Algebra de boole libro

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Algebra de boole libro

  1. 1. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! ALGEBRA DE BOOLEINTRODUCCIÓN nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseñaSi se hace un análisis comparativo del cálculo del hardware, son interpretadas comoproposicional y la teoría de conjuntos, con sus funciones de Boole.conectivos lógicos y las operaciones unión,intersección y complemento respectivamente, se DEFINICIÓN DE ALGEBRA DE BOOLE :observa un comportamiento idéntico. En general, un álgebra cualquiera es una estructuraPosteriormente se verá la misma analogía con el matemática que se define dando un conjunto deálgebra de circuitos de conmutación ( booleanos) elementos , unas operaciones binarias ó leyes deEn efecto, la analogía entre el álgebra de composición interna que se aplican a los elementosproposiciones y el álgebra de conjuntos es tan grande del conjunto. Y unos principios básicos ó axiomas queque no puede ignorarse. Este hecho sugiere la se aplican a éstas leyes de composición interna y apresencia de un modelo matemático abstracto, que los elementos del conjunto.vacío de todo contenido, sirve de soporte tanto a la Para definir el algebra de Boole se necesita unlógica como a la teoría de conjuntos. Este molde o conjunto de elementos que llamaremosestructura que se alcanza a vislumbrar es el ÁLGEBRADE BOOLE. está dotado deEl algebra booleana , estudiada por primera vez en dos leyes de composición interna , que sedetalle por George Boole , constituye un área de las representan: y , que se denominan :matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar ( Producto “y” ) y (Suma “ó” ) , respectivamente:prominente con la aparición y desarrollo de lacomputadora digital , en este caso proporcionan uneslabón entre el álgebra de conjuntos y el cálculoproposicional . Son usadas ampliamente en el diseño Entonces se tiene una estructura de algebra dede circuitos de distribución y computadoras y sus Boole si se verifican estas condiciones y lasaplicaciones van en aumento en muchas otras áreas, siguientes propiedades primitivas ó axiomas, quepor ejemplo: deben cumplir la PROPIEDAD DUAL , entendiéndose Las aplicaciones de la electrónica digital a los ésta como la forma de partir de una propiedad procesos de control y automatismo para obtener otra , mediante la simple sustitución industriales están fundamentadas de por y por , y viceversa, en todos teóricamente en éste sistema matemático. los lugares en que aparezcan; estas son a saber : Esto se debe a que los circuitos digitales ó lógicos operan de un modo binario donde 1º) ASOCIATIVA : cada voltaje ( señal ) de entrada ó de salida es un cero ( 0) ó un uno (1) . Las designaciones 0 y 1 representan intervalos predefinidos de voltaje. Esta característica de los circuitos lógicos permite emplear el 2º) CONMUTATIVA: álgebra booleana en el análisis y diseño de sistemas digitales. En el nivel de lógica digital de una 3º) MODULATIVA: computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los tal que : componentes electrónicos de la máquina, se tal que : trabaja también con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman elEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 1
  2. 2. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!4º) COMPLEMENTARIA: TEOREMA 7º : llamado ley de : LEYES DE DE , existe un único MORGANelemento , , llamado complementario de ,tal que :5º) DISTRIBUTIVA:Cada ley es distributiva respecto a la otra: TEOREMA 1º : llamado ley de : INVOLUCIÓN Demostración: TEOREMAS FUNDAMENTALESSe presentaran un conjunto de teoremas con susduales, seleccionados por la aplicación en lasimplificación que tienen y/o por los hechosfundamentales que establecen , los cuales puedendemostrarse con el uso de los axiomas ó propiedadesprimitivas .TEOREMA 1º : llamado ley de : INVOLUCIÓNTEOREMA 2º : llamado ley de : IDEMPOTENCIA:permite eliminar términos de la forma:TEOREMA 3º : llamado ley de : ACOTACIÓN:TEOREMA 4º : llamado ley de : RECIPROCIDADCOMPLEMENTARIA TEOREMA 2º : llamado ley de : IDEMPOTENCIA: permite eliminar términos de la forma: 2a) De izquierda a derecha :TEOREMA 5º : llamado ley de: ABSORCIÓN :Permite eliminar términos de la forma : :TEOREMA 6º : llamado ley de : COMPLEMENTACIÓN Por propiedad distributiva a laSUCESIVA: inversaEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 2
