Practica de Física - Pendulo
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Ecuaciones empíricas, minimos cuadrados, gravedad

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    Practica de Física - Pendulo Practica de Física - Pendulo Document Transcript

    • UNIVERSIDADNACIONAL DECAJAMARCAInforme de práctica nº 1 delaboratorioGrupo 1 A - Primer año - Primer cicloIntegrantes:Bardales Minchán, Oscar Alexis
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 1ECUACIONES EMPÍRICAS1. INTRODUCCION:Una ecuación empírica se basa en la observación y estudio experimental de unfenómeno del cual generalmente se desconoce o se tiene poca información delas leyes fundamentales que lo gobiernan, o donde la intervención de dichasleyes puede ser tan complicada que impide construir un modelo analíticoobligando a recurrir aluso de ecuaciones empíricas para su comprensión.El movimiento periódico es cualquier clase de movimiento que se repite enintervalos iguales de tiempo, cuyos elementos son: la oscilación sencilla,oscilación completa, periodo, frecuencia, elongación y amplitud.En esta práctica, se trabaja en el laboratorio con un movimiento oscilatoriopendular (movimiento de un masa de un lado a otro de la posición de equilibrioen virtud de la gravedad y de la inercia) en el cual se observa la relación entrela longitud del péndulo y su periodo por medio de ecuaciones empíricas y delajuste de curvas por método de mínimoscuadrados.2. OBJETIVO2.1 Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple querelaciones el periodo (T) y la masa (M).2.2 Determinar una ecuación empírica para el péndulo simple querelaciones el periodo (T) y la masa (L).3. FUNDAMENTO TEORICOPara obtener una ecuación empírica, se procede siguiendo en orden las etapassiguientes:Graficar los pares de valores numéricos referidos en un sistema decoordenadas (X-Y) en un papel milimetrado, designándose el eje de lasabscisas para la variable independiente y el eje de las coordenadas para lavariable dependiente:Relación lineal: cuando los puntos graficados se ajustan a una recta (fig. N001), cuya ecuación general es:Y=b+mX…………….......................... (ec. 01)Dónde:b= intersección de la recta con el eje de las ordenadas.m=pendiente de la recta.
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 2Función potencial: cuando los puntos graficados se ajustan a una curva (fig. N002), cuya ecuación general es:Y=aXm……………………………………… (ec.02)Donde:“a” y “m” =constantes a determinar, ya sea gráficamente o por otros métodoscomo de mínimo cuadrados.Para ello se toma logaritmos a ambos miembros de la ecuación, teniendo:log Y =log a +mlogX………………… (ec. 03)Y’= a’+ mX’……………………………… (ec. 04)LA GRAVEDADLa gravedad es una fuerza de atracción entre toda la materia. Aunqueexista la gravedad para aún pequeñas cantidades de materia, la fuerzahabitualmente no es lo suficientemente significativa como para ser detectada ogenerar atracción. Además de la masa, la gravedad también depende de ladistancia, lo cual es la razón por la que la gravedad de la tierra afecta a losseres humanos más que los cuerpos con mucha masa, tales como el sol oJúpiter.-El efecto de la distancia sobre la gravedadDebido a que la gravedad depende de la distancia, la fuerza degravedad también depende de la altitud. Al tope de una montaña, una personaexperimentará menos gravedad que alguien debajo del nivel del mar; aunquepara los propósitos de las habilidades sensoriales humanas, la diferencia seráindetectable.-El efecto de la fuerza centrípeta sobre la gravedadEn la Tierra, la atracción gravitacional también depende de la longitud.Debido a la rotación de la Tierra, existe una fuerza centrípeta que afecta elpeso de los seres humanos y la atracción gravitacional que experimentamos.Trabaja de tal modo que alguien en el ecuador terrestre, que está “viajando” auna mayor velocidad que alguien en los polos, pesa menos y por lo tantoexperimenta menos gravedad.-Gravedad y la atmósfera terrestreLa gravedad juega una parte significativa en el equilibrio de la vida de laTierra (es la razón por la cual los seres humanos pueden caminar, construiredificios y vivir en un ambiente bajo presión controlada).
