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Interes compuesto

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  • 1. UNIVERSIDAD POLITECNICA ESTATAL DEL CARCHI Facultad: Comercio Internacional Integración Administración y Economía Empresarial Escuela: Comercio Exterior y Negociación Comercial Internacional TEMA: INTERÉS COMPUESTOINTEGRANTES: LICETH CHUNEZ ,DANIELA HERNÁNDEZ Nivel: Cuarto «A»
  • 2. MONTO COMPUESTO CON PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOSCuando el tiempo de pago no coincide con el período decapitalización, se presenta el caso de los períodos decapitalización fraccionarios.Entonces, si el tiempo de pago de una deuda es de 4 años y 9meses y la tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente setiene que: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑒 𝑛= 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4 12 :9 57 𝑛= 6 = 6 = 9.5 semestresEs decir, 9 semestres y una fracción de semestre.
  • 3. Para el cálculo del monto compuesto con períodos de capitalizaciónfraccionario pueden aplicarse dos métodos.a) EL MATEMÁTICO: Que toma el valor exacto de n en la fórmula del monto compuesto.EJEMPLO:Para el calculo del monto de una deuda de 4000 a interés compuestodurante 6 años y 3 mese de plazo, con una tasa de interés del 7% anualcapitalizable semestralmente, se tiene: 𝟔 𝟏𝟐 :𝟑 𝟕𝟓 𝒏= 𝟔 = 𝟔 = 𝟏𝟐. 𝟓 semestres 𝟎, 𝟎𝟕 𝒊= = 𝟎. 𝟎𝟑𝟓 𝟐 𝑴 = 𝟒𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓) 𝟏𝟐,𝟓 = 𝟒𝟎𝟎𝟎(𝟏, 𝟓𝟑𝟕𝟐𝟖𝟓) 𝑴 = 𝟔𝟏𝟒𝟗, 𝟏𝟒
  • 4. B) EL COMERCIALEl calculo comercial, aplica la parte entera de n en la formula delmonto compuesto (interés compuesto) y la parte fraccionaria en laformula del monto de interés simple.En otras palabras, el método comercial aplica interés compuesto a laparte entera e interés simple a la parte fraccionaria.En el ejemplo anterior con el método comercial se tiene: 12 3 𝑀 = 4000 1.035 1 + 0.035 6 𝑀 = 4000 1.51107 1,075 = 6150.05Como puede apreciarse, el método comercial da un resultado mayorque el método matemático.
  • 5. EJEMPLO: Calculemos por los dos métodos matemáticos y el comercial, elmonto compuesto de $2000 a 7 años y 8 mese de plazo, al 9% anualcapitalizable trimestralmente.MÉTODO MATEMÁTICOSe calcula el valor de n e i 𝟕 𝟏𝟐 + 𝟖 𝟖𝟒 + 𝟖 𝒏= = = 𝟑𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟕 𝟑 𝟑 𝟎, 𝟎𝟗 𝒊= = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟓 𝟒Se aplica la formula del monto: 𝑴 = 𝟐𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟓) 𝟑𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟕 = 𝟑𝟗𝟓𝟕, 𝟎𝟓MÉTODO COMERCIAL 𝟕 𝟏𝟐 :𝟖 𝟗𝟎 𝟐 𝟐 𝒏= = + = 𝟑𝟎 + períodos 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟎, 𝟎𝟗 𝒊= = 𝟎, 𝟎𝟐𝟐𝟓 𝟒
  • 6. 30 2 𝑀 = 2000 1,0225 1 + 0,223 3 𝑀 = 2000 1,9494 1,015 = 3957,27También puede expresarse así: 30 60 𝑀 = 2000 1,0225 1 + 0,09 360 𝑀 = 2000 1,9494 1,015 = 3957,27Diferencia entre los resultados obtenidos por los dos métodos: 3957,27-3957,05=0,22Esto se debe a la diferente aplicación del interés en el tiempofraccionario (dentro de los dos últimos meses se acumula el interés).
