Gregory cordero est. disc. unidad i

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Unidad I Estruc. Disc

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  • 1. Gregory Cordero C.I. 14.879.114 SAIA B Noviembre 2012Cabudare-Edo. Lara
  • 2. Operaciones Veritativas: Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos oconectivos que nos permiten construir otras proposiciones; osimplemente unir dos o más proposiciones, a partir deproposiciones dadas. Se le llama conectivos lógicos a losconectivos: y; o; o…o; si,.. Entonces; sí y sólo si; no ;Ejemplo: p: Marte es un planeta ; q: el sol es una estrella.1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.3)Marte es una estrella sí y sólo si el sol es una estrella.
  • 3. NOTA IMPORTANTE: Cuando una proposición no contieneconectivos lógicos diremos que es una proposición atómica osimple; y en el caso contrario, diremos que es una proposiciónmolecular o compuesta.Proposición atómica o simple:1) Marte es un planeta2) El sol es una estrellaproposición molecular o compuesta:1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.3)Marte es una estrella sí y sólo si el sol es una estrella.
  • 4. TABLA SIMBOLICA
  • 5. La negación Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad.Ejemplo: p: Barcelona es un estado Oriental.~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.~ p: Barcelona no es un estado Oriental.
  • 6. La conjunción Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:Ejemplo:p: el negro primero peleo en Carabobo.q: Bolívar murió en Colombia.p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió enColombia.Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.
  • 7. La disyunción inclusiva Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:Ejemplo:p: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimetoq: La estatua de Miranda está en Caracas.p v q: La estatua de la Divina Pastora está en Barquisimeto o Laestatua de Miranda está en Caracas.VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.
  • 8. La disyunción exclusiva Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición pvq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla.Ejemplo: p: 17 es un número primo; q: 17 es un número parp v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par.VL(p v q) = 1, ya que VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
  • 9. El condicional Sean p y q dos proposiciones. El condicional conantecedente p y consecuente q es la proposición p →q, que selee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por lasiguiente tabla:Ejemplo:Observe las proposiciones condicionales siguientes:1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
  • 10. Condicionales Asociados Dado un condicional p→q podemos asociarles lossiguientes condicionales:1. Directo: p →q2. Recíproco: q →p3. Contrarrecíproco: ~ q → ~ p4. Contrario: ~ p → ~ q
  • 11. Ejemplo Escribir el recíproco, contrarrecíproco y contrario delsiguiente condicional: Si 5 es primo entonces 7 es impar.Solución* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es impar.* Contrarrecíproco: Si 7 no es impar entonces 5 no es primo.
  • 12. El Bicondicional Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicionalde p y q a la proposición p↔q, que se lee "p si sólo si q", o "pes condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógicoes dado por la siguiente tabla.La tabla nos dice que p↔q es verdadero cuando VL(p) = VL(q),y esa falsa cuando VL(p) ≠VL(q)Ejemplo: p: 2 + 1 = 3 ; q: 2< 3 p↔q : 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3
  • 13. Formas Proposicionales A las nuevas expresiones que se obtienen al aplicar losconectivos lógicos a las variables proposicionales p, q, r, s, t,entre otros., se les llaman formas proposicionales, porejemplo: t→ (q ^ ~ r) ~ [(p↔ s)^ (r↔ q)] son formasproposicionales y podemos decir, para ser más preciso que lasvariables proposicionales también son formas proposicionales.
  • 14. Tablas de Verdad de las Formas Proposicionales Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdadde una proposición compuesta y depende de las proposicionessimples y de los operadores que contengan.Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen delnúmero de proposiciones dadas.Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinacionesPara dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinacionesPara tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinacionesPara n proposiciones tenemos 2n combinaciones
  • 15. Tautologías y ContradiccionesProposición Tautológica o Tautología Es aquella proposición molecular que es verdadera (es decir,todos los valores en su conectivo principal de su tabla de verdad son(1) independientemente de los valores de sus variables.Ejemplo:Probar que P v ~ P es una tautología P v ~P 1 1 0 0 1 1
  • 16. Contradicción Es aquella proposición molecular que siempre es falsa (es decircuando los valores de su conectivo principal son todos 0)independientemente de los valores de sus variables proposicionales que laforman.Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguiente es unacontradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos al método de las tablasde verdad.Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción pÙ~p 100 001
  • 17. Leyes del Algebra de ProposicionesLeyes Idempotentes1.1. p ^ p =p1.2. p v p = p2.Leyes Asociativas2.1. (P v q) v r =p v (q v r)2.2. (P ^ q) ^r = p ^(q ^ r)3. Leyes Conmutativas3.1. P ^q = q ^p3.2. P v q = q v p4. Leyes Distributivas4.1. P v ( q ^ r ) = ( p v q ) ^ (p v r)4.2. P ^ ( q v r ) = ( p ^q ) v (p ^ r)5. Leyes de Identidad5.1. P v F =P5.2. P ^ F = F5.3. P v V = V5.4. P ^ V =P
  • 18. 6. Leyes de Complementación6.1. P v ~ P = V (tercio excluido)6.2. P ^ ~ P = F (contradicción)6.3. ~ ~ P = P (doble negación)6.4. ~ V = F, ~ F = VOtras Equivalencias Notablesa. p→ q = ~ p v q (Ley del condicional)b. p↔ q = (p→ q) ^ (q→ p) (Ley del bicondicional)c. p v q = ( p ^ ~ q ) v ( q ^ ~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)d. p→ q = ~ q→ ~ p (Ley del contrarrecíproco)e. p^q=~(~pv~q)f. (p v q ) → r ) = ( p → r ) ^ (q → r ) (Ley de demostración por casos)g. g. (p→ q) = (p ^ ~ q →F) (Ley de reducción al absurdo)
  • 19. IMPORTANTE Una de las grandes utilidades de las leyes dadasanteriormente es que nos permiten simplificar proposiciones.El procedimiento de probar que una proposición esequivalente a otra usando las leyes del álgebra proposicional,es llamada prueba deductiva.
  • 20. EjemploProbar deductivamente la ley de exportación( p ^ q ) → r ) = ( p → (q → r )Solución( p ^ q ) → r = ~ ( p ^ q ) v r ( Ley condicional )= (~ p v ~ q) v r ( Ley de De Morgan)= ~ p v (~ q v r ) ( Ley asociativa )= ~ p v (q → r) ( Ley condicional)= p → (q → r) ( Ley condicional)
  • 21. Circuitos Lógicos Los circuitos lógicos o redes de conmutación lospodemos identificar con una forma proposicional. Es decir,dada una forma proposicional, podemos asociarle uncircuito; o dado un circuito podemos asociarle la formaproposicional correspondiente. Además, usando las leyesdel álgebra proposicional podemos simplificar los circuitosen otros más sencillos, pero que cumplen la misma funciónque el original.
  • 22. Veamos los siguientes interruptores en conexión:La conexión en serie: p^qLa conexión en paralelo: pvq
  • 23. Ejemplo Construir el circuito correspondiente a la siguiente expresión: (p ^ q) v [( p ^ r) v ~ s)]Solución:
  • 24. Ejemplo: Simplificar el siguiente circuito:(p v q)^ (~ p v q)^ (~ p v ~ q) = [(p v q)^ (~ p v q)] ^ (~ p v ~ q)= [(p ^ ~ p) v q] ^ (~ p v ~ q)= [F v q] ^ (~ p v ~ q)= q ^ (~ p v ~ q)= ( q ^ ~ p) v (q ^ ~ q)= ( q ^ ~ p) v F= ( q ^ ~ p) ; esto es equivalente a: