Matematica cn 2010_sexta feira

2,524 views
2,335 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,524
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
32
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matematica cn 2010_sexta feira

  1. 1. SISTEMA ELITE DE ENSINOPROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 2010(PROVA AMARELA)GABARITO COMENTADO ELABORADO PELO PROFESSORES:ÁLVAROGANDHIHAROLDOMADEIRAROBERTOQUESTÃO 1 – RESPOSTA: eNum quadrado ABCD de lado 6 cm, traça-se a circunferência K de centro em A e raio 4 cm.Qual é medida, em cm, do raio da circunferência tangente exterior a K e tangente ao lado BC noponto C?a) 2,4b) 2,5c) 2,6d) 2,7e) 2,8RESOLUÇÃO:   2 22 2 26 r 6 r 4 36 12r r 36 r 8r 1620r 56 r 2,8             
  2. 2. QUESTÃO 2 – RESPOSTA: cA área de um quadrado de 5 cm de lado, na unidade u definida como sendo a área de um círculode raio 1 cm, é:a) exatamente 25.b) exatamente 12,5c) aproximadamente 8.d) aproximadamente 6.e) aproximadamente 5.RESOLUÇÃO:2 2 2 2 1u π 1 cm π cm 1cm uπ    2 2 2 1 25S 5 cm 25 cm 25 u u 8uπ π     QUESTÃO 3 – RESPOSTA eSabe-se que: o número natural K dividido pelo número natural A dá quociente 56 e resto zero; Kdividido pelo número natural B dá quociente 21 e resto zero; e os algarismos de A são osmesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dosalgarismos de K é igual a:a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9RESOLUÇÃO:K 56A 21B  A xy 10x y   e  B yx 10y x     56 10x y 21 10y x 7x 2y    Como x e y são algarismos, então x 2 e y 7 . K 56 27 1512  A soma dos algarismos de K é 9.QUESTÃO 4 – ANULADASobre o sistema formado por 3x + 4y = 7 e 6x + 8x = 15, pode-se afirmar que é:a) indeterminado.b) determinado e 9x + 12y.c) determinado e x = y = 0d) determinado e x = – y  0.e) impossível.RESOLUÇÃO:
  3. 3. 3x 4y 7 15 53x e y6x 8x 15 14 56    Logo, o sistema é determinado, mas nenhuma das opções traz uma condição correta.A questão deve, portanto, ser anulada.Nota-se que houve um erro de digitação no enunciado que deveria ser3x 4y 76x 8y 15   e querepresenta um sistema impossível já que3 4 76 8 15  . Estivesse o enunciado correto, a opçãoseria letra e.QUESTÃO 5 – RESPOSTA: dUm funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70 kg ou de 45 kg, sendo umade cada vez. Quantas viagens com uma carga deverá fazer, no mínimo, para transportarexatamente uma tonelada dessa carga?a) 18b) 17c) 16d) 15e) 14RESOLUÇÃO:Sendo m o número de viagens com a carga de 70 kg e n o número de viagens com a carga de 45kg, temos:m 70 n 45 1000 14m 9n 200      Resolvendo a equação Diofantina:m 400 9t, tn 600 14t   . m 400 9t 0 t 44t 43,44n 600 14t 0 t 43          t 43 m n 15m n 200 5tt 44 m n 20           O número mínimo de viagens é 15.QUESTÃO 6 – RESPOSTA: aA menor raiz da equação ax2+ bx + c = 0, com abc  0, é a média geométrica entre “m” e amaior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre “n” e a menor raiz. Pode-se afirmar que “m+ n” é expresso por:a)323abc – ba cb)323abc ba c
  4. 4. c)323abc – bc ad)32abc bc ae)32abc – bc aRESOLUÇÃO:Sejam 1r e 2r , com 1 2r r , temos:211 22rr m r mr   222 11rr n r nr      332 2 3 31 2 1 2 1 21 2 1 22 1 1 2 1 23 33 2 2b c b3r r 3r r r rr r r r a a am ncr r r r r rab 3bc a 3abc bca a a c                               QUESTÃO 7 – RESPOSTA: aO combustível A é composto de uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina. Ocombustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamenteo tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivocolocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por:a) 5/3b) 3/5c) 2/5d) 5/2e) 3/2RESOLUÇÃO:Numa mistura de x litros de A e y litros de B, a quantidade de álcool é 0,2x y . Se o percentualde álcool nesse combustível é 50%, então0,2x y 1 x 1 50,4x 2y x y y 0,6xx y 2 y 0,6 3         QUESTÃO 8 – RESPOSTA: cSobre o lado maior de um retângulo de base 1 e altura 2 constrói-se um retângulo de base 2 ealtura 3; sobre o maior lado desse último, constrói-se um retângulo de base 3 e altura 4; e assimsucessivamente, até se construir o retângulo de base 99 e altura 100. Com quantos zeros terminao produto das áreas de cada um desses retângulos?
