de dos ecuaciones en las que una de ellas o ambas son cuadráticas. Temática: A) Con una ecuación lineal y otra cuadrática. B) Con ambas ecuaciones cuadráticas. C) El significado grafico de su solución. D) Método de sustitución. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 72
  • Un sistema de ecuaciones no lineales se conforma por lo menos por dos ecuaciones, en las que alguna de ellas contiene una incógnita elevada a una potencia mayor o igual a dos. A continuación se ilustra una interpretación grafica de los sistemas no lineales ya que las graficas de las ecuaciones proporcionan información útil acerca de las soluciones. En general las graficas de una cónica (circunferencia, parábola, elipse, e hipérbola) y una recta, pueden relacionarse con una de tres formas diferentes, como se muestra en una de estas figuras. Sin puntos de Un punto de intersección Dos puntos de intersección intersección Una solución real Dos soluciones reales Sin soluciones reales unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 73
  • CON UNA ECUACION LINEAL Y UNA CUADRATICA. Problema 1.13 A continuación encontramos los puntos de intersección ( en caso de haberlos) entre el lugar geométrico representado por la parábola (1) y el lugar geométrico representado por la recta (2). y=x2 (1) y=x+100 (2) Antes de graficar, mediante el método de la tabulación la parabolo y la recta, observa si se cortan o no, resolvamos el sistema de ecuaciones representado por las ecuaciones (1) y (2) con el fin de encontrar los posibles puntos de intersección. Así, igualando las ecuaciones (1) y (2). unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 74
  • x2 =x+100 Igualemos con cero la ecuación obtendremos la ecuación (3). x2-x-100=0 (3) La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática, y la resolvemos con la ecuación general: a=1 − ± b −4a b 2 c b=-1 x= 2a c=-100 − ( − 1) ± ( − 1) 2 − 4(1)( − 100) x= 2(1) 1 ± 1 + 400 x= 2 1 ± 401 x= 2 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 75
  • En virtud de que la raíz cuadrada de 401 no es exacta, tenemos los siguientes valores aproximados: 1 ± 0 .0 4 2 29 x= 2 De aquí la raíz positiva (denotada por x1 ) es : 1 + 0 .0 4 2 29 x1 = 2 2 .0 4 1 29 x1 = 2 De manera semejante, la raíz = 0 .5 2 (denotada x1 negativa 1 14 por x2 ) es : 1 −0 .0 4 2 29 x2 = 2 − .0 4 19 29 x2 = Para encontrar lo valores correspondientes a y1 e y2 hay 2 que sustituir los valores x1 yx2 respectivamente.en4la ecuación (1): x2 = 9 5 2 − 1 Si x1=10.5124 y1=(10.5124)2 y1=110.5124 Si x2=-19.5124 y2=(-19.5124)2 y2=90.4857 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 76
  • De aquí obtenemos que los puntos de intersección entre la parábola y = x² y la recta y = x + 100, aproximando los resultados hasta centésimas, son: P1(x1, y1)=(10.51, 110.51) P2(x2, y2)=(-9.51, 90.4857) Para corroborar estos resultados, grafica en tu cuaderno cada uno de estos lugares geométricos. CUANDO DOS LUGARES GEOMETRICOS SE INTERSECTAN Puede presentarse el caso de que una parábola y y una recta no se intercepten en ningún punto, pero ¿como nos percataríamos de este hecho aun sin hacer las graficas correspondientes? ¿Será posible detectar esto analíticamente? Veámoslo. Consideremos la parábola (1) y la recta (2). unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 77
  • y=x2 (1) y=-x-5 (2) Igualemos la ecuación (1) con la (2) x2=-x-5 Igualemos a cero la igualdad: x2+x+5=0 (3) La ecuación (3) representa una ecuación cuadrática cuya solución general, como ya vimos, esta expresada por la ecuación: (4) − ± b 2 −4a b c x= 2a Identificando los coeficientes con la ecuación cuadrática (3) y sustituyéndolos en (4) se tiene que: a=1 b=1 c=5 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 78
  • −(1) ± (1)2 −4(1)(5) x= 2(1) x= − ± 1 (1)2 −20 2 − ± −9 1 1 x= 2 En la ecuación (4) notamos la presencia de la raíz cuadrada de -19 y como sabemos que las raíces cuadradas de números negativos no existen en el campo de los números reales, concluimos que tanto la parábola como la recta considerada no se corta, como se observa en la fig. Esta conclusión puede fortalecerse si graficamos los correspondientes lugares geométricos: la parábola y = x² y la recta y = -x -5, realiza en tu cuaderno la tabulación , construye las graficas correspondientes y verifica tus resultados con la figura que se presenta a continuación. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 79
