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E qe fzdi2grado Document Transcript

  • 1. Equazioni di 2° gradoPROBLEMA(Es. es. 457 pag. 841 vol. 2 Zanichelli biennio)…… siamo giunti all’equazione di 2° grado010561002 xx con 750  xCome risolvere le equazioni di 2° gradoMetodo 1Scomposizione in fattori e legge di annullamento del prodotto  881210561002 xxxxMetodo 2Completamento del quadrato010561002 xxsi può scrivere come  1444502xda cui …….X1=12 e X2=88In generaleApplicando il metodo del completamento del quadrato all’equazionedi 2° grado completa    08812  xxX1=12 X2=88
  • 2. 02 cbxax con a, b, c 0si ottiene la formula risolutiva generaleaacbbx2422,1 , con acb 42In sintesiabx22,1SE 02 soluzioni(o radici) di-stinteSE 02 soluzioni coincidentiSE 0nessuna soluzione reale
  • 3. CASI PARTICOLARI:éòB=0 e C=0 EQUAZIONE MONOMIAB0 e C=0 EQUAZIONE SPURIAB=0 e C 0 EQUAZIONE PURAEquazione monomiaLequazione ha la forma ax2=0Pertanto x2=a0cioè 02,1 x , unequazione monomia ha una radice doppia nullaEquazione spuriaLequazione ha la forma ax2+bx=0Posto x in evidenza si ottiene x(ax+b)=0 essendo un prodotto uguale a zero allora, per la leggedi annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori è 0, cioè si ha x=0 o ax+b=0 .x=0 o ax+b=0Si è ricondotta lequazione di secondo grado alla risoluzione di due equazioni di primo grado, di cuiuna ha soluzione nulla, cioè x=0;laltra soluzione è x =ab .In questo abbiamo una equazione con due soluzioni reali distinte di cui una nulla.Equazione puraLequazione ha la forma ax2+c=0Lequazione si può scrivere nella forma ax2=-c  x2=acIl primo membro è positivo poiché è un quadrato allora deve esserlo anche il secondo membro. Se a e c sono concordi il secondo membro è negativo in quanto la frazione è preceduta dalsegno meno, di conseguenza non si hanno radici reali, essendo il primo membro positivo. Se invece a e c sono discordi si hanno due radici reali opposte che si ottengono:.acx 2,1
  • 4. Dall’equazione di 2° grado alla funzione di 2° gradoPer risolvere il problema (es. 457 pag. 841 vol. 2 Zanichelli biennio)siamo giunti all’equazione di 2° grado010561002 xx con 750  xDelle due soluzioni ( o radici) trovate x1=12 e x2=88Per le C.E. x2=88 non è accettabile, pertanto il problema ammette una soluzio-ne x=12.Definisco ora la funzione di 2° grado associata …yxf :10561002 xxy , con xoppure1056100)( 2 xxxfe la rappresento graficamente ….
  • 5. con Geogegra ottengo il seguentegrafico di 10561002 xxy che è una parabola.
  • 6. In particolareA(88,0) B(12,0) sono i punti in cui la parabola incontra l’asse x, cioè y=0!!!!…………………VEDERE file con GEOGEBRA funz2gradoPer variare parametri a,b,c
  • 7. RELAZIONI TRA COEFFICIENTI E RADICI DELLEQUAZIONESe le radici sono reali dalla formula risolutiva otteniamo:x1+x2= abe x1●x2= acQueste relazioni permettono in particolari casi di ricavare le soluzioni di unequazione disecondo grado senza applicare la formula risolutiva.Infatti basta cercare quei numeri le cui somme ed i prodotti corrispondano ai numeri otte-nuti mediante le relazioni.Occorre notare che tali numeri sono facilmente ricavabili quando le soluzioni sono nume-ri interi.Un’altra applicazione è laSCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADOAl polinomio ax2+bx+c associamo l’equazione ax2+bx+c=0 Se 0lequazione di secondo grado ax2+bx+c=0 ammette due soluzioni x1 ed x2, allo-ra sostituendo in b e c le precedenti relazioni lequazione diventa:ax2-a(x1+x2)x+ax1●x2=  ossia:  ax2-ax1x-ax2x+ax1● x2=0Ponendo a in evidenza diventa:a(x2-x1x-x2x+x1●x2)=0applicando la scomposizione a fattore parziale diventa:a[x(x-x1)-x2(x-x1)]=0  ossia:  a(x-x1)(x-x2)=0pertanto il polinomio iniziale si scomponeax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2) Se <0Se il discriminante dell’equazione è negativo allora il trinomioax2+bx+c non si può scomporre