  3. 3. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!De derecha a izquierda : De derecha a izquierda :2b) 3b)De izquierda a derecha : De izquierda a derecha: Por propiedad distributiva a la izquierdaDe derecha a izquierda : De derecha a izquierda:TEOREMA 3º : llamado ley de : ACOTACIÓN: TEOREMA 4º : llamado ley de : RECIPROCIDAD 3a) COMPLEMENTARIADe izquierda a derecha: 4a) De izquierda a derecha : De derecha a izquierda :Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 3
  4. 4. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!4b) De derecha a izquierda :De izquierda a derecha :De derecha a izquierda :TEOREMA 5º : llamado ley de: ABSORCIÓN :Permite eliminar términos de la forma : TEOREMA 6º : llamado ley de : COMPLEMENTACIÓN : SUCESIVA:5a)De izquierda a derecha : 6a) De izquierda a derecha : De derecha a izquierda : 6b)De derecha a izquierda : De izquierda a derecha :5b) De derecha a izquierda :De izquierda a derecha :Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 4
  5. 5. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!TEOREMA 7º : llamado ley de : LEYES DE DEMORGAN7a)Por el tipo de demostración que merece tiene un solosentido :Se está indicando que el complemento dees . Si esto es así entonces debe cumplir lasdos condiciones que se exigen a un elementocomplementario , el cual debe ser único para cadaelemento del algebra de boole. Los cuales son losdos axiomas complementarios ( axioma 4a y 4b), esdecir: …….Y ….. Tenemos que demostrar que : Con lo cual queda demostrado 6b) Por el tipo de demostración que merece tiene un solo sentido : Se está indicando que el complemento de es . Si esto es así entonces debe cumplir las dos condiciones que se exigen a un elemento complementario , el cual debe ser único para cada elemento del algebra de boole. Los cuales son los dos axiomas complementarios ( axioma 4a y 4b), es decir: …….Y ….. : Tenemos que demostrar que : : Tenemos que demostrar que:Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 5
  6. 6. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! FUNCIONES BOOLEANAS Definición: Sea del conjunto PRODUCTO CARTESIANO , es decir : es : Tenemos que demostrar que: llamada FUNCIÓN BOOLEANA de variables. Se llama EXPRESIÓN BOOLEANA, a la expresión que identifica a la función Booleana , y está estructurada por la combinación en . de uno ó varios productos de variables , ,con ó sin complemento. Cada uno de éstos productos , llamados productos fundamentales , está compuesto por una ó algunas variables distintas , complementadas ó no , llamados minterms incompletos , ó también , el producto fundamental puede estar compuesto por todas las variables distintas correspondientes complementadas ó no en éste caso el producto fundamental es llamado minterm completo ó simplemente minterm. Ejemplo 1: Si Al formar el conjunto de todos los posibles completos , que simbolizaremos con : , se tiene : , éste conjunto se puede obtener de la tabla de verdad para dos proposiciones( como lo veremos más adelante ) ,es decir que pueden salir : MINTERMS. Por tanto el número de funciones está dado por la fórmula : , para el caso funciones donde cada una puede ser un único MINTERM ó una suma de dos ó más MINTERMS, para el caso se tiene por ejemplo que : (Con dos minterms) ( Con tres minterms) ( Con un único minterms) Ejemplo 2 : Si Al formar el conjunto de todos los posibles minterms que simbolizaremos con : Queda demostradoEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 6