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 3MÍNIMOS CUADRADOSConsiste en someter un sistema a diferentes condiciones, fijando para ellodistintos valores de la variable independiente X, y anotando en cada caso elcorrespondiente valor medido para la variable dependiente Y. De este modo sedispone de una serie de puntos (X1, Y1),.... (Xn, Yn) que, representadosgráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los erroresexperimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamentealineados. El método de mínimos cuadrados determina los valores de losparámetros “m” y “a” de la recta que mejor se ajusta a los datosexperimentales. Utilizando las siguientes ecuaciones:(Ec. Nº 5)(Ec. Nº 6)4. MATERIAL Y EQUIPOUn péndulo simple, que consta de: Soporte universal Dos varillas Una mordaza Juego de pesas (10g, 20g, 50g, 100g) Hilo de suspensión (120 cm aprox )Cronometro (mínima medida centésimas de segundo).Papel milimetrado.Regla graduada e centímetros (mínima medida en milímetros).Wincha (mínima medida milímetros).Pistoletes.5. PROCEDIMIENTO
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 45.1 Tomamos las medidas del tiempo para 10 oscilaciones manteniendo lalongitud del hilo (constante de 80 cm) haciendo variar la masa (10g,20g,50g,70g, 100g) para construir la tabla Nº 1.TABLA Nº 1MASA (g) Tiempo de 10 oscilaciones (s) Periodo deoscilaciónT1 T2 T3 T10 10.53 17.70 17.59 1.7620 17.59 17.55 17.60 1.7650 17.41 17.47 17.70 1.7270 17.41 17.78 17.50 1.76100 17.64 17.78 17.70 1.77Tabla de sumatorias para el método teórico de mínimos cuadrados.N M T M*T M*M1 10 1.76 17.6 1002 20 1.76 35.2 4003 50 1.72 86 25004 70 1.76 123.2 49005 100 1.77 177 10000Ʃ 250 8.77 439 17900Graficamos los puntos de la tabla Nº 1 en el papel milimetrado para aplicar elmétodo geométrico y el método teórico, para hallar la pendiente y el intercepto,y así determinar la ecuación empírica que relacione el tiempo (T) y la masa(M). También para saber cómo depende el tiempo con respecto de la masa.Utilizando los métodos geométrico y teórico con los valores de las tablasayudaran a verificar si los datos tomados son correctos.-Método Geométrico:Se trazó la línea que pasa por el punto 1.76 en el eje del Tiempo debidoa que se repite ese valor (moda).a= 1.76m= 0De Ec. Nº1->T= 1.76 + (0)L
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 5-Método analíticoMínimos cuadrados:–––De Ec. Nº 1 -> T= 1.75 + 0.0001 LAproximando a la mínima medida en milímetros → T= 1.75 + 0.00 L5.2.1 Luego de experimentar sin variar la longitud del hilo del péndulo,esta vez mantendremos constante la masa (50g) y variaremos la longitud delhilo (10cm, 20cm, 40cm, 60cm, 80 cm, 100cm y 120cm), tomando el tiempopara 10 oscilaciones. Y asíconstruimos la tabla Nº 2.TABLA Nº 2LONGITUD(cm)Tiempo de 10 oscilaciones (s) Periodo deoscilación (s)T1 T2 T3 T10 5.98 6.02 6.08 0.6020 9.22 9.09 9.10 0.9140 12.71 12.50 12.66 1.2660 15.55 15.52 15.54 1.5580 17.64 17.44 17.93 1.76100 19.75 20.00 20.02 1.99120 21.55 21.66 21.50 2.16
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 65.2.2 graficamos los puntos de la tabla Nº 2 en el papel milimetrado paraaplicar el método geométrico y el método teórico y así encontrar la ecuaciónempírica que relaciones el Periodo (T) y la Longitud (L).5.2.3 Al observar que el trazo de la gráfica es una curva no se podrácalcular la pendiente, ni el intercepto para lo cual construiremos una tablaadicional (tabla Nº 3 ) aplicando los logaritmos a los datos la tabla Nº 2.TABLA Nº3T L Log T Log L0.06 10 -0.22 1.000.91 20 -0.04 1.301.26 40 0.10 1.601.55 60 0.19 