  • 7. Aplicación de la capitalización continua de plazos menores de un añoEn algunas operaciones de documentos financieros, como contratos atérmino, contratos futuros, opciones de compra, opciones de venta seutiliza la tasa de interés anual con capitalización continua, tomando elaño calendario o el año comercial y como base el número “e”=2,71828182846, en plazos menores a un año. El resultado es siempremayor que la aplicación con interés simple normal.EJEMPLO:Calcular el interés y el monto que genera un documento financiero de $3000000 durante 90 días, si se considera una tasa de interés del 4% anualcon capitalización continua. 𝑀 = 𝐶𝑒 𝑖𝑡 92a) 𝑡 = 360 = 0,255555555556 𝑖 = 0,04 92b) 𝑡 = 365 = 0,252054794521
  • 8. a) CON EL AÑO COMERCIAL 𝑀 = 3000000𝑒 (𝑜,𝑜4)(0,255555555556) = 3000000𝑒 0,0102222222222 = 3030823,94285 Interés= 3030823,94285 − 3000000 = 30823,94285B) CON EL AÑO CALENDARIO 𝑀 = 3000000𝑒 0,04(0,252054794521) = 3000000𝑒 0,010082191781 = 3030399,56495 Interés= 3030399,56495 − 3000000 = 30399,56495Esta forma de calculo da un resultado mayor que si se realiza con lafórmula del interés simple: 𝐼 = 𝐶𝑖𝑡 y la del monto = 𝐶 + 𝐼
  • 9. c) Con el año comercial y la tasa de interés anual 𝟗𝟐 𝑰 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟑𝟎𝟔𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕 𝟑𝟔𝟎 𝑴 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟔𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕 = 𝟑𝟎𝟑𝟎𝟔𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕d) Con el año calendario y la tasa de interés anual 𝟗𝟐 𝑰 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎, 𝟎𝟒 = 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟔, 𝟓𝟕𝟓𝟑𝟒𝟐𝟓 𝟑𝟔𝟓 𝑴 = 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟔, 𝟓𝟕𝟓𝟑𝟒𝟐𝟓 = 𝟑𝟎𝟑𝟎𝟐𝟒𝟔, 𝟓𝟕𝟓𝟑𝟒𝟐𝟓Se puede considerar igualmente el cálculo del valor actual, en el que elresultado es lógicamente menor.
  • 10. TASAS EQUIVALENTESTasa nominal es aquella que puede ser capitalizable varias vecesen un año y se denomina (j).Tasa efectiva de interés es la que realmente actúa sobre el capitaluna vez en el año y se denomina (i).Se dice que dos tasa anuales de interés con diferentes períodos deconversión(capitalizable) son equivalentes si se produce el mismo interéscompuesto alfinal de un año.La tasa nominal y efectiva son equivalentes cuando producen lamisma cantidad de dinero al final del año.Así a un capital de $1 al 18% anual capitalizable mensualmente, será: 12 0,18 12 𝑀 =1 1+ = 1 1,05 = 1(1,1956182) 12 𝑀 = 1,1956182
  • 11. A una tasa de interés efectiva del 19,56182%: 𝑀 = 1 1 + 0,1956182 = 1 1,1956182 𝑀 = 1,1956182En este ejemplo se puede apreciar que la tasa nominal, 18% anualcapitalizable mensualmente, es equivalente a la tasa efectiva del19,56182%, puesto que las dos producen el mismo resultado. FORMULA DE EQUIVALENCIA TASA NOMINAL/ TASA EFECTIVA.El monto de $1, a la tasa i en un año, es: 𝑖 1+ 𝑖 =1+ 𝑖 = 𝑀El monto de $1 a la tasa j con m capitalizaciones en el año, es: 𝑚 𝑗 𝑀 = 1+ 𝑚
