3. Identificar una función exponencial y su
inversa, la función logarítmica, describiendo
todas sus propiedades para finalmente trazar
su gráfica.
Aplicar las propiedades de los
exponentes y los logaritmos para resolver
ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
Formular una función exponencial o
logarítmica para poder modelar un
comportamiento exponencial o logarítmico.
4. Las propiedades de una función
exponencial o una función logarítmica para
bosquejar su gráfica.
Las propiedades de los exponentes y los
logaritmos en la resolución de ecuaciones
exponenciales y logarítmicas.
Problemas de interés compuesto y
continuo, empleando los conocimientos
adquiridos en esta unidad.
5. Una función exponencial es una función de la forma f(x)=ax,
donde a es un número real positivo y distinto de 1. El dominio de
f es el conjunto de todos los números reales.
Propiedades de los exponentes
a0 = 1
(ab)n = an bn
am an = am+n
(a / b)n = an / bn
am / an = am-n
a-m = 1/(am) = (1/a)m
(am)n = amn
1x = 1
Observe que en la definición de función exponencial, a≠1, ya
que la función y = 1x sería una función constante.
6. se hace una distinción entre la función y = ax para a > 1 y
para 0< a < 1.
f(x)=ax
a>1
0< a < 1
Dominio (-∞, ∞)
Dominio (-∞, ∞)
Rango (0, ∞)
Rango (0, ∞)
Intersecciones –x : ninguna
Intersecciones –x : ninguna
Intersecciones –y: 1
Intersecciones –y: 1
Asíntota horizontal: eje x
cuando x→ - ∞
f es una función creciente
f es uno a uno y pasa
por (0, 1) y (1, a)
Asíntota horizontal: eje x
cuando x→ ∞
f es una función decreciente
f es uno a uno y pasa
por (0, 1) y (1, a)
7. Graficación de funciones exponenciales a>1
Haga una tabla de valores y gráfique los puntos resultantes para f(x)=2x
x
f(x)=2x
-3
2-3=1/8
-2
2-2=1/4
-1
2-1=1/2
0
20=1
1
21=2
2
22=4
(2, 4)
(0,1)
(-2,1/4)
(1, 2)
(-1,1/2)
(-3,1/8)
La gráfica nunca va a
llegar a tomar el valor de
0 en el rango, ese es su
límite.
8. Graficación de funciones exponenciales 0<a<1
Haga una tabla de valores y grafique los puntos resultantes para f(x)=1/2x
x
f(x)=1/2x
-2
1/2-2=4
-1
1/2-1=2
0
1/20=1
1
1/21=1/2
2
1/22=1/4
3
1/23=1/8
La gráfica nunca va a
llegar a tomar el valor de
0 en el rango, ese es su
límite.
(-2, 4)
(-1, 2)
(0,1)
(1, 1/2)
(2, 1/4)
(3,1/8)
9. La base e
El número e se define como el número al que tiende la
expresión (1+1/n)n cuando n→ ∞.
Grafique f(x)= ex (utilice su calculadora para obtener las y’s).
x
f(x)=ex
-2
0.14
-1
0.37
0
2.72
2
(1, 2.72)
1
1
(2, 7.39)
7.39
(-2, 0.14)
(-1, 0.37)
(0,1)
10. La función logarítmica base a, donde a>0 y a≠1, se denota y=logax
(se lee “y es el logaritmo base a de x”) y se define como:
Y= logax si, y sólo si, x=ay
Ejemplos, cambio de expresiones exponenciales a logarítmicas y viceversa
1.23=m
entonces
3=log1.2m
loga4=5
entonces
a5=4
Encuentre el valor exacto de una expresión logarítmica
Log28=
Para la expresión logarítmica y= log28 tenemos la expresión
exponencial 2y=8
2y=8
2y=23
Por lo tanto log28=3
y=3
11. Dominio de una función logarítmica
La función logarítmica y=logax es la inversa de la función exponencial
y=ax. Por lo tanto el dominio de una es el rango de la otra.
y=ax
y=x
La intersección de la gráfica con
el eje x es 1. No existe
intersección con el eje y. el eje y
es una asíntota vertical de la
gráfica. Una función logarítmica
es decreciente si 0<a<1 y
creciente si a>1.
y=logax
12. En las propiedades dadas a continuación, M y a son números reales
positivos, con a≠1, y r es cualquier número real.
