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    Tesis Tesis Document Transcript

    • P. Fire invento los llamados fire codes, cuales son códigos cíclicos binarios diseñados específicamente para corregir singulares burst de errores.
      DISEÑO: sea p(x) un polinomio irreducible de grado m sobre 6f (2). U p ser el mas pequeño entero tal que p(x) divide Xp -1 p es llamado el periodo de p(x). sea 1 un entero positivo tal que 1≤m y pX2p-1 . Sea g(x) el polinomio general definido por
      gx=x21-1 ±1(px)
      Observar que lao partes p(X) y x21-1+1 son primos relativos la longitud n del código es el menor común múltiple de 21-1 y el periodo
      n=LCM(21-1,p)
      Y la dimensión de los códigos es K=n-m-21+1
      especificaciónPara un polinomio irreducible p(x) de grado tLongitud n=LCM(21-1,p) donde p es el periodo de p(X)Símbolos de informaciónK=n-3t+1Polinomio generador gx=x2t-1-1p(X)Capacidad de control de erroresCorrige burst de longitud t
      Ejemplo: con pX=1+x+x4 como polinomio primitivo, y entonces p=24-1=15 sea 1=4 y notar que 21-1=7 y 7 no es divisible por 15. Por lo tanto el código de fuego tiene generador.
      gX=x7-11+x+x4=1+x+x4+x7+x8+x11
      Con longitud y dimensión
      n=LCM7,15=105y K=94
      Definición: un polinomio p(X) sobre un campo es dicho tener periodo p tal que p es el mas pequeño tal que p(X) divide xp-1 (tomar en cuenta que p(X) genera un código cíclico d e longitud n)
      Definición: un fire code es un código cíclico con un polinomio generador
      gx=x2t-1-1p(X)
      Para algún polinomio irreducible p(X) de grado a lo menos t y un periodo no divisible por 2t-1 la longitud del código es el menor común múltiplo de 2t-1 y el periodo.
      Teorema: el fire code es generado por gx=(x2t-1)p(X) y corrige errores burst de longitud t.
      Un código reed-salomon
      En 6F (q) es un código BCH de longitud N=q-1. Por su puesto, por su puesto que nunca es 2. También es un código cíclico con polinomio generador gX=(x-∝bx-∝b+1⋯(x-∝b+s-2 ), donde ∝ es un elemento primitivo de 6F (Q). La dimensión es K=N-S+1 y la mínima distancia es S. (frecuentemente b=1) el código Red-salomón es un MDS (máxima distancia separable). Pueden ser extendidas a los siguientes códigos [q+1,k,q-k+2] y si q=2m [2m+2,3,2m] y [2m+2,2m-1,3], los códigos Reed-Salomón son importantes por unas razones:
      Son códigos naturales que se usan que se usan cuando se requiere una longitud menor que el tamaño del campo. Por ser MDS tienen las mas altas posible distancia mínima.
      Son convenientes para construir otros códigos. (como veremos) pueden ser transportados a códigos binarios con una gran distancia mínima. Son usados para construir códigos concatenados y tustesen.
      Son muy útiles para corregir errores en forma de burst.
      Teorema: supóngase que F es un campo de orden 2n, sea C un código Red-Salomón (2n-1,t) en F[x]. Entonces c(X) t F(X) de grado menor que 2n-1 esta en C si y únicamente si Cai=0 para i=1,2,……,2t.
      METODO DE CORRECION DE ERRORES REED-SALOMON
      Si F es un campo 2ny sea C un código RS(2n-1,t) en F[x]. Cuando c(X)tc es trasmitido y se recibe r(X) donde r(X)=c(X)+e(X) para cualquier error polinomial e(X) en F(X) de grado menor que 2n-1, nosotros podemos utilizar los siguientes pasos para determinar c(X).
      Calcular los syndromes de r(X), de la