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Poligonos

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  • 1. Polígonos <ul><li>Especialidad: Matemática </li></ul><ul><li>Participante: Profa. Denise S. Rocha Vega </li></ul><ul><li>Fecha de presentación: 30 de Julio, 2010 </li></ul><ul><li>COCHABAMBA - BOLIVIA </li></ul>Fe y Alegría - Cochabamba Diplomado de Informatica Educativa
  • 2. Menú Principal 1. Concepto 2. Clasificación 3. Diagonal 4. Suma Ángulos interiores 5. Suma Ángulos exteriores 6. Diagonales en un n-gono Inicio 7.-Áreas y Perímetros
  • 3. P O L Í G O N O S
  • 4. Polígonos en la vida real <ul><li>!Que fascinante es la geometría! ¿Sabias que se encuentra en nuestro entorno? </li></ul><ul><li>¿En el portón de esta basílica que figuras geométricas que tú conoces observas? ¿Cuántas paredes tiene la torre superior? </li></ul>
  • 5. Polígonos <ul><li>Concepto.- </li></ul><ul><li>Sean P1, P2, P3,……, PN, n puntos en el plano (n ≥ 3) que forman n segmentos </li></ul><ul><li>P 1 P 2 , P 2 P 3 , P 3 P 4 ,….., P n P 1 , tales que: </li></ul><ul><li>Ningún par de segmentos se interceptan, excepto, en sus extremos (lados consecutivos). </li></ul><ul><li>Ningún par de segmentos con un extremo común son colíneales. </li></ul>
  • 6. <ul><li>Entonces la reunión de los n segmentos se llama polígonos de n lados o n-gono. </li></ul><ul><li>P 1 , P 2 , P 3 ,…., Pn son los vértices del n-gono. </li></ul><ul><li>Los segmentos: </li></ul><ul><li>P 1 P 2 , P 2 P 3 , P 3 P 4 ,….., P n P 1 son los lados del n-gono. </li></ul>Anotemos: n-gono: P1 P2 P3 … Pn
  • 7. !Que fascinante es el mundo de la Geometría¡ Observa estas lámparas e identifica aquellas figuras que tu conoces
  • 8. <ul><li>Diagonal.- Es todo segmento determinado por dos vértices no consecutivos. </li></ul>Diagonal
  • 9. Figuras geométricas en la naturaleza <ul><li>¿Qué polígono formara los pétalos de esta flor? </li></ul><ul><li>¿Y cuantas diagonales podrán trazarse? </li></ul>
  • 10. Polígono de 3 lados: Triángulo Clasificación .- A continuación presentamos algunos polígon o s por el número de sus lados o ángulos:
  • 11. Polígono de 4 lados: Cuadrilátero
  • 12. Polígono de 5 lados: Pentágono
  • 13. Polígono de 6 lados: Hexágono (exágono) 1 2 3 4 5 6
  • 14. Polígono de 7 lados: 1 2 3 4 5 6 7 Heptágono
  • 15. ¡Cuantas figuras se presentan en estos vitrales!.¿Podrás identificarlas y nombrarlas?
  • 16. Octágono 8 lados Eneágono 9 lados Decágono 10 lados
  • 17. Mas polígonos Undecágono 11 lados Dodecágono 12 lados Ejemplo: Las monedas de 2 Bs.-
  • 18. Pentadecágono 15 lados Icoságono 20 lados Ejemplo: Esvástica
  • 19. Figuras geométricas en la naturaleza <ul><li>En la naturaleza existen muchas creaciones simétricas como esta hoja de trébol que representa figuras geométricas </li></ul><ul><li>¿Podrías reconocerlas? </li></ul>
  • 20. En general un polígono de n lados se llama n-gono. <ul><li>Un n-gono es equilátero ssi sus n lados son congruentes. </li></ul><ul><li>Un n-gono es equiángulo ssi sus n ángulos son congruentes. </li></ul>
  • 21. Ob. Si un n-gono es equilátero no necesariamente es equiángulo o recíprocamente, si un n-gono es equiángulo no siempre ha de ser equilátero. <ul><li>Un rectángulo es equiángulo pero no equilátero. </li></ul><ul><li>Rombo es equilátero pero no equiángulo. </li></ul><ul><li>Un n – gono es regular ssi es equilátero y equiángulo </li></ul>
  • 22. <ul><li>Si la reunión de un polígono con su interior es un conjunto convexo, entonces el polígono es CONVEXO. Ejemplos: </li></ul>Polígono Convexo
  • 23. Polígonos no convexos o cóncavos.