  5. 5. a) 39b) 40c) 46d) 78e) 80RESOLUÇÃO:        2100!P 1 2 2 3 3 4 99 100100         Como 100! termina em100 10020 4 245 25            zeros, então 2100!P100 termina em24 24 2 46   zeros.QUESTÃO 9 – RESPOSTA: eO conjunto solução de números reais, tal que o valor da expressão     15 108x 5 2x 13x 1é maior doque, ou igual a zero, é:a) 1 15; ;3 2       b) 1; 5;2        c) ;   d) 1 1; 5;3 2        e) 15;2       RESOLUÇÃO:    15 108x 5 2x 103x 1 No quociente acima, 5 é raiz de multiplicidade ímpar,12e13 são raízes de multiplicidade par, e13 não é um valor válido para x, pois anula o denominador. 1S 5;2     
  6. 6. QUESTÃO 10 – RESPOSTA: cEm um triângulo retângulo ABC, é a bissetriz interna relativa ao cateto maior AC e AH é a alturarelativa à hipotenusa BC. S e o ponto I é a intersecção entre BD e AH, pode-se afirmar quemed(BH)med(BH)é igual a:a) med(BC)med(AH)b) med(BC)med(AD)c) med(BC)med(CD)d) med(AD)med(AI)e) med(AD)med(IH)RESOLUÇÃO:1aSOLUÇÃO:Teorema das bissetrizes no ABHΔ :BH BAHI AIADIΔ é isósceles AI AD BH BAHI AD Teorema das bissetrizes no ABCΔ :AB BCAD CDBH BA BCHI AD CD  2aSOLUÇÃO:BH ABcotgIH ADθ  Lei dos senos no BCDΔ :  sen 90BC CD BC coscotgsen CD sen sensen 90θ θθθ θ θθ    BH BCcotgHI CDθ  
  7. 7. QUESTÃO 11 – RESPOSTA: ASendo A B Ch , h , e h as medidas das alturas; A B Cm ,m e m as medidas das medianas; e A B Cb ,b e bas medidas das bissetrizes internas de um triângulo ABC, analise as afirmativas a seguir.I – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ h , 1/ h e 1/ h é semelhante ao triângulo ABC.II – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ m , 1/ m e 1/ m é semelhante ao triângulo ABC.III – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ b , 1/ b e 1/ b é semelhante ao triângulo ABC.Pode-se concluir quea) apenas I é sempre verdadeira.b) apenas II é sempre verdadeira.c) apenas III é sempre verdadeira.d) I, II e III são sempre verdadeiras.e) I, II e III são sempre falsas.RESOLUÇÃO:I - VERDADEIRACA BA B Cc ha h b h a b cS 2S1 1 12 2 2h h h       II – FALSAObserve como contra-exemplo um triângulo retângulo isósceles de lados a 2 , b 2 e c 2 2 .As medianas são Am 5 , Bm 5 e Cm 2 .2 2 22 2 2A B C1 1 1 1 2 1 1 15 2m m m5 5 2                    Logo, o triângulo de ladosA1m,B1meC1mnão é retângulo e, consequentemente, não ésemelhante ao triângulo original.III – FALSAObserve como contra-exemplo um triângulo retângulo isósceles de lados a 2 , b 2 e c 2 2 .As bissetrizes são Ab 2 4 2 2  , Bb 2 4 2 2  e Cb 2 . 2 2 22 2 2A B C1 1 1 1 1 1 1 12b b b24 2 22 4 2 2 2 4 2 2                         Logo, o triângulo de ladosA1b,B1beC1bnão é retângulo e, consequentemente, não ésemelhante ao triângulo original.QUESTÃO 12 – RESPOSTA: cQuantos são os números inteiros com os quais é possível, no conjunto dos reais, calcular o valornumérico da expressão algébrica 2103x– x – 300 ?
