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  • 1. Tema 3.b TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS: HOM0TECIA Y SEMEJANZA. ESCALAS. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS: 1. ISOMÉTRICAS. 2. ISOMÓRFICAS. 2.1. HOMOTECIA. SEMEJANZA. ESCALAS. 3. ANAMÓRFICAS. TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS: HOMOTECIA.2. TRANSFORMACONES ISOMÓRFICAS: Son las que su figura transformada conserva sólo la forma de la figura de partida, los ángulos son iguales y las magnitudes proporcionales. Dentro de este tipo de transformaciones se encuentran: 2.1. HOMOTECIA. Es una transformación geométrica en la que a cada punto (A, B…)se le hace corresponder otro punto (A´, B´…) estando ambos alienados con un punto fijo O, llamado centro de homotecia, y verificándose que OA´/OA = K, siendo K una constante llamada razón de la homotecia. En toda homotecia se verifica que:  Ésta queda determinada por el centro de homotecia y dos puntos nomotéticos, el centro de homotecia y la razón de homotecia, o dos figuras nomotéticas.  La razón entre dos segmentos nomotéticos es siempre constante e igual a la razón de homotecia.  Las rectas homólogas son paralelas si no pasan por el centro de homotecia. Sin embargo, aquellas que sí pasan se transforman en sí mismas, es decir, son rectas dobles.  Los ángulos de una figura transformada no varían, sin embargo, las magnitudes lineales varían en una proporción igual a la razón de homotecia. 2.1.1. HOMOTECIA DIRECTA. Cuando los dos puntos homotéticos están situados a un mismo lado del centro de homotecia. Esto implica que la razón de una homotecia (k) es positiva. http://www.youtube.com/watch?v=DLXmtkmk1MI&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=8czn7wkXJEQ&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=7D- ThiPX9XA&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=vcleMTZ5NP8&feature=related http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=2657&start=0 2.1.2. HOMOTECIA INVERSA. Cuando los dos puntos homotéticos están situados cada uno a un lado del centro de homotecia. Esto implica que la razón de una homotecia (k) es negativa. http://www.youtube.com/watch?v=TO1TpRH7Qjw&feature=related http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=jOViYuV1cp0
  • 2. 2.1.3. Otros aspectos a tener en cuenta: 2.1.3.1. HOMOTECIA RESPECTO A DOS CENTROS. Si se toman dos segmentos paralelos, serán homotéticos respecto a dos centros en una homotecia directa y otra inversa. Ver fotocopias. 2.1.3.2. CENTRO DE HOMOTECIA DE DOS CIRCUNFERENCIAS. Dos circunferencias son siempre homotéticas respecto de dos centros, en una homotecia directa y otra inversa. Para hallar los centros de homotecia se trazan dos radios paralelos y se unen sus extremos mediante rectas. La razón de homotecia viene determinada por el cociente entre los dos radios. Ver fotocopias.2.1.4. Ejercicios aplicando homotecia: 2.1.4.1. Encontrar el centro y la razón de homotecia conociendo dos figuras homotéticas. http://www.youtube.com/watch?v=75n2BKVO8p4&feature=related 2.1.4.2. Dibujar la recta que pasa por un punto dado y concurre con otras dos rectas. http://trazoide.com/homotecia_999.htm 2.1.4.3. Dibujar dos circunferencias que cumplan unas condiciones especiales con respecto a un triángulo. http://trazoide.com/homotecia_998.htm 2.1.4.4. Homotecia de un cuadrado conociendo el centro de homotecia y sabiendo que el cuadrado transformado tendrá un área cuatro veces superior al original. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?p=6057#p6057 2.1.4.5. Triángulo escaleno conocido el perímetro y la relación entre sus lados. http://trazoide.com/homotecia_988.htm 2.1.4.6. Triángulo rectángulo conocidos un ángulo y la diferencia entre la hipotenusa y el lado opuesto. http://trazoide.com/homotecia_986.htm 2.1.4.7. Triángulo isósceles conocida el radio de la circunferencia circunscrita y la relación entre sus lados. http://trazoide.com/homotecia_992.htm 2.1.4.8. Pentágono regular conocida la altura. http://trazoide.com/homotecia_993.htm 2.1.4.9. Pentágono conocida la diferencia de la diagonal y el lado. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=8&t=1872&start=0 2.1.4.10. Hexágono regular conocida distancia entre sus lados paralelos. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=4&t=3416&start=0
  • 3. SEMEJANZA.SEMEJANZA. Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales.Los elementos que se corresponden entre sí se denominan homólogos.http://www.youtube.com/watch?v=IYuXef4SNgU&feature=relatedSemejanza en triángulos: http://www.youtube.com/watch?v=sU3_x5yrXhs&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=V7Aqbd5BmSI&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=al16Q0mAAUg&feature=relatedLa razón de semejanza es la relación de proporcionalidad entre los segmentos homólogos, de tal modo que:  Si k > 1 la figura resultante será mayor que la original.  Si k = 1 la figura es igual que la original.  Si k < 1 la figura semejante es menor que la original. 2.1.1. CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS SEMEJANTES. La semejanza en sí no es una transformación, pero se puede conseguir aplicando homotecia o por otros métodos: 2.1.1.1. POR HOMOTECIA O RADIACIÓN 2.1.1.1.1. De razón positiva. Ya está visto en el inicio del documento. http://www.youtube.com/watch?v=DLXmtkmk1MI&feature=related 2.1.1.1.2. De razón negativa. Ya está visto. http://www.youtube.com/watch?v=DLXmtkmk1MI&feature=related 2.1.1.2. POR EL SISTEMA DE CUADRÍCULA. Ver fotocopia. Se utiliza mucho para artístico, pero menos en geometría.