  7. 7. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! MINTERMS. Por tanto el número de La forma canónica disyuntiva de una funciónfunciones está dado por la fórmula : , para el , se obtiene a partir de loscaso funciones donde cada una puede valores 1 que toma la función.ser un único MINTERM. ó una suma de dos ó más La única forma en la que un producto deMINTERMS, para el caso se tiene por ejemplo que : todas las variables ( ó sus complementarias ) (Con dos minterms) toma valor 1 es con todos sus factores ( Con tres tomando valor 1 .Así el numero de mintermsminterms) en la forma disyuntiva es igual al numero de ( Con un único minterms) unos ( 1) que aparecen en la tabla de valores de . La forma canónica conjuntiva de unaFORMAS NORMALES DE LAS FUNCIONES función se obtiene a partir deBOOLEANAS los valores 0 que toma la función.Las funciones booleanas pueden adoptar dos formas La única posibilidad para que una suma deútiles para las aplicaciones tecnológicas; tales todas las variables ( ó sus complementarias )expresiones están conformadas por una suma de toma valor 0 es con todos sus términosproductos ó por un producto de sumas , tomando valor 0 .Así el numero dedenominadas : maxterms en la forma conjuntiva es igual al a) LA FORMA NORMAL DISYUNTIVA COMPLETA numero de unos ( 0) que aparecen en la tablaUna función de boole ( no nula ) , con de valores de . se dice que está en forma completa Para una función la suma del numerodisyuntiva ,si la expresión booleana tiene estructura de minterms en la forma canónica disyuntiva y elde suma minterms completos numero de maxterms en la forma canónicaEjemplos: conjuntiva es igual a el cual coincide con el (Con dos minterms) numero de términos de . ( Con tres Ejemplo:minterms) Obtener las formas canónicas disyuntivas y ( Con un único minterms) conjuntiva de la función cuya tabla de verdad es : b) LA FORMA NORMAL CONJUNTIVA COMPLETAUna función de boole ( no nula ) , con 0 0 0 1 se dice que está en forma completa 0 0 1 0conjuntiva ,si la expresión booleana tiene 0 1 0 1estructura de productos maxterms completos; 0 1 1 1donde un maxterm completo ó simplemente 1 0 0 0maxterm , es la suma de las variables diferentes 1 0 1 0definidas en la función , complementadas ó no. 1 1 0 1 1 1 1 1Ejemplos: Forma canónica disyuntiva: (Con dosmaxterms)( Con tres maxterms ) Forma canónica conjuntiva: ( Con un único maxterms) METODOS DE OBTENCIÓN DE LAS FORMAS CANONICAS Ó NORMALES Número de minterms = 5Estas formas completas canónicas disyuntivas ó Numero de maxterms = 3conjuntivas se pueden obtener a partir de: Total = 1º). La tabla de valores de la funciónEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 7
  8. 8. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! 2º). Una función normal disyuntiva ó conjuntiva Obtener la forma canónica conjuntiva de la función incompleta definida en el ejemplo anterior : Se presenta cuando está en la forma Entonces : canónica sólo para una ó para algunas de las Por variables complementadas ó no de la propiedad distributiva dela respecto a la . ( función en cada ó algunos minterms ó Nótese la utilidad de ésta propiedad , la cual consiste maxterms. en separar el producto de las variables y sumarlo conPara obtener la forma canónica ó normal disyuntiva la otra variable común , guardando el producto de lasa partir de una expresión cualquiera conviene sumas por separado)proceder así: Por propiedad  Obtener una suma de productos , aunque modulativa de la y la complementaria de la estos productos no sean minterms. La Por asociativa de propiedad que en mayor medida permita la este procedimiento es la distributiva del producto respecto a la suma: Por la propiedad distributiva , nótese de nuevo la observación hecha antes .  Cada variable que no figure en un producto se puede añadir al mismo al mismo Por propiedad conmutativa de la x multiplicando por el modulo 1 en la forma : Por propiedad idempotencia de la x  Se vuelve a aplicar la propiedad distributiva.Ejemplo: SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOOLENASObtener la forma canónica disyuntiva del a función : Las formas canónicas ó normales de una función : definida por : Booleana en un conjunto son expresiones únicas que identifican cada función Booleana y la diferenciaEntonces : de las restantes funciones . No son , sin embargo , expresiones sencillas ni tienen una forma simplificada , es decir que la función presenta complementosMódulativa y complementaria de la + de sumas y/ó productos de las variables. Por El objetivo de ésta sección es la obtención de( distributiva de la respecto ala ) expresiones simplificadas para las funciones Booleanas , tanto si su expresión inicial es una de las Por Distributiva. formas canónicas como si no Por lo es.conmutativa de la + METODOS COMUNESPor idempotencia de la + . 1º) Método de propiedades del algebra de BoolePara obtener la forma canónica conjuntiva se Consiste en la utilización de las propiedadesprocede así. generales  Transformar la expresión inicial en un ( axiomas y teoremas ) del algebra de Boole. producto de sumas, a través del uso Ejemplos esencialmente de la propiedad distributiva a) Simplificar la función Booleana : : de la suma respecto al producto: definida por:  Una vez obtenido el producto de sumas , cada variable que no figure en una suma Por se puede añadir a la misma sumando el propiedad conmutativa y asociativa modulo : 0 , en la forma : . Por  A continuación se vuelve a aplicar la complementación sucesiva y absorción propiedad distributiva . Por propiedadEjemplo: asociativaEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 8
  9. 9. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! Por propiedaddistributiva Por propiedad deacotación Por propiedad de complementación sucesiva Por propiedad modulativa b) Simplificar la función Booleana : : definida por: Por propiedad asociativa dela x Por propiedad distributiva Por propiedad idempotente – conmutativa – complentaria . Por propiedad asociativa PorpropiedadDistributiva Por propiedad complementaria Por propiedadmodulativa Por asociativa Por idempotente Por distributiva Por complementaria Por modulativaEjemplo : Simplificar mediante propiedadesdel álgebra booleana la función lógica TALLER 1º) Simplificar las siguientes funciones Booleanas :expresada en su forma normal disyuntiva. a) b) c) d) ′+ ′Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 9
  10. 10. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! e) d) f) e) ′+ ′ g) 4º) Simplificar las siguientes funciones mediante la ′′ ley de De Morgan y otras propiedades ó usando las h) tablas : i) a) j) b) k) c) l) d) m) e) n) f) o) 5º) Simplificar y expresarlas en forma canoníca ó normal , simplificada.2º) Escribir cada una de las siguientes funciones en la a)forma normal ó canónica disyuntiva con el menor 0 0 0 0número posible de variables y luego transfórmela a 0 0 1 1su forma completa : 0 1 0 1 0 1 1 0 a) 1 0 0 0 ′ 1 0 1 1 1 1 0 0 b) 1 1 1 0 c) b) d) e) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 03º) Escribir cada una de las siguientes funciones en la 0 1 1 0forma normal conjuntiva con el menor numero 1 0 0 1 1 0 1 0posible de variables y luego transfórmela a su forma 1 1 0 1completa: 1 1 1 1 a) ′ b) c)Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 10
  11. 11. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! c) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 d) 6º) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 7º) 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 e) 0 0 0 1 8º) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 f) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0G) Practicar ejercicios en la forma numérica :Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 11
  12. 12. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 12
  13. 13. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! 2º) Método gráfico : Mapas de Karnaugh 3º) Método iterativo : El método de Quine – Mc Cluskey ( opcional )Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 13
  14. 14. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! Nota: - (punto): significa producto lógico - + (signo de suma): significa suma lógica Operaciones básicasCualquier función de boole que sea una suma deproductos se puede escribir en forma completa desuma de productos . En efecto, si un productofundamental de la expresión booleana de la función ,no usa , entonces podemos multiplicar , a ésteproducto fundamental por , éste se puedehacer ya que : . Continuamos hasta que Ley Distributiva, ley Asociativa, ley Conmutativatodos los productos usen todas las variables . Otraconsideración demuestra que la forma completa desuma de productos es única .Cuando se trabaja con circuitos digitales es muycomún que al final de un diseño se tenga un circuitocon un número de partes (circuitos integrados yotros) mayor al necesario.Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partescorrecta (la menor posible) hay que optimizarlo(reducirlo).Un diseño óptimo causará que:- El circuito electrónico sea más simple Precedencia y Teorema de Morgan- El número de componentes sea el menor- El precio de proyecto sea el más bajo- La demanda de potencia del circuito sea menor- El mantenimiento del circuito sea más fácil.- Es espacio necesario (en el circuito impreso) para laimplementación del circuito será menor.En consecuencia que el diseño sea el más económicoposible.Una herramienta para reducir las expresiones lógicasde circuitos digitales es la matemáticas de Para asegurarse de que la reducción del circuitoexpresiones lógicas, que fue presentada por George electrónico fue exitosa, se puede utilizar la tabla deBoole en 1854, herramienta que desde entonces se verdad que debe dar el mismo resultado para elconoce como álgebra de Boole. circuito simplificado y el original.Las reglas del álgebra Booleana son:Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 14
  15. 15. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! Tabla de verdad1 Circuitos lógicos 2 Tabla de verdad La tabla de verdad es un intrumento utilizado para la simplificación de circuitos digitales a través de su ecuación booleana. Los circuitos lógicos son básicamente un Las tablas de verdad pueden tener muchas arreglo de interruptores, conocidos como columnas, pero todas las tablas funcionan de "compuertas lógicas" (compuertas AND, igual forma. NAND, OR, NOR, NOT, etc.). Cada compuerta lógica tiene su tabla de verdad. Hay siempre una columna de salida (última Si pudiéramos ver con más detalle la columna a la derecha) que representa el construcción de las "compuertas lógicas", resultado de todas las posibles combinaciones de las entradas. veríamos que son circuitos constituidos por transistores, resistencias, diodos, etc., conectados de manera que se obtienen salidas específicas para entradas específicas La utilización extendida de las compuertas lógicas, simplifica el diseño y análisis de circuitos complejos. La tecnología moderna actual permite la construcción de circuitos integrados (ICs) que se componen de miles (o millones) de compuertas lógicas. El número total de columnas en una tabla de verdad es la suma de las entradas que hay + 1 (la columna de la salida). Función booleana Convierte un argumento en un valor booleano. El número de filas de la tabla de verdad es la cantidad de combinaciones que se pueden lograr con las entradas y es igual a 2n, donde Esta función convierte argumentos en valores n es el número de columnas de la tabla de booleanos, según las siguientes reglas. verdad (sin tomar en cuenta la columna de salida) Si el argumento es un número negativo o positivo, se convierte en el valor booleano Ejemplo: en la siguiente tabla de verdad true. Si el argumento es cero o un NaN hay 3 columnas de entrada, entonces value, se convierte en false. habrán: 23 = 8 combinaciones (8 filas) Si el argumento es un conjunto de nodos con contenido, se convierte en true. Un Un circuito con 3 interruptores de entrada conjunto de nodos vacíos se convierte en (con estados binarios "0" o "1"), tendrá 8 false. posibles combinaciones. Siendo el resultado (la columna salida) determinado por el estado Si el argumento es una cadena con de los interruptores de entrada. contenido, se convierte en true. Una cadena vacía se convierte en false.Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 15
  16. 16. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! Si el argumento es un objeto de un tipo tratan las funciones booleanas, distinto a los cuatro tipos básicos, se haciendo una correlación con las fórmulas convierte en un valor booleano de tal proposicionales. Asimismo, se plantean dos modo que dependa de uno de estos tipos. formas canónicas de las funciones booleanas, que EJERCICIOS son útiles para varios propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la1 Sol..- misma función. Pero para otros propósitos son a. menudo engorrosas, por tener más operaciones2 que las necesarias. Particularmente, cuando. Sol..- estamos construyendo los circuitos electrónicos3 Sol..