  • 12. Considerando que los dos montos son iguales , se puede plantear laidentidad 𝑚 𝑗 1+ 𝑖 = 1+ 𝑚Que es la ecuación de equivalencia, que relaciona una tasa efectiva conuna tasa nominal capitalizable varias veces en el año y viceversa, conuna tasa de interés vencida.Tasas equivalentes son aquellas tasas que, con diferentes períodos ducapitalización producen el mismo interés compuesto.Así, para conocer a que tasa efectiva de interés equivale una tasanominal del 18% anual capitalizable trimestralmente, se realiza elsiguiente cálculo: 𝑚 𝑗 1+ 𝑖 = 1+ 𝑚
  • 13. En este caso: 𝑖 =? 𝑗 = 18% 𝑚=4 4 0,18 1+ 𝑖 = 1+ 4 1 + 𝑖 = (1 + 0,045)4 1 + 𝑖 = (1,045)4 1 + 𝑖 = 1,1925186 𝑖 = 1,1925186 − 1 = 0,1925186 𝑖 = 19,25186%También se puede plantear el problema inverso: ¿ A que tasanominal capitalizable trimestralmente es equivalente una tasaefectiva del 19,25186%?Para la solución de este problema utilizamos la ecuación deequivalencia: 𝑚 𝑗
  • 14. Y remplazamos 4 𝑗 1 + 0,1925186 = 1 + 4 4 𝑗 1,1925186 = 1 + 4Para encontrar la repuesta pueden emplearse dos métodos: exponentesradicales y logaritmos.Por exponentes o radicalesElevamos ambos miembros a la misma potencia y la igualdad no se altera. 4 1 𝑗 4 (1,192518) 4= 1+ 4 𝑗 1,045 = 1 + 4 𝑗 1,045 − 1 = 4 4 0,045 = 𝑗 𝑗 = 0,18 𝑗 = 18%𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙, 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
  • 15. Por logaritmos 4 𝑗 log 1,192518 = log 1 + 4 𝑗 0,076465 = 4 log 1 + 4 0,076465 𝑗 = log 1 + 4 4 𝑗 0,019116 = log 1 + 4 𝑗 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑜𝑔 0,019116 = 1 + 4 𝑗 1,045 = 1 + 4 𝑗 0,045 = 4 0,045 4 = 𝑗 𝑗 = 0,18 𝑗 = 185
  • 16. FORMULAS PARA TASA EQUIVALENTES CON CAPITALIZACIÓN CONTINUASe tiene que diferenciar si son tasas para calcular el monto o para elvalor actual.a) Para el monto: 1+ 𝑖𝑐 = 𝑒𝑖 𝑖𝑐 = 𝑒𝑖 −1EJEMPLO:¿A que tasa efectiva es equivalente una tasa del 6% anual concapitalización continua en una serie de depósitos. 𝑖 𝑐 = 𝑒 0,06 − 1 = 0,061836546545 𝑖 𝑐 = 6,1836546545%¿A que tasa anual con capitalización continua es equivalente una tasaefectiva del 6,1836546545%? 0,061836546545 = 𝑒 𝑖 − 1 1,061836546545 = 𝑒 𝑖 𝑙𝑛1,061836546545 = 𝑖 𝑙𝑛 𝑒 0,06 = 𝑖 𝑖 = 6%
  • 17. ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN COMPARANDO TASAS DE INTERÉSCuando se requiere invertir determinado capital en el mercadofinanciero, es frecuente encontrar tasa de interés con diferentes tiposde capitalización, por lo que necesitamos analizar en formamatemática cual es la mejor alternativa, utilizando la ecuación deequivalencia.EJEMPLO:Una empresa desea invertir $ 6000 durante dos años y tiene lassiguientes opciones:a) Una tasa de interés del 4,14% efectivab) Una tasa de interés del 4,1% anual, capitalizable semestralmentec) Una tasa de interés del 4% anual capitalizable trimestralmented) Una tasa de interés del 3,9% anual, capitalizable mensualmente¿Cuál opción le conviene y cuál le produce mayor interés.Este problema se lo puede solucionar de dos formas: analíticamente,utilizando la ecuación de equivalencia, o prácticamente, utilizando laformula del monto con interés compuesto.
  • 18. Solución analíticaSe compara la tasa efectiva del 4,14% con las demás. Con tasa de interés del 4,1% anual, capitalizable semestralmente: 2 0,041 1+ 𝑖 = 1+ 2 𝑖 = 1,04142025 − 1 𝑖 = 0,4142 𝑖 = 4,142% Con la rasa de interés del 4% anual, capitalizable trimestralmente: 4 0,4 1+ 𝑖 = 1+ 4 𝑖 = 1,04060 − 1 𝑖 = 0,04060 𝑖 = 4,06% Con la tasa de interés del 3,9% anual, capitalizable mensualmente: 12 0,39 1+ 𝑖 = 1+ 12 𝑖 = 1,039703 − 1 𝑖 = 0,0397 𝑖 = 3,97%La mejor oferta es la segunda 𝑖 = 4,1% anual, capitalizabletrimestralmente, que da una tasa efectiva del 4,142%
  • 19. Solución prácticaSe calcula con los datos de capital, tiempo y tasa de interés. Con la tasa efectiva del 4,14%: 𝑀 = 6000 1 + 00414 2 = 6507,08 Con la tasa del 4,1% anual, capitalizable semestralmente: 4 0,041 𝑀 = 6000 1 + = 6507,33 2 Con la tasa del 4% anual, capitalizable trimestralmente: 8 0,04 𝑀 = 6000 1 + = 6497,14 4 Con tasa del 3,9% anual, capitalizable mensualmente: 24 0,039 𝑀 = 6000 1 + = 6485,91 12La mejor oferta es la segunda, con un monto de 6507,33. La respuestahallada por la forma analítica siempre debe coincidir con laencontrada por la forma práctica, como se vio en el ejemplo.
  • 20.  Latasa de interés anticipada, es aquella que permite pagar o cobrar los intereses por adelantado; para la aplicación se utiliza la siguiente formula
  • 21. Conociendo que j es una tasa de interésanticipada, puede establecerse que.Entonces:
  • 22. Llevando a criterio a la ecuación deequivalencia, se tiene.Entonces:
  • 23. A que tasa de interes efectiva anticipada esequivalente una tasa anticipada del9%anual, capitalizable cuatrimestralmente?
  • 24. También puede plantearse el problemainverso.A que tasa de interes anticipada anual,capitalizable cuatrimestralmente, esequivalente una tasa efectiva anticipada del9,56827%? 𝑗 ;31+0,0956827 = (1 − ) 3 ;3 ; 1 𝑗 ; 1(1,0956827) 3 = [ 1− ] 3 3
  • 25. 𝑗0,097=1 − 3 𝑗1-097 = 3(0.03)3 = j0,09 = jj= 9% annual capitalizablecuatrimestralmente, anticipada
  • 26. La tasa efectiva o nominal puede calcularse partiendo de la formula del monto a interésLa tasa efectiva o nominal puede calcularsepartiendo de la formula del monto a interescompuesto 𝑛 𝑗 𝑚𝑡M = c(1 + 𝑖) ; 𝑀 = c(1 + ) 𝑚𝑀 = (1 + 𝑖) 𝑛𝐶
  • 27. 𝑀 𝑙𝑜𝑔 𝐶Log = 𝑙𝑜𝑔(1+i) 𝑛Otro método es utilizando exponentes o radicales. 𝑀 = (1+i) 𝑛 𝐶Se elevan ambos miembros a la potencia 1/n 1 𝑀 1/𝑛 ( ) = [ 1 − 𝑖 𝑛] 𝑛 𝐶Y se simplifica el exponente en el segundo miembro 𝑀 1/𝑛( ) = 1+ i 𝐶 𝑀 1/𝑛( ) −1= i 𝐶
  • 28. Un terser metodo as la interpolation detables, que se realiza en forma similar ala interpolación logaritmica. Sin embargo,este metodo casi no se utiliza porque seencuentran tablas fácilmente paradeterminados tipos de interés.𝑀 = (1 + 𝑖) 𝑛𝐶
  • 29. Se busca en las tablas, para undeterminados periodo, la cantidad que seaproxima al coeficiente M/C. Si no seencuentra exactamente se procede ainterpolar.EJEMPLO:A que tasa efectiva se convertira uncapital de $30000 en un monto de $45000en 6 anos/
  • 30. Por logaritmos 6log1.5=log(1 + 𝑖)Log 1,5= 6log(1+i)0,176091 = log 1 + 𝑖 60,029348= log 1 + 𝑖log 0,029348= 1+ i1,069913= 1+ i0,069913=ii= 6,99132%
  • 31. POR EXPONENTES1,5 = (1 + 𝑖)6 1 6(1,5) = (1 + 𝑖) 6 6(1,5)0,1666 = 1 + 𝑖1,069913= 1+ii= 6,99132%