alogaM=M
logaMr=r logaM
logaar=r
Si M=N, entonces logaM=logaN
logaMN=logaM+logaN
Si logaM=logaN, entonces M=N
loga(M/N)=logaM-logaN
logaM=logbM/logba
loga(1/N)=-logaN
logaM=logM/loga Y logaM=lnM/lna
Compruebe todas estas propiedades
13. Ecuaciones exponenciales
x2
e
e
x2
e
e
x
x
e
2
2
1
e3
x 2
2x
e2 x
e
3
3
2x 3
x 2x 3 0
x 3 x 1 0
x 3 0; x 1 0
o
ln5x-2=ln33x+2
(x-2)ln5=(3x+2)ln3
(ln5)x-2ln5=(3ln3)x+2ln3
2
x=-3
5x-2=33x+2
x=1
(ln5)x-(3ln3)x=2ln3+2ln5
(ln5-3ln3)x=2ln3+2ln5
x=
2ln3+2ln5
(ln5-3ln3)
x≈ -3.212
14. Escriba la siguiente expresión como un solo logaritmo
logax+loga9+loga(x2+1)-loga5
loga9x+loga(x2+1)-loga5
loga9x(x2+1)-loga5
loga9x(x2+1)/5
Escriba la siguiente expresión como varios logaritmos
loga5√1+x /x2
loga5√1+x -logax2
loga5+loga√1+x -logax2
loga5 + loga(1+x)1/2 -logax2
loga5 + 1/2 loga(1+x) -2logax
15. Utilizando las propiedades de los logaritmos y el cambio de
logaritmos y exponenciales resuelve las siguientes ecuaciones.
Ecuaciones logarítmicas
log3(4x-7)=2
4x-7=32
4x-7=9
log4(x+3) + log4(2-x)=1
2log5x=log59
log5x2=log59
(x+3)(2-x)=41
x2=9
-x2-x+6=4
4x=9+7
x=16/4
x=4
log4[(x+3) (2-x)] =1
x=3
o
x=-3
X2+x-2=0
(x+2)(x-1)=0
x=-2
o
x=1
Verifique los resultados recuerde que en la expresión logaM,
a y M son positivos y a≠1.
16. Interés simple: Si se presta un capital de P dólares durante un periodo
de t años con una tasa de interés anual r, expresada como un
decimal, el interés I cobrado será:
I=Prt
Interés compuesto: La cantidad A generada después de t años por un
capital P invertido a una tasa de interés anual r compuesta n veces
por año es:
A=P(1+r/n)nt
17. Composición continua: La cantidad A después de t años obtenida
mediante un capital P invertido a una tasa de interés anual r
compuesto de manera continua es:
A=Pert
Valor presente: El valor presente P de á dólares a ser recibidos
después de t años, con una tasa de interés anual r compuesta n
veces por año, es:
P=A(1+ r/n)-nt
Si el interés es compuesto de manera continua, entonces:
P=Ae-rt
18. Interés simple
Sofía Gutiérrez le hace un préstamo a su hermano, Saúl. El
5000
monto de préstamo es de $5000, con un interés simple de
6% anual, y Saúl tendrá que devolverlo 3 años después.
¿Qué interés le pagará Saúl a Sofía transcurridos los 3
años?
i = pr t
= 5000 (0.06) (3)
= 900
¿Cuánto dinero en total deberá pagar?
5000 + 900 = 5900
Monto inicial + Interés
19. Interés compuesto
Catalina Carmona recibe un reembolso de impuestos por
$1425, e invierte este dinero para ayudar a pagar el primer
1425
semestre de la universidad de su hermano. Catalina invierte
el dinero en un certificado de depósito que le ofrece una
tasa de interés anual de 3% compuesto de forma mensual
después de 18 meses.
¿Cuánto valdrá el certificado luego de 18 meses?
A = p ( 1 + r n )nt
12 (1.5)
=1425 1+ 0.03
12
=1425(1.04596912)
= 1490.51
12(1.5)
1+ 0.03
12
18
=(1+0.0025)
=1.04596912
20. Composición continua
El 2 de enero de 1996 se colocaron $2000.00 en una
2000
cuenta de retiro que pagará un interés del 10% anual
compuesto de manera continua.
¿A cuanto ascenderá la cuenta el primero de enero
del año 2016?
La cantidad A después de 20 años es:
A=Pert
= 2000 e(0.10)(20)
=14,778.11
La cuenta ascenderá a $14,778.11 luego de 20 años.
21. Valor presente
Un bono “cupón cero” (sin intereses) puede ser amortizado
en 10 años por $1000.00.¿Cuánto dinero estaría dispuesto
1000
a pagar por él ahora si quiere obtener un rendimiento de:
a) 8% compuesto en forma mensual?
8%
mensual
b) 7% compuesto en forma continua?
b)=
a)=
P=Ae-rt
P=A(1+ r/n)-nt
P= 1000 (1+ 0.08 /12)
=450.52
-12(10)
P= 1000 e
-(0.07)(10)
=496.59