- con que implementar funciones booleanas, el. problema de determinar una expresión mínima4 para una función es a menudo crucial. No. Sol..- resultan de la misma eficiencia en dinero y5 tiempo, principalmente, dos funciones las cuales. Sol..- calculan lo mismo pero donde una tiene menos6 Sol..- variables y lo hace en menor tiempo. Como. solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos7 Sol..- diagramas especiales llamados mapas o. diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la8 limitación de poder trabajar adecuadamente sólo. Sol..- con pocas variables.9 Sol..- Se realizan estas presentaciones con el fin de. demostrar la afinidad existente entre el álgebra de1 boole y la lógica proposicional, y con el objeto de0 Sol..- cimentar el procedimiento de simplificación. presentado en la lógica de proposiciones. Álgebra Booleana. IntroducciónLas álgebras booleanas, estudiadas por primera El álgebra booleana es un sistema matemáticovez en detalle por George Boole , constituyen un deductivo centrado en los valores cero y unoárea de las matemáticas que ha pasado a ocupar (falso y verdadero). Un operador binario " º "un lugar prominente con el advenimiento de la definido en éste juego de valores acepta un par decomputadora digital. Son usadas ampliamente en entradas y produce un solo valor booleano, porel diseño de circuitos de distribución y ejemplo, el operador booleano AND acepta doscomputadoras, y sus aplicaciones van en aumento entradas booleanas y produce una sola salidaen muchas otras áreas. En el nivel de lógica booleana.digital de una computadora, lo que comúnmente Para cualquier sistema algebraico existen unase llama hardware, y que está formado por los serie de postulados iniciales, de aquí se puedencomponentes electrónicos de la máquina, se deducir reglas adicionales, teoremas y otrastrabaja con diferencias de tensión, las cuales propiedades del sistema, el álgebra booleana ageneran funciones que son calculadas por los menudo emplea los siguientes postulados:circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, enla etapa de diseña del hardware, son interpretadas Cerrado. El sistema booleano se consideracomo funciones de boole. cerrado con respecto a un operador binario siEn el presente trabajo se intenta dar una para cada par de valores booleanos sedefinición de lo que es un álgebra de boole; se produce un solo resultado booleano.Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 16
  17. 17. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! Conmutativo. Se dice que un operador P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las binario " º " es conmutativo si A º B = B º A operaciones AND, OR y NOT para todos los posibles valores de A y B. P2 El elemento de identidad con respecto a Asociativo. Se dice que un operador binario " · es uno y con respecto a + es cero. No º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) existe elemento de identidad para el para todos los valores booleanos A, B, y C. operador NOT Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " P3 Los operadores · y + son conmutativos. % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % P4 · y + son distributivos uno con respecto al (A º C) para todos los valores booleanos A, B, otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) y C. = (A+B) ·(A+C). Identidad. Un valor booleano I se dice que es P5 Para cada valor A existe un valor A tal que un elemento de identidad con respecto a un A·A = 0 y A+A = 1. Éste valor es el operador binario " º " si A º I = A. complemento lógico de A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento P6 · y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) inverso con respecto a un operador booleano C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C). " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A. Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además esPara nuestros propósitos basaremos el álgebra buena idea familiarizarse con algunos de losbooleana en el siguiente juego de operadores y teoremas más importantes de los cuales podemosvalores: mencionar los siguientes:- Los dos posibles valores en el sistema booleanoson cero y uno, a menudo llamaremos a éstos Teorema 1: A + A = Avalores respectivamente como falso y verdadero. Teorema 2: A · A = A- El símbolo · representa la operación lógica Teorema 3: A + 0 = AAND. Cuando se utilicen nombres de variables Teorema 4: A · 1 = Ade una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo Teorema 5: A · 0 = 0tanto AB representa la operación lógica AND Teorema 6: A + 1 = 1entre las variables A y B, a esto también le Teorema 7: (A + B) = A · Bllamamos el producto entre A y B. Teorema 8: (A · B) = A + B- El símbolo "+" representa la operación lógica Teorema 9: A + A · B = AOR, decimos que A+B es la operación lógica OR Teorema 10: A · (A + B) = Aentre A y B, también llamada la suma de A y B. Teorema 11: A + AB = A + B- El complemento lógico, negación ó NOT es un Teorema 12: A · (A + B) = ABoperador unitario, en éste texto utilizaremos el Teorema 13: AB + AB = Asímbolo " " para denotar la negación lógica, por Teorema 14: (A + B) · (A + B) = Aejemplo, A denota la operación lógica NOT de Teorema 15: A + A = 1A. Teorema 16: A · A = 0- Si varios operadores diferentes aparecen en unasola expresión booleana, el resultado de la Los teoremas siete y ocho son conocidos comoexpresión depende de la procedencia de los Teoremas de DeMorgan en honor al matemáticooperadores, la cual es de mayor a menor, que los descubrió.paréntesis, operador lógico NOT, operador lógicoAND y operador lógico OR. Tanto el operador Características:lógico AND como el OR son asociativos por la Un álgebra de Boole es un conjunto en el queizquierda. Si dos operadores con la misma destacan las siguientes características:procedencia están adyacentes, entonces se 1- Se han definido dos funciones binarias (queevalúan de izquierda a derecha. El operador necesitan dos parámetros) que llamaremos aditivalógico NOT es asociativo por la derecha. (que representaremos por xUtilizaremos además los siguientes postulados: + y) y multiplicativa (que representaremos porEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 17
  18. 18. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!xy) y una función monaria (de un solo Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cineparámetro) que representaremos por x. si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o2- Se han definido dos elementos (que no. Representemos el voto de cada uno por xi. Ladesignaremos por 0 y 1) función devolverá sí (1) cuando el numero deY 3- Tiene las siguientes propiedades: votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0. Conmutativa respecto a la primera función: x Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la +y=y+x función booleana devolverá 0. Conmutativa respecto a la segunda función: Producto mínimo (es el número posible de casos) xy = yx es un producto en el que aparecen todas las Asociativa respecto a la primera función: (x + variables o sus negaciones. y) + z = x + (y +z) Asociativa respecto a la segunda función: El número posible de casos es 2n. (xy)z = x(yz) Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las Distributiva respecto a la primera función: (x letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles +y)z = xz + yz casos son: Distributiva respecto a la segunda función: Votos Resultado (xy) + z = (x + z)( y + z) ABCD Identidad respecto a la primera función: x + 0 1111 1 =x 1110 1 Identidad respecto a la segunda función: x1 = 1101 1 x 1100 0 Complemento respecto a la primera función: 1011 1 x + x = 1 1010 0 Complemento respecto a la segunda función: 1001 0 xx = 0 1000 0 0111 1Propiedades Del Álgebra De Boole 0110 0 0101 0 1. Idempotente respecto a la primera función: x 0100 0 +x=x 0011 0 Idempotente respecto a la segunda función: 0010 0 xx = x 0001 0 Maximalidad del 1: x + 1 = 1 0000 0 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x = x Inmersión respecto a la primera función: x + Las funciones booleanas se pueden representar (xy) = x como la suma de productos mínimos (minterms) Inmersión respecto a la segunda función: x(x iguales a 1. + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: En nuestro ejemplo la función booleana será: (x + y) = xy f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD + ABCD + Ley de Morgan respecto a la segunda ABCD + ABCD función: (xy) = x + y Diagramas De KarnaughFunción Booleana Los diagramas de Karnaugh se utilizan paraUna función booleana es una aplicación de A x A simplificar las funciones booleanas.x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos Se construye una tabla con las variables y suselementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes,de Boole. siempre que el número de 1 sea potencia de 2.Eduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 18