  8. 8. a) 100b) 99c) 98d) 97e) 96RESOLUÇÃO:             2 2103x– x – 300 – x 103x – 300 0 x 100 x 3 0 3 x 100A quantidade de valores interiros de x é 100 3 1 98  QUESTÃO 13 – RESPOSTA: eO número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração o número dado éescrito com três algarismos?a) 1b) 3c) 5d) 7e) 9RESOLUÇÃO:Se o número 198 é escrito com 3 algarismos na base b, então  2 3b 198 b .         2*3b 198 b 14b b 6,7,8, ,14b 198 b 6A quantidade de bases de numeração é   14 6 1 9 .QUESTÃO 14 – RESPOSTA: cOs números4x2 xe2 x4xsão inteiros e positivos, com  x – 0;2 . Nessas condições, pode-seconcluir que:a) x 0
  9. 9. b) 0 x 1/ 3 c) 1/ 3 x 1/ 2 d) 1/ 2 x 2 / 3 e) 2 / 3 x 1 RESOLUÇÃO:Se um número e seu inverso são inteiros e positivos, então ambos são iguais a 1.         4x 2 1 11 4x 2 x x 0,4 x2–x 5 3 2Note que x não poderia assumir os valores 0 ou 2.QUESTÃO 15 – RESPOSTA: eDado o número     40402009 –1 – 2010 , analise as afirmativas a seguir.I. N é divisível por 2008.II. N é divisível por 2009.III. N é divisível por 402009 2010 .Com base nos dados apresentados, pode-se concluir que:a) apenas a afirmativa I é verdadeira.b) apenas a afirmativa II é verdadeira.c) apenas a afirmativa III é verdadeira.d) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.e) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.RESOLUÇÃO:I. FALSA                 40 4040 40N 2009 –1 – 2010 1 –1 – 2 2 mod2008II. VERDADEIRA                40 4040 40N 2009 –1 – 2010 0 –1 –1 0 mod2009III. VERDADEIRA1aSOLUÇÃO:                40 40404040 402009 1 2009 mod2009 2010N 2009 –1 – 2010 2009 – 2010 0 mod2009 20102aSOLUÇÃO:Seja 40p(x)= (x 1) 2010  , então o resto da divisão de p(x) por x 2010 é igual a   40p 2010 2009 2010 .Concluímos que, se  40x 2009 , então 4040 40 40 402009 –1 – 2010 (2009 2010). 2009 2010 (2009 2010).        k n
  10. 10. Logo, o resto da divisão de     40402009 –1 – 2010 por 402009 2010 é zero.Note que faltou no enunciado explicitar que     4040N 2009 –1 – 2010 , sem essa informação aquestão perde o sentido, sendo passível de anulação.QUESTÃO 16 – RESPOSTA: dEm um trapézio isósceles ABCD, de base maior AB, está inscrito um arco de circunferênciaAMB, onde M é ponto médio da base menor CD. O ângulo DBC, formado pela diagonal BD epelo lado BC desse trapézio, mede 50 e o ângulo DBA mede 10. Qual é a razão entre asmedidas da base AB e do comprimento do arco AMB, sabendo-se que os lados congruentesdesse trapézio são tangentes ao arco AMB nos pontos A e B?a) 3b) 3c) 2 33d) 3 32e) 2 2RESOLUÇÃO:O ângulo ˆABF 10 é um ângulo inscrito, então AF 20 .O ângulo ˆCBF 50 é um ângulo de segmento, então BF 100 . AMB 120  AB é o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferênciaSupondo que a circunferência tenha raio R, então AB R 3 e o comprimento de AMB é  12 R3.Logo a razão pedida é  R 3 3 32 R 23.Note, entretanto, que a situação exposta é impossível, pois ao se construir a figura descrita