  • Problema de aplicación que nos conduce para la solución a un sistema de ecuaciones no lineal. Problema 1.14 Un pequeño empresario fabrica cajas para envolver regalos y tiene el suficiente costo total e ingreso total, donde x es el numero total de cajas que fabrica, el costo por producir x cajas es c. El el ingreso obtenido por las ventas de x cajas es i. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 80
  • X numero de cajas. Es decir el costo por producir x cajas es c. El ingreso por venta de x cajas es i. Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno: 1)Traza la grafica de ambas ecuaciones en el mismo sistema de ejes. 2)Encuentra los valores de “ equilibrio “ ( sin perdida ni ganancia” ) de x, esto es, el numero de cajas que deben ser vendidas por el costo igual al ingreso. 3)¿Cuantas cajas deben ser vendidas para obtener ganancias? Solución: La grafica del costo es la línea recta de la forma y =mx + b, y = x +15, podemos conocer el valor de la pendiente y ordenada al origen. m=_______, b=________ Calcula cuales son las intersecciones con los ejes de esta línea recta, debes encontrar: P1=(-15,0) P2=(0,15) La grafica de esta recta la puedes observar en la figura 1.23. unidad 1 Solución de Sistemas de Ecuaciones 81
  • La grafica del ingreso es una parábola de la forma y=ax2+bx+c i=x2+6 De esta ecuación puedes conocer su vértice calcúlalo en tu cuaderno. Debes encontrar V = (0,6) CON UNA ECUACION LINEAL Y OTRA CUADRATICA Problema 1.15 Encontramos los puntos de intersección de estos dos lugares geométricos, resolviendo el sistema de ecuaciones por el método de sustitución. x+y=8…………recta x2+y2=34…...circunferencia unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 82
  • A continuación se presenta cada uno de estos lugares geométricos mediante la siguiente grafica. Resolvamos el problema por el método de sustitución, para encontrar las coordenadas de los puntos en donde se intersecan estos dos lugares geométricos. x+y=8…………………….(1) x2+y2=34………………(2) Primero despejemos la incógnita “y” en (1), y sustituimos en (2). y=8-x x2+(8-x)2=34 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 83
  • Simplifica en tu cuaderno, debes de llegar ala ecuación: x² -8x +15 =0 Resolvamos la ecuación factorizando: x2-8x+15=0 x2-8x+15=0 (x-3)(x-5)=0 x1=3 x2=5 Encuentra los valores de y sustituyendo en la ecuación (1) estos valores de x, debes encontrar que: y1=5 y2=3 Finalmente enunciamos los puntos de intersecion encontrados de estos dos lugares geométricos (circunferencia o recta) los cuales pueden corroborar en una grafica que a continuación puedes construir. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 84
  • P(x1, x2)=(3,5) Q=(y1, y2)=(5,3) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 85
  • CON DOS ECUACIONES CUADRATICAS. Problema 1.16 Encontremos los puntos de intersección de estos dos lugares geométricos, resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 86
  • Resolvamos el problema utilizando el método de sustitución, para encontrar la intersección de estos dos lugares. y=x2………..(1) y=4-x2……..(2) Sustituyamos la ecuación (1) en la (2). x2=4-x2 Resuelve la ecuación, debes encontrar: x1=√2=1.41 x2=-√2=-1.41 Encuentra los valores de y, debes encontrar: y1=(1.41)2=2 y2=(-1.41)2=2 Finalmente enuncia estos puntos de intersección con las letras P, Q de estos dos lugares geométricos.------------------ Verifica en tu cuaderno que la solución sea correcta, asi como en la grafica. unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 87
  • UNA CUADRATICA Y UNA LINEAL Problema 1.17 ► Encontremos los puntos de intersección de los lugares geométricos que a continuación se exponen : y=x2……..parábola y=x………recta Representaremos estos dos lugares mediante una grafica : Resolvamos el problema por el método de sustitución: y=x2…….(1) y=x………(2) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 88
  • Sustituye la ecuación (1) en la (2) resuelve la ecuación en tu cuaderno. x1=---------------- X2=---------------- Encuentra los dos valores de y Debes encontrar: y1=1 y2=0 Finalmente enunciamos los puntos en donde se intersecan los dos lugares geométricos, como se ilustra en la grafica: Q=(x1,y1)=(1,1) O=(x2, y2)=(0,0) Verifica en tu cuaderno que la solución sea la correcta. Para dos cuadráticas Problema 1.18 Encuentra las intersecciones de estos dos lugares geométricos: unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 89
  • Resuelve el sistema de ecuaciones y=x2-2x…………….(1) y=4-x2……………...(2) Debes llegar a las soluciones x1=-1 x2=2 Encuentra los valores de y. Considerando la ecuación (2) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 90
  • Resuelve por equipos el siguiente problema. Problema 1.20 Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones de estos dos lugares geométricos, identifica el tipo de curvas que intersecan construyendo sus graficas respectivas y verifica la solución: x2+y2=10 x+y=2 Construye sus graficas respectivas en tu cuaderno. Solución: x2+y2=10…………..(1) x+y=2…………………(2) Por sustitución debes llegar a la ecuación: Resuelve la ecuación utilizando la formula general Recuérdala: − ± b 2 −4a b c x= Debes encontrar los valores: x1a 2 =3, x2=-1 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 91
  • Sustituye estos valores en la ecuación (2) para encontrar los valores de “y” Debes encontrar los valores: y1=1, y2=3 Finalmente enunciamos estos puntos de intersección de estos dos lugares geométricos: P1=(3,-1), P2=(-1,3) Verifica si las soluciones son correctas en la construcción que se realizo al iniciar el problema así como en el sistema plateado. Problemas: Grafica uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y encuentra los puntos de intersección de estos lugares geométricos si es que existen, verifica que tus soluciones sean correctas. Se recomienda que estos problemas se resuelvan por equipos. 1) y=x2 y=3x sol.(0,0), (3,9) 2) y=2x y=x2+2 sol. No hay solución unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 92
  • 3)x-3=0 x2+y2-25=0 sol.(3,4), (3,-4) 4)x2-y-2=0 y=x+4 sol.(3,7), (-2,-2) 5)x=y y=-8x2 sol.(0,0), (-1/8,-1/8) 6)x=y x2+y2=32 sol. (4,4), (-4,-4) 7)x=5-y2 x2+y2=25 sol.(5,0), (-4,3), (-4,-3) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 93
  • Examen de evaluación de la unidad 1 Resuelve los siguientes problemas 1) La semana pasada fui a un restaurante a comer, 5 hamburguesas y 5 ordenes de papas costaron $150, compre 10 hamburguesas y 20 ordenes de papas por $400. encuentra el costo de una hamburguesa y una orden de papas. Solución: Precio de hamburguesa $20 Precio de la orden de papas $10 2) Un lápiz y dos cuadernos cuestan $11, mientras que 5 cuadernos y tres lápices cuestan $29. ¿Cuál es el costo de un cuaderno y de un lápiz? Solución: Costo del cuaderno $4 Costo del lápiz $3 unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 94
  • 3) La suma de tres números es 4. el primero, mas desveces el segundo, mas el tercero, es 1. tres veces el primero, mas el segundo, menos el tercero, es -2 ¿Cuáles son los tres números? Solución: (2,-3,5) 4) La suma de las edades de Juana, Pedro y Ana es 53. Ana es 5 años mas joven que Pedro, dentro de dos años Juana tendrá la misma edad que Pedro tiene ahora ¿Cuál es la edad de cada una? Solución: Juana tiene 18 años Pedro tiene 20 Ana tiene 15 Resuelve los sistemas de ecuaciones y realiza una grafica para cada uno, en la que se ilustre la forma intuitiva de solución del sistema (si se intersecan los planos o no y como) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 95
  • 5) x+y+z=6 x-z=-2    y+3z=11  6) x+5y-z=2     4x-y+3z=3     8x-2y+6z=7  7) 3x+2y-4z=1 2x-y-5z=1 x+4y+2z=7 Elabora la grafica de cada uno de los siguientes sistemas y encuentra su solución  8)y=x²     y=4x                                 Solución :(0,0),(4,16) 9)y-x²=-9     y-3x=-1                         Solución :(5,16),(-2,-7) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 96
  • 10) x²+y²=25      -x+7y=25                     Solución :(3,4),(-4,3)  11) x²+y²=8        x²+y=6             Solución :(√7,-1)(-√7,- 1)                                                      (2,2)(-2.2) unidad 1 Solucion de Sistemas de Ecuaciones 97