1.771.76 80 0.24 1.901.99 100 0.29 2.002.16 120 0.33 2.07Tabla de sumatorias para el método teórico de mínimos cuadrados.nº Log T Log L Log T * Log L Log L* log L1 -0,22 1,00 -0,22 1,002 -0,04 1,30 -0,052 1,693 0,10 1,60 0,16 2,564 0,19 1,77 0,3363 3,135 0,24 1,90 0,456 3,616 0,29 2,00 0,58 4,007 0,33 2,07 0,6831 4,28Ʃ 0,89 11,64 1,9434 20,27785.2.4 Construimos la gráfica Nº 3, realizando esto obtendremos un trazorecto en el cual podremos obtener la pendiente y el intercepto con ayuda delmétodo geométrico como del teórico (mínimos cuadrados).-Método Geométrico:a= -0.76m= = 0.51De Ec. Nº 4 -> T= -0.76 x L0.51
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 7-Método analíticoMínimos cuadrados:De Ec. Nº 4 → T= -0.71 x L0.505.2.5 Después de calcular la ecuación de la gráfica Nº 3. Aplicamos elantilogaritmo al valor de a’ y así obtenemos el intercepto para la ecuación de lagráfica Nº 2, logrado encontrar una ecuación empírica que relaciones el periodo(T) y la masa (M).Anti-log a’ = aAnti-log a’ = 0.197a= 0.197De Ec. Nº 2 → T=0.197 x L0.506. La gravedad en Cajamarca.Tenemos que:T= ^ T= 0.197 x L0.50entonces;= 0.197 x L0.50Despejando la gravedad
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 87. CONCLUSIONES-El periodo es independiente a la masa del péndulo.En la gráfica 1 se puede apreciar que el tiempo en segundos no varía, semantiene constante, y si lo hace la cantidad es ínfima, por el contrario la masaen gramos varía debido a que se puso a prueba diferentes pesos en el sistemade péndulo simple.-El periodo es dependiente de la longitud de la cuerda del péndulo.Esto se debe a que el peso se encuentra en el extremo de la cuerda si es eltamaño de la cuerda es más pequeño, el periodo también será corto, por elcontrario, si el tamaño de la cuerda aumenta, también lo hará el periodo, yaque la masa recorre en el extremo una mayor longitud por ser el radio decurvatura más grande.-Con el procedimiento para encontrar la gravedad de Cajamarca resultóaproximadamente 9.86 m/s2, ya que utilizando la ecuación del periodo (T) queson:T= ^ T= 0.197 x L0.50Igualando sus equivalentes, despejamos la gravedad y obtuvimos el resultadode la gravedad que depende de la altitud con respecto al nivel sobre el nivel delmar y la latitud con respecto al ecuador terrestre.-La ecuación empírica del periodo (T) y masa (M) del péndulo esaproximadamente:T= 1.75 + 0.0001MEsta ecuación se obtiene del método analítico de la tabla Nº1; La pendiente porser tan pequeña se tomaría como despreciable, es decir tiende a ser cero.-La ecuación empírica del periodo (T) y la longitud (L) del péndulo esaproximadamente:T= 0,197 x L 0,50
    • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCAFÍSICA I Página 9Esta ecuación es obtenida por medio del método analítico de la tabla Nº 2,donde el intercepto es igual a 0,197 y la pendiente 0,50.8. SUGERENCIAS-La longitud del hilo debe ser adecuada para poder tomar el tiempo deoscilación y no tener un margen de error grande, pues ello dificultará pararealizar los cálculos tanto del tiempo como de los datos de las tablas.-Utilizar un hilo delgado no muy grueso, para que los efectos del aire nointervengan a la hora de realizar el experimento y habrá un cálculo máspreciso.-Hacer un nudo para que la oscilación se dé de manera correcta con la longitudexacta con respecto del centro y no se desvíe a la hora del movimiento, esdecir no se altere la longitud del hilo.9. BIBLIOGRAFIA-“Teoría de la gravitación universal"- Guia de ciencias, Dr. Félix Aucallanchi V.- Wanwisa Baker-FÍSICA TEORÍA Y PROBLEMAS, Walter Pérez Terrel.