  11. 11. os ângulos DBC e DBA não possuirão medidas 50 e 10 , respectivamente.As inconsistências podem ser vistas nas figuras abaixo:QUESTÃO 17 – RESPOSTA: aSobre o lado BC do quadrado ABCD constrói-se um triângulo PBC, sendo o ponto P externo aoquadrado e o quadrilátero PCDB convexo. Se o ângulo PDC é congruente ao ângulo PBC, pode-se afirmar que o quadrilátero PCDB éa) sempre circunscritível em um círculo.b) sempre circunscritível a um círculo.c) inscritível em um círculo apenas se for um trapézio.d) circunscritível a um círculo apenas se for um trapézio.e) impossível de ser inscrito em um círculo.RESOLUÇÃO:  ˆ ˆPDC PBC  B e D estão num arco capaz de  sobre PC  #PCDB é inscritível
  12. 12. QUESTÃO 18 – RESPOSTA: eAnalise as afirmativas a seguir.I)  330,333... 27 3(3 ) 3II)   1(2 3) 2 3III) 3k10 tem  3k 1 algarismos, qualquer que seja o número natural k.Assinale a opção correta.a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.RESOLUÇÃO:I. VERDADEIRA      271 1270,333... 27 93 3(3 ) 3 3 3 e        3271 13 273 93 33 3 3 3II. VERDADEIRA           1221 2 3 2 32 3 2 32 3 2 3 2 3III. VERDADEIRA   3k 0k 0 10 10 1 possui    3 0 1 1 algarismo  3k3k zerosk 0 10 1 00 0  3k10 possui  3k 1 algarismos para qualquer natual k.QUESTÃO 19 – RESPOSTA: bOs números naturais x e 18 são, nessa ordem, inversamente proporcionais aos números naturais ye 45. Se x y, quantos são os valores possíveis para x?a) 9b) 10c) 15d) 18e) 20RESOLUÇÃO:       1 4x 18xy 18 45 810 2 3 51 1y 45 x e y são divisores de 810
  13. 13. Como x y para encontrar a quantidade de valores de x basta calcular a metade da quantidade dedivisores naturais de 810, pois esses aparecem sempre aos pares, um maior e outro menor que810 .       d 1 1 4 1 1 1 20  há 20102possíveis valores de xQUESTÃO 20 – RESPOSTA: bO triângulo de lados 0,333 cm, 0,5 cm e 0,666 cm é equivalente ao triângulo isósceles debase 0,333 cm e lados congruentes medindo x centímetros cada um. Com base nos dadosapresentados, é correto afirmar que x é igual aa)32b)15124c)13d)25748e) 15 4 636RESOLUÇÃO:10,3333; 10,52; 20,6663      1 1 2 3 32p p3 2 3 2 4Utilizando a Fórmula de Heron para o cálculo da área do triângulo:                 23 3 1 3 1 3 2 3 5 1 1 15S cm4 4 3 4 2 4 3 4 12 4 12 48O triângulo da figura deve possuir área igual a 215cm48, então
  14. 14.      1 1 15 15S h h2 3 48 8Aplicando o Teorema de Pitágoras no ACH:                2 22 15 1 15 1 151 151x x cm8 6 64 36 64 9 24COMENTÁRIO:A questão 4 deve ser anulada e as questões 15 e 16 são passíveis deanulação pelos motivos expostos nas suas soluções.A questão 13 deve ser anulada, pois envolve o assunto bases denumeração, que não faz parte do Programa para as provas escritas,conforme anexo III do Edital do Concurso.

×