  19. 19. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción!En esta página tienes un programa para A OR Bminimización de funciones booleanas mediante A AND B.......................Primer paso para aplicarmapas de Karnaugh el teorema de DeMorgan A AND B.....................Segundo paso para aplicar el teorema de DeMorgan4. Álgebra Booleana y circuitos electrónicos (A AND B)..................Tercer paso para aplicar el teorema de DeMorgan (A AND B) = A NAND B.....Definición de ORLa relación que existe entre la lógica booleana y utilizando NANDlos sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se dauna relación uno a uno entre las funciones Si se tiene la necesidad de construir diferentesbooleanas y los circuitos electrónicos de compuertas de la manera descrita, bien hay doscompuertas digitales. Para cada función booleana buenas razones, la primera es que las compuertases posible diseñar un circuito electrónico y NAND son las más económicas y en segundoviceversa, como las funciones booleanas solo lugar es preferible construir circuitos complejosrequieren de los operadores AND, OR y NOT utilizando los mismos bloques básicos. Observepodemos construir nuestros circuitos utilizando que es posible construir cualquier circuito lógicoexclusivamente éstos operadores utilizando las utilizando sólo compuertas de tipo NOR (NOR =compuertas lógicas homónimas NOT(A OR B)). La correspondencia entre laUn hecho interesante es que es posible lógica NAND y la NOR es ortogonal entre laimplementar cualquier circuito electrónico correspondencia de sus formas canónicas.utilizando una sola compuerta, ésta es la Mientras que la lógica NOR es útil en muchoscompuerta NAND circuitos, la mayoría de los diseñadores utilizanPara probar que podemos construir cualquier lógica NAND.función booleana utilizando sólo compuertasNAND, necesitamos demostrar cómo construirun inversor (NOT), una compuerta AND y unacompuerta OR a partir de una compuerta NAND,ya que como se dijo, es posible implementarcualquier función booleana utilizando sólo losoperadores booleanos AND, OR y NOT. Paraconstruir un inversor simplemente conectamosjuntas las dos entradas de una compuerta NAND.Una vez que tenemos un inversor, construir unacompuerta AND es fácil, sólo invertimos la salidade una compuerta NAND, después de todo, NOT( NOT (A AND B)) es equivalente a A AND B.Por supuesto, se requieren dos compuertasNAND para construir una sola compuerta AND, Tablas De Verdadnadie ha dicho que los circuitos implementados Son un medio para describir la manera en que lasólo utilizando compuertas NAND sean lo salida de un circuito lógico depende de los nivelesóptimo, solo se ha dicho que es posible hacerlo. lógicos que haya en la entrada del circuito.La otra compuerta que necesitamos sintetizar es En una tabla se muestra que ocurre al estado dela compuerta lógica OR, ésto es sencillo si salida con cualquier grupo de condiciones deutilizamos los teoremas de DeMorgan, que en entrada, los verdaderos valores de salida dependeránsíntesis se logra en tres pasos, primero se del tipo de circuito lógico.reemplazan todos los "·" por "+" después se El número de combinaciones de entrada será igual ainvierte cada literal y por último se niega la 2 para una tabla de verdad con "n" entradas.totalidad de la expresión: http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/cont enido/capitulo_04.htmlEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 19
  20. 20. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 20
  21. 21. Algebra de Boole . Lic. Eduardo Aldana G Systecom ¡Tu mejor Opción! ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccEduardo Carlos Aldana Guerrero Lic : Matemáticas y Física Unicor 96 21

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