6.b. curvas cónicas; elipse, hipérbola y parábola.

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6.b. curvas cónicas; elipse, hipérbola y parábola.

  1. 1. Tema 6.b CURVAS CÓNICAS . 1. CURVAS GEOMÉTRICAS. 2. CURVAS TÉCNICAS. 3. CURVAS CÓNICAS. 3.1. CIRCUNFERENCIA. 3.2. ELIPSE. 3.3. HIPÉRBOLA. 3.4. PARÁBOLA. 4. ELIPSE. 5. HIPÉRBOLA. 6. PARÁBOLA. CURVAS CÓNICAS .3. EL CONO DE REVOLUCIÓN Y LAS CURVAS CÓNICAS. http://www.youtube.com/watch?v=FYFMJBAIuH4&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=wBp1OiVt-Go Un cono de revolución es un cuerpo geométrico que puede considerarse engendrado por una línea recta denominada generatriz, que se mueve pasando por un punto (centre de generatriz o vértice del cono), alrededor de un eje y con una dirección circular denominada directriz. Las curvas cónicas se obtienen al seccionar un cono de revolución por un plano. Según la posición del plano respecto al cono obtenemos las diferentes curvas. A excepción de la circunferencia, se construyen por medio de puntos que configuran la curva y que posteriormente hay que unirlos, bien a mano o utilizando una plantilla de curvas. 3.1. CURVAS CÓNICAS: 3.1.1. CIRCUNFERENCIA. Se genera cuando el plano secante (o plano sección) es perpendicular al eje del cono. Corta a todas las generatrices de éste a la misma distancia del vértice. 3.1.2. ELIPSE. Cuando el plano de sección es oblicuo con respecto al eje, formando un ángulo mayor del que forman las generatrices, por lo que corta a todas ellas. 3.1.3. HIPÉRBOLA Cuando el plano sección es paralelo u oblicuo al eje, pero formando un ángulo menor del que forman las generatrices. Resulta una curva abierta de dos ramas, denominada hipérbola. 3.1.4. PARÁBOLA. Si el plano de sección es oblicuo al eje y paralelo a una generatriz. La curva que resulta es abierta y con un punto en el infinito.
  2. 2. 3.1. ELEMENTOS DE LAS CURVAS CÓNICAS.Son los elementos importantes necesarios para su construcción. Vértices: son los puntos extremos de los ejes de la curva. Ejes: Son los ejes de simetría de la curva. La parábola tiene uno, pero la elipse y la hipérbola tienen dos, perpendiculares entre sí. Al mayor se le denomina a y al menor b. Centro: Es el punto donde se cortan los ejes de simetría, y por lo tanto, el centro de la curva. Focos: Son los puntos de contacto de las esferas inscritas en el cono con el plano secante que genera las secciones cónicas, y están situadas en el eje de simetría. La elipse y la hipérbola tienen dos focos, y la parábola tiene sólo uno. Radios vectores: Son las rectas que unen cualquier punto de la curva con los focos (o el foco en la parábola). Directrices: Son las rectas de intersección que realiza el plano secante con los planos que contienen a las circunferencias tangentes de las esferas del cono. Circunferencia principal: Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las rectas tangentes a la cónica. El centro de esta circunferencia es el centro de la elipse o de la hipérbola, y el radio es igual a la mitad de su eje mayor. En la parábola, el radio es infinito. Circunferencia focal: Es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las rectas tangentes a la cónica. El centro de estas circunferencias son los focos, y en la elipse y la hipérbola, los radios la longitud del eje mayor, en la parábola, el radio es infinito.
  3. 3. 4. ELIPSE. http://www.educared.org/wikiEducared/Elipse.html Es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos, llamados focos (F1 y F2) es constante e igual al eje mayor (2a). http://www.youtube.com/watch?v=FW5zsN- QztYhttp://www.youtube.com/watch?v=81NbgFpAfOU&feature=related PF1 + PF2 = 2a 4.1. ELEMENTOS DE LA ELIPSE. http://www.youtube.com/watch?v=-Oq_4w51Jag&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=rPJophokZXg&feature=related  Ejes: Tiene dos ejes perpendiculares entre sí y que se cortan en O. Se llaman eje mayor o real AB y eje menor o virtual CD. A la distancia OA o semieje mayor se le llama a y a la distancia OC o semieje menor b, por lo que el eje mayor mide 2a y el menor 2b.  Focos: Están situados en el eje real y se hallan haciendo centro en uno de los extremos del eje menor, C o D y de radio el semieje mayor a, de tal manera que se forma un triángulo rectángulo, y por lo tanto, se cumple Pitágoras, lo que permite determinar un parámetro si se conocen cualquiera de los otros dos. a2 =b2 +c2  La distancia focal es la distancia entre los dos focos 2c. la distancia de cada foco al centro de la curva será c.  La circunferencia principal se determina haciendo centro en O, centro de la elipse, y radio el semieje mayor 2a.  La elipse tiene dos circunferencias focales, cada una con centro en un foco y radio el eje mayor. 4.2. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE. http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php 4.2.1. SACAR UN PARÁMETRO A PARTIR DE LOS OTROS DOS Importante 4.2.1.1. SACAR EJE MAYOR CONOCIENDO 2b Y 2c. http://trazoide.com/elipse_948.htm 4.2.1.2. SACAR LA DISTANCIA FOCAL DADOS 2a Y 2b. http://trazoide.com/elipse_947.htm 4.2.1.3. DETERMINAR EL EJE MENOR DADOS 2a Y 2c. http://trazoide.com/elipse_946.htm 4.2.2. CONOCIENDO LOS DOS EJES. (O sacándolos por los métodos anteriores). 4.2.2.1. POR PUNTOS. Importante http://www.youtube.com/watch?v=jGYoxh84pWw 4.2.2.2. POR HACES PROYECTIVOS. Ver 4.2. 4.2.2.3. POR AFINIDAD CON DOS CIRCUNFERENCIAS. http://trazoide.com/elipse_952.htm 4.2.3. CONOCIENDO LOS DIÁMETROS CONJUGADOS. http://trazoide.com/elipse_950.htm 4.2.4. CONSTRUCCIÓN DE LOS EJES A PARTIR E DOS DIÁMETROS CONJUGADOS. http://www.youtube.com/watch?v=b8FikaDZu5w&feature=results_main&playnext=1&list=PLC61DB776B29A32E4 4.3. RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE. 4.3.1. TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR. http://www.youtube.com/watch?v=G9L4eVQ1k7Y 4.4. PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA ELIPSE. Repasar potencia. http://www.youtube.com/watch?v=wmIaa5aEYAI
  4. 4. 5. HIPÉRBOLA. Es una curva plana y abierta, lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante e igual a 2a, es decir, a la distancia entre los vértices. http://www.youtube.com/watch?v=yBTdSYYUHow PF1 – PF2 = 2a La hipérbola consta de dos ramas simétricas respecto de los dos ejes. 5.1. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA.  Ejes: Tiene dos ejes perpendiculares entre sí y que se cortan en O. Se llaman eje mayor o real AB y eje menor, virtual o imaginario CD. Igual que en la elipse, a la distancia OA o semieje real se le llama a y a sus extremos, vértices y a la distancia OC o semieje virtual b, por lo que el eje mayor mide 2a y el menor 2b.  Focos: Están situados en el eje real. Se hallan haciendo centro en O y radio igual a AC, de tal manera que se forma un triángulo rectángulo, y por lo tanto, se cumple Pitágoras. Esto permite sacar uno de los parámetros a partir de los otros dos. o c2 =a2 +b2  La distancia focal es la distancia entre los dos focos 2c. la distancia de cada foco al centro de la curva será c.  La circunferencia principal se determina haciendo centro en O, centro de la hipérbola, y radio el semieje real 2a.  La hipérbola tiene dos circunferencias focales, cada una con centro en un foco y radio el eje real.  Las asíntotas son las tangentes a la hipérbola en el infinito. Pasan por el centro de la curva y son simétricas respecto a los ejes. Se determinan trazando la circunferencia principal con centro en O. Se dibujan rectas tangentes desde un foco a dicha circunferencia, determinando así los puntos de tangencia, que al unirse con O producen las asíntotas. 5.2. CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA. 5.2.1. SACAR UN PARÁMETRO A PARTIR DE LOS OTROS DOS Importante 5.2.1.1. SACAR EJE MAYOR CONOCIENDO 2b Y 2c. http://trazoide.com/hiperbola_992.htm 5.2.1.2. DETERMINAR EL EJE MENOR DADOS 2a Y 2c. http://trazoide.com/hiperbola_978.htm 5.2.1.3. SACAR LA DISTANCIA FOCAL DADOS 2a Y 2b. Se deduce como los anteriores. 5.2.2. HIPÉRBOLA CONOCIENDO LOS DOS EJES. (O sacándolos por los métodos anteriores). 5.2.2.1. Por puntos: http://www.youtube.com/watch?v=8P2ejtZLQlE Importante 5.3. INTERSECCIONES DE UNA RECTA CON UNA HIPÉRBOLA. http://trazoide.com/hiperbola_989.htm
  5. 5. 6. PARÁBOLA. La parábola es una curva abierta, lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de uno fijo llamado foco y de una recta denominada directriz. PF = Pd 6.1. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA. 6.1.1. Ejes: Tiene sólo un eje de simetría, perpendicular a la directriz, y que contiene el vértice y el foco. 6.1.2. Radios vectores: Al tener un solo foco, son las rectas que unen cualquier punto con el foco o con la directriz perpendicularmente. 6.1.3. La circunferencia principal tiene un radio infinito y es tangente a la parábola en su vértice. 6.1.4. La circunferencia focal también tiene radio infinito y se convierte en la directriz. 6.1.5. Parámetro: Es la longitud de la cuerda de la parábola, perpendicular al eje, que pasa por el foco. 6.1.6. Semiparámetro: Es la distancia desde el foco hasta la directriz. 6.2. CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA. 6.2.1. PARÁBOLA CONOCIENDO LA DIRECTRIZ Y EL FOCO. POR PUNTOS: Importante http://www.youtube.com/watch?v=KsGnbWdu8QU http://www.youtube.com/watch?v=HaY2Wwn3lJo&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=sqi6ckqtIro&feature=related

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