1. Cl a si fi ca ci ón de fun ci o ne s
Fu n ci on e s a l ge b rai ca s
E n la s fun ci o ne s al g eb ra i ca s la s op e ra ci o n e s qu e h a y
qu e e fe ctu a r co n la va ri a b le i nd e p en d ie n te so n : la a di ci ón ,
s u s tra cci ó n , mu l ti pl i ca ci ó n , di vi si ó n , p o te n ci a ci ón y
r ad i ca ci ó n .
La s fun ci o ne s al g eb ra i ca s pu e d en se r:
Fu n ci o n e s e xp l íci ta s
Si se pu e d en o b te ne r l a s i má ge n e s de x po r si mpl e
s u s ti tu ci ó n .
f(x) = 5 x − 2
Fu n ci o n e s i mp l íci ta s
Si no se pu e de n ob te n e r la s imá g en e s d e x po r si mp le
s u s ti tu ci ó n , si n o qu e es pre ci so e fe ctu a r op e ra cio n e s.
5x − y − 2 = 0
Fu n ci o n e s po l in ó mi ca s
2. S on la s fu n ci on e s que vie n e n d e fin i da s po r un
po l in o mi o .
f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x² + a 2 x³ +··· + a n x n
S u d o min i o es , e s de ci r, cua l q ui e r nú me ro re a l tie n e
im a g en .
Func ione s c ons ta nte s
El cri te ri o vi en e da d o po r un nú me ro rea l .
f(x)= k
La grá fi ca e s u n a re cta h o ri zo n tal pa ra le l a a a l e je de
ab s ci sa s.
Fu n ci o n e s po l in ó mi ca de p ri me r g ra do
f(x) = mx +n
S u g rá fi ca e s un a re cta o bl i cu a , q u e qu e d a de fi n i da
po r do s p u n to s d e la fu n ci ó n .
Fu n ci ó n a fín .
Fu n ci ó n l in e al .
Fu n ci ó n i de n ti d ad .
Func ione s c ua dr á tic a s
f(x) = a x² + b x +c
S on fun ci o ne s po l in ó mi ca s es de se g u nd o gra d o ,
si e n do su g rá fi ca u n a p a rá b ol a .
Func ione s a tr ozos
3. S on fun ci o ne s de fi n id a s p o r d i stin to s cri te ri o s, se g ú n
lo s in te rval o s qu e se co n si d e ren .
Fu n ci o n e s en va l o r a b so l u to .
Fu n ci ó n p a rte e n te ra de x .
Fu n ci ó n ma n ti sa .
Fu n ci ó n si gn o .
Func ione s r a c iona le s
El cri te rio vi en e d ad o po r un co ci en te e n tre
po l in o mi o s:
El d o mi n i o l o fo rman to d o s lo s nú me ro s re a l e s e xce p to
lo s va l o re s de x qu e an ul a n e l d en o min a d o r.
Func ione s r a dic a le s
El cri te rio vi en e d ad o po r l a va ri ab l e x b a jo e l si g no
r ad i cal .
El do mi ni o d e u n a fu n ci ó n i rra ci o n al de ín d i ce i mp a r
es R.
El d o mi n i o d e un a fu n ci ó n irra ci on a l de ín di ce pa r e stá
fo r mad o po r to d o s lo s val o re s qu e ha ce n qu e el rad i ca nd o
s ea ma yo r o ig ua l q u e ce ro .
Fu n ci on e s tra sce n de n te s
La va ria b le i nd e p en d i en te fi g u ra co mo exp o ne n te , o
c o mo ín d i ce d e la ra íz, o se h al l a a fe cta d a de l sig n o
lo g a ri tmo o de cu al q u ie ra de l o s si g no s q ue e mpl e a la
tr i go n o me tría .
Func ión ex pone nc ia l
4. S ea a un n ú me ro rea l po si ti vo . L a fu n ci ón q ue a cad a
nú me ro re a l x l e ha ce co rre sp on d e r la po te n ci a a x se ll a ma
fu n ci ó n e xpo n e n ci a l d e ba se a y e xp o n en te x .
Func io ne s loga r ítm ic a s
La fun ci ó n lo g a rítmi ca e n b a se a e s la fun ci ó n in ve rsa
de la e xp on e n cia l e n b a se a .
Func io ne s tr igonom é tr ic a s
Fu n ci ó n se no
f(x) = sen x
Fu n ci ó n co sen o
f(x) = co s x
Fu n ci ó n ta n ge n te
f(x) = tg x
Fu n ci ó n co se ca n te
f(x) = co se c x
Fu n ci ó n se can te
f(x) = se c x
Fu n ci ó n co ta ng e n te
f(x) = co tg x
5. La función constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de
abscisas.
Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones,
ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea
función sólo puede tener una. Son del tipo:
x = K
6. La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de
coordenadas.
y = 2x
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
7. Pendiente
m es la pendiente de la recta.
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje
de abscisas.
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la
recta con la parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma
la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.
8. F un c i ó n i d e n t i d a d
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su
gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx +c
9. Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo
que tendremos:
ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
10. En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo
que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
x v = − (−4) / 2 = 2 y v = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
11. La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada
número real x le hace corresponder la potencia ax se llama
función exponencial de base a y exponente x.
x y = 2x
-3 1/8
13. -1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
P r o p i e d a d e s d e l a fu n c i ó n e x p o n e n c i a l
Dominio: .
Recorrido: .
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un
original).
14. Creciente si a >1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje
OY.
E c u a c i o n e s ex p o n e n c i a l e s
Ejercicios de ecuaciones exponenciales
Sistemas de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de si s t e m a s de ecuaciones de
e c u a c i o n e s ex p o n e n c i a l e s
Lí m i t e d e l a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l
15. La función logarítmica en base a es la función inversa de
la exponencial en base a.
x
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
17. P r o p i e d a d e s d e l a s fu n c i o n e s l o g a r í t m i c a s
Dominio:
Recorrido:
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica
(respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la
función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas
entre sí.
19. Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.
1
2
3
4
5
De la definición de logaritmo podemos deducir:
20. No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es
igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
21. 2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor.
3El logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base.
4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el
logaritmo del radicando y el índice de la raíz.
5Cambio de base:
Logaritmos decimales
22. Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
Ejercicios de logaritmos
Ecuaciones logarítmicas
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Sistemas de ecuaciones logarítmicas
Ejercicios de si s t e m a s de ecuaciones
logarítmicas
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