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Sistemas numéricos & Algebra de Boole
 

Sistemas numéricos & Algebra de Boole

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    Sistemas numéricos & Algebra de Boole Sistemas numéricos & Algebra de Boole Document Transcript

    • UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABÍ CAMPUS EL CARMEN ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS SISTEMAS NUMÉRICOS¿Qué son los Sistemas Numéricos?Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permitenconstruir todos los números válidos.Un sistema de numeración puede representarse como:Donde:N: es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).S: es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son{0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D,E, F}.R: son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En unsistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeraciónromana requiere reglas algo más elaboradas.Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común atodos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo sepueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice ala derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas utilizaban un sistema de numeraciónde raíz mixta de base 20 (vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaronindependientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1 Este es el primer usodocumentado del cero en América, aunque con algunas peculiaridades que le privaron deposibilidad operatoria. Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de 1hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias líneas el poder representarlas. Página
    • ClasificaciónLos sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales:Sistemas de numeración no posicionalesEstos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar lacantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usabacuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entreconjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, ylos usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.Sistemas de numeración posicionalesEl número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como basedel sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa quedisponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman unaunidad de orden superior.SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMALes un sistema de numeración donde se toma como base eles un sistema de numeración donde setoma como base elnumero 10 y va desde el 0 al 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) estos números sonlosnumero 10 y va desde el 0 al 9 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)Características:Su base es 10 va del 0 al 9 y con estas cifras se conformansu base es 10 va del 0 al 9 y con estascifras se conformarlos diferentes números que conocemos.SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTALSistema en el que se toma por base el 8 y va del 0 al 7sistema en el que se toma por base el 8 y vadel 0 al 7SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMALSistema de numeración posicional quesistema de numeración posicional quetiene como base el 16y por tanto emplea 16 símbolos este combina letras ytiene como base el 16 y por tanto emplea 16símbolos esta combina letras y números. 2 PáginaCaracterísticas:
    • comprende de los siguientes símbolos(1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f,10)SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO:Es el sistema de numeración que se representa soloes el sistema de numeración que se representasoloutilizando las cifras 1 y 0utilizando las cifras 1 y 0Características:Este sistema es el que se utiliza en los ordenadores ya que trabaja con dos este sistema es el quese utiliza en los ordenadores ya que trabaja con desniveles de voltaje internamente (encendido 1apagado 0). CONVERSIONESDECIMAL A BINARIOPara pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el número a convertir entre lanueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y así sucesivamente hasta que el cocientesea inferior a la base. El último cociente y los restos (en orden inverso) indican los dígitos en lanueva base.Ejemplo:Convertir el 100 en binario.BINARIO A DECIMAL 3 PáginaPara pasar de una base cualquiera a base 10, basta con realizar la suma de los productos de cadadígito por su valor de posición. Los valores de posición se obtienen como potencias sucesivas de la
    • base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada resultado obtenido sesuma, y el resultado global es el número en base 10.Ejemplo:El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguientemanera:Entonces sumamos los valores que tengan el unoBINARIO A OCTALPara convertir un número binario a su expresión octal agrupamos los dígitos de tres en tres dederecha a izquierda y si en la última agrupación no se completan los tres dígitos los completamoscon ceros y cada grupo de tres representa un digito en octalEjemplo: 10011012 (1 1 5)8HEXADECIMAL A DECIMALComo la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimalrepresenta tantas veces un valor sucesivo potencia de 16Ejemplo: (1234)16 1*(16)³ + 2*(16)² + 3*(16)¹+ 4*(16)0Lo que da como resultado: 4096 + 512 + 48 + 4 = (4660)10 4 Página
    • TABLA DE CONVERSION: DECIMAL BINARIO OCTAL HEXAGESIMAL 0 00000 0 0 1 00001 1 1 2 00010 2 2 3 00011 3 3 4 00100 4 4 5 00101 5 5 6 00110 6 6 7 00111 7 7 8 01000 10 8 9 01001 11 9 10 01010 12 A 11 01011 13 B 12 01100 14 C 13 01101 15 D 14 01110 16 E 15 01111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24 14 ALGEBRA BOOLEANAEl algebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado enlos valores 0 y 1 (falso yverdadero). Un operador binariolos valores 0 y 1 (falso y verdadero). Un operador binario Elalgebra booleana es ahora implementada mas que todo para los equipos .El algebra booleana esahora implementada mas que todo para lossistemas de computación en los que es llamado elhardware ysistemas de computación en los que es llamado el hardware ycircuitos electrónicos ydigitalescircuitos electrónicos y digitales. Suma de números BinariosLas posibles combinaciones al sumar dos bits son 5 Página 0+0=0 0+1=1
    • 1+0=1 1 + 1 = 10 100110101 + 110101011 + 1 =1 —————— 1000001010Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, ennuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1(este "1" se llama arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 +0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).La suma binaria se puede realizar cómodamente siguiendo las tres reglas descritas: 1º Si elnúmero de unos (en sentido vertical) es par el resultado es 0. 2º Si el número de unos (ensentido vertical) es impar el resultado es 1. 3º Acarreo tantos unos como parejas(completas) de números 1 haya. Por ejemplo: 0 + 0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 se pone 0 yse acarrea un 1 a la posición siguiente Hay que sumar 1010 (que en decimal es 10) y 1111(que en decimal es 15). 10 + 15 = 25 10110 100100 10.1 +11100 + 10010 +11.01 110010 110110 101.111 + 1 =10 + 1 =11 + 1 =10Ejemplo:Sumar: 20 1 0 1 0 0 10 1 0 1 0 6 30 1 1 1 1 0 Página
    • 0 + 1 =1 241 + 1 =10 30Ejemplo:Sumar: 30 0 1 1 1 1 0 20 1 0 1 0 0 50 1 10 0 1 0 50 Resta de números binariosEl algoritmo de la resta en binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero convienerepasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que esmás sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo ydiferencia.Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al próximo.La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestadade la posición siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 =1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente.Ejemplos:Restamos 17 - 10 = 7 Restamos 217 - 171 = 46 7 10001 11011001 Página -01010 -10101011 —————— —————————
    • 00111 001011107 46Restamos 35 - 15 Restamos 50 - 11 100011 0110010 001111 001011—————— —————— 010100 10011120 3 Multiplicación de números binariosEl algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se llevacabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es elelemento neutro del producto.Por ejemplo, multipliquemos 22 por 9 = 198 10110 1001 ————————— 10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110198Multiplicar: 25 * 5 = 125 811001 Página 00101 11001
    • 00000 11001 00000 00000 001111011125División de números binariosLa división en binario es similar al decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer lasrestas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario. Por ejemplo, vamos adividir 100010010 (274) entre 1101 (13)= 20 100010010 |1101 ——————- 0000 010101 010101——————— 10001- 1101——————— 01000 20 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001 9 Página