  • 32. POR INTERPOLACION DETABLAS1,5 = (1 + 𝑖)6Se busca en tablas de(1 + 𝑖) 𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 = 67% 1,50073035 1,500000006,50% 1,45914230 1,459142300,50% 0,04158805 0,04085770
  • 33. Se plantea una regla de tres simple, comparando ladiferencia tabular de 0,041588 con la diferenciaentre la cantidad dada y la menor en la tabla, quecorresponde a 0,040857.0,005 -------------0,041588 x--------------- 0,040857X = 0,004120,0650000,0049120,069912 se obtiene i = 6,9912%. aproximadamente
  • 34. A que tasa anual, capitalizable trimestralmente, un capital de $40000 seconvertirá en ¾ veces mas en 5 anos.M = C+ IC = $ 40000 3M = 40000+ 4 400000 = $70000t= 5 ; m= 4; m.t=20 𝑀 𝑗 𝑚.𝑡 = (1 + ) 𝐶 𝑚70000 𝑗 20 = (1 + )40000 40 𝑗(1,75)1/20 =(1 + 4)20/20 𝑗(1,75)1/20 =(1 + 4) 𝑗1,028376= (1 + 4)(0,028376)4 = jj= 11,3504% annual , capitalizable trimestralmente
  • 35. CALCULO DEL TIEMPO EN INTERES COMPUESTO para calcular el tiempo, se debe hallar primero n, por locual se aplica la formula del monto:M = C(1 + 𝑖) 𝑛 𝑗 𝑚.𝑡M = C(1 + ) 𝑚𝑀 = (1 + 𝑖) 𝑛𝐶
  • 36. PARA HALLAR N EXIXTEN DOS ALTERNATIVAS: Por logaritmos, utilizando calculadoras electrónicas o tablas logarítmicas. 𝑀log = 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖) 𝑛 𝐶 𝑀log =n log(1+i) 𝐶 𝑀 log 𝐶 = 𝑛log(1+i) Por interpolación de tablas, con la restricción mencionada, de que a veces no hay tablas para todo tipo de interes.
  • 37. Ejemplo:En que tiempo un capital de $2500 se convertirá en $5625 auna tasa de interes del 24% anual, capitalizablemensualmente.M = $5625C= $ 2500j = 0,24 𝑀 𝑗 𝑚.𝑡 = (1 + ) 𝐶 𝑚5625 0.24 12.𝑡 = (1 + )2500 122.25=(1 + 0,02)12.𝑡
  • 38. Por logaritmos:Log 2,25 = 12t log (1,02) 2,25log = 12𝑡 1,020,352182 = 12𝑡0,00860040.950977= 12t meses.40.950977 = 𝑡 𝑎𝑛𝑜𝑠 123,412501=t anos 1------------360 dias0,412501-------xX= 148,5 díasTiempo = 3 anos , 4 meses y 28,5 dias
  • 39. Por tablasUtilizando tablas de (1 + 𝑖) 𝑛 , se busca el valor correspondiente a 2,25Para i= 2%Cuando n = 41, valor en tablas, 2,252200Cuando n = 40, valor en tablas, -2,208039 0,0441602,250000-2,208039 restamos del menor 0,041960Se aplica la regla de 31 periodo --------------- 0,044160 X ------------------- 0,041960X = 0,950107 luego se suma a n = 4012n = (40 + 0,950170) =40,950170 (meses) 40,950170n= = 3,412514 ( an0 12X=148,51 dias.
  • 40. EL VALOR ACTUAL AL INTERÉS COMPUESTO O CÁLCULO DEL CAPITALEl valor actual a interés compuesto es el valor de un documento, bieno deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerandodeterminada tasa de interés.Por ejemplo las siguientes preguntas, y otras similares, se puedenresponder mediante el cálculo del valor actual : Cuando vale hoy unadeuda de $1000000 que vencera en 5 anos ?. En cuanto se puede venderun documento de $5000 que vence en 4 anos?. La expresion valor actualsignifica el valor de un pago futuro en una fecha determinada antes delvencimiento.El valor actual, valor en el momento presente de los beneficioso de loscostos del fututo , actualizados al costo de oportunidad o de sustitucióndel capital.
  • 41. FORMULA DEL MONTO DE INTERES COMPUESTO.C= M(1 + 𝑖);1 formula del valor actual a interés compuesto,C=M 𝑗(1 + 𝑚);𝑚.𝑡 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑚 𝑦 𝑡C = M𝑒 ;𝑗.𝑡( e =2,718281 fórmula del valor actual de con capitalización continua.

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