  • 24. TANGRAM Con estas figuras forma un cuadrado
  • 25.  
  • 26. Considerando las 7 piezas del rompecabezas Tangram ¿puedes colocar las dos piezas grandes alrededor del cuadrado para formar un: a) triángulo b) paralelogramo c) trapecio u otra figura? Experimenta con el que construiste......
  • 27. Suma de Ángulos Interiores
  • 28. Proposición 1_: <ul><li>La suma de las medidas de los ángulos interiores de un n-gono convexo es: Si = 180º (n-2) </li></ul><ul><li>Sea P 1 , P 2 , P 3 ,…, P n un n-gono convexo. Q, un punto en el interior del n-gono. El punto Q, determina con los lados del n-gono n triángulos. En cada triángulo la suma de las medidas de sus ángulos es 180º. </li></ul>Si P 1 P 2 P 3 …P n es un n-gono. Ent . Si = 180º (n-2)
  • 29. En los n triángulos se tiene. 180º n. <ul><li>Sea Qi, la suma de las medidas de los ángulos en Q. </li></ul><ul><li>Luego: Si = 180º n – Qi ; </li></ul><ul><li>Si = 180º n – 360º </li></ul><ul><li>Luego: Si = 180º (n – 2) </li></ul><ul><li>Ob. En un n-gono regular todos sus ángulos interiores tienen igual medida. Si , i es la medida de un ángulo interior de un n-gono regular tenemos: </li></ul> 180º (n – 2) i = n
  • 30. Construcciones naturales <ul><li>!Que belleza! </li></ul><ul><li>!Cuan precisas son las abejas en su construcción! </li></ul><ul><li>¿Podrías calcular la suma de los ángulos interiores de cada celda? </li></ul>
  • 31. <ul><li>Halla la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero, de un heptágono y de un dodecágono. </li></ul>Ejercicios C) 360º, 900º, 1800º A) 630º, 909º, 1700º B) 180º, 800º, 1080º D) Ninguno
  • 32. <ul><li>La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono es 2880º. Halla el número de lados del polígono. </li></ul>A) 16 B) 18 C) 20 D) Ninguno
  • 33. <ul><li>Halla la medida del ángulo interior de un dodecágono regular. </li></ul>A) 150 º B) 180º C) 175 º D) Ninguno
  • 34. <ul><li>Halla en grados, minutos y segundos la medida del ángulo interior del endecágono regular. </li></ul>B) 147 º 16´ 22” A) 179º 16´ 22” C) 147 º 18´ 26” D) Ninguno
  • 35. Suma de Ángulos Exteriores
  • 36. Proposición 2.- <ul><li>Suma de las medidas de los ángulos externos en un n-gono convexo). </li></ul><ul><li>Si P1 P2 P3….Pn n-gono convexo Se, es la suma de las medidas de los ángulos externos </li></ul><ul><li>Ent. Se = 360º </li></ul><ul><li>En cada vértice del n-gono se determina un par lineal de ángulos (interno y externo). La medida en cada par lineal es 180º. En los n vértices tenemos 180º n. </li></ul>
  • 37. <ul><li>Luego: Se = 180º n – s </li></ul><ul><li>Se = 180º n – 180 (n-2) </li></ul><ul><li>Se = 180º n – 180.n + 360 </li></ul><ul><li>Luego: Se = 360º </li></ul><ul><li>Ob. La medida de un ángulo externo en un n-gono regular es: </li></ul>360º e = n
  • 38. Construcciones humanas <ul><li>¿Podrías calcular la suma de los ángulos exteriores de cada una de las figuras geométricas que observas en este hermoso vitral? </li></ul>
  • 39. <ul><li>Halla la medida del ángulo exterior de los siguientes polígonos regulares: eneágono, pentadecágono y 24-gono. </li></ul>C) 40º, 24º, 15º A) 40º, 24º, 51º B) 40º, 42º, 15º D) Ninguno
  • 40. <ul><li>Halla el número de lados de un polígono regular si el ángulo exterior mide 20º. </li></ul>C) 12 A) 16 B) 18 D) Ninguno