  • 4. ESCALAS.ESCALAS. Muy importanteLas escalas pueden considerarse como la aplicación práctica de la semejanza. La escala es la relación que existeentre las dimensiones de un dibujo de un objeto y las dimensiones reales del objeto. Se representa por uncociente donde el numerador representa la medida del dibujo y el denominador la medida de la realidad. Puedeexpresarse en forma de proporción (e: 2:3), en forma de fracción (e: 2/3), en forma decimal (e: 0´66) o enforma gráfica. Escala = medida del dibujo/medida de la realidad.http://www.youtube.com/watch?v=3cYVp23LdfQ http://www.youtube.com/watch?v=qgqYoAGHEyQhttp://www.youtube.com/watch?v=Y0dRentvFn8&feature=related  Tipos de escalas: o Natural (E=1:1): el dibujo y el objeto tienen las mismas medidas. o De reducción: reducen el objeto al dibujarlo. El numerador es menor que el denominador. o De ampliación: el objeto es menor que su representación dibujada. El numerador es mayor que el denominador. Escalas más usuales: 1:1, 1:2, 1:5 y todas aquellas que se deducen de las anteriores añadiendo ceros (1:10, 1:500, 1:2000…). En escalas de ampliación 2:1, 5:1 y 10:1.ESCALA GRÁFICA O ESCALA VOLANTE. Muy importanteConsiste en la construcción de una regla reducida o ampliada, de tal forma que las magnitudes del objeto realsean tomadas con la regla natural, pero dibujadas en el papel con la regla volante que nos hayamos fabricado.Lleva contraescala para apreciar subdivisiones de la unidad (normalmente diez). Ver fotocopia.http://trazoide.com/adjuntos/escala.pdf http://trazoide.com/escalas_998.htmComo utilizar la escala: (en el ejemplo no se utiliza la contraescala, lo que dificulta la toma de medidas.)http://www.youtube.com/watch?v=pMS9B4ruqzU&feature=relatedESCALA TRANSVERSAL.Se diferencia de la anterior en que permite ajustar hasta centésimas de unidad. Ver fotocopia.http://www.youtube.com/watch?v=S0KMMnJi96Ahttp://www.gratislibros.com.ar/textos/dibujo-lineal-caracteristicas-formas-general-escalas-transversal-grafica/dibujo-lineal-caracteristicas-formas-general-escalas-transversal-grafica.htmlTRIÁNGULO DE ESCALAS.En una misma construcción se puede representar varias escalas. Ver fotocopia.
  • 5. EL ESCALÍMETRO. Es un instrumento de dibujo técnico utilizado para dibujar objetos en escala. Vienen yadibujadas nueve tipos de escala, con lo que nos evita tener que trazarlas por cualquiera de los procedimientosanteriores. Permite ajustar décimas. http://www.youtube.com/watch?v=9jqgwlebyGwADECUAR LA ESCALA AL TAMAÑO DEL PAPEL. http://trazoide.com/forum/viewtopic.php?f=14&t=387&p=1247#p1233USAR LA ESCALA A PARTIR DE UN DIBUJO, ACOTADO O NO. http://trazoide.com/escalas_999.htm

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