  • 41. Diagonales en un n – gono
  • 42. Proposición 3 (Número de diagonales en un n-gono) <ul><li>Número de diagonales desde un vértice </li></ul><ul><li>Si P1 P2 P3…..Pn es un n-gono </li></ul><ul><li>d, número de diagonales desde un vértice. </li></ul><ul><li>Ent d= ( n - 3 ) </li></ul><ul><li>En todo n-gono, desde un vértice se trazan </li></ul><ul><li>(n – 3) diagonales. </li></ul>
  • 43. Pero como cada diagonal esta determinada por dos vértices, resulta que el número total de diagonales es: n (n – 3) D = 2
  • 44. <ul><li>Desde un vértice en un polígono se han trazado 18 diagonales. Halle el número de lados del polígono. </li></ul>C) 3 A) - 3 B) 6 D) Ninguno
  • 45. <ul><li>2. Halle el número total de diagonales que pueden trazarse en un 24-gono. </li></ul>C) 252 A) 225 B) 525 D) Ninguno
  • 46. <ul><li>¿Cuántas diagonales pueden trazarse en un polígono cuya suma de las medidas de sus ángulos interiores es 2160º </li></ul>C) 12 A) 14 B) 16 D) Ninguno
  • 47. <ul><li>Sabiendo que el ángulo interior de un polígono mide 165º. Calcula el número total de diagonales que pueden trazarse en este polígono. </li></ul>C) 20 A) 22 B) 24 D) Ninguno
  • 48. Problemas reales <ul><li>Te presento a las famosas pirámides de Francia. </li></ul><ul><li>Elije una de las caras y estima cuantos paralelogramos existen en cada cara y cuantos triángulos. </li></ul><ul><li>¿Podrías construir algo similar? </li></ul>
  • 49. El Tangram nos permite formar una variedad de figuras geométricas utilizando tan solo 7 piezas como se muestra en el siguiente ejemplo:
  • 50. Formar las siguientes figuras.
  • 51. Estas son mas complicadas pero ! yo se que tu puedes ¡
  • 52. Problemas reales <ul><li>En esta construcción barroca ¿Cuántas paredes estimas que tiene la torre? ¿Cuánto seria la medida de los ángulos interiores y exteriores de cada pared? </li></ul>
  • 53. <ul><li>¿Sabias que: la torre Eiffel es hoy uno de los monumentos más conocidos del mundo?. Los ángulos, alturas y anchuras de cada sección fueron medidas cuidadosamente para su construcción. </li></ul>Curiosidades
  • 54. Areas y Perimetros
  • 55. Area de un Polígono O A B C D E a l Une cada vértice del polígono de n lados con el centro O para obtener triángulos congruentes. prueba que la suma de las áreas sea igual al área del polígono regular. donde el perímetro es:
  • 56. <ul><li>PROBLEMA: El lado de un hexágono regular mide 4 cm. Halla la apotema, el perímetro y el área del hexágono </li></ul>PROBLEMA: Dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia. Hallar el lado, el apotema y la altura sabiendo que el radio es igual a 9 R R l a
  • 57. EJERCICIOS <ul><li>En un hexágono regular inscrito en una circunferencia dado su radio igual a 12 u. hallar el lado, la apotema y el perímetro. </li></ul><ul><li>Dado un cuadrado de lado igual a 10 u. hallar el radio , la apotema y su perímetro. </li></ul><ul><li>Dado un triángulo equilátero cuya altura es de 6 u. hallar el radio y la apotema. </li></ul><ul><li>Hallar el área del pentágono regular, si la apotema mide 15 u. y su perímetro. </li></ul><ul><li>Hallar el área y el perímetro de un decágono regular, si el lado mide 20 u. </li></ul>
  • 58. AGRADECIMIENTO ESPECIAL A: <ul><li>Denise S. Rocha Vega </li></ul>F I N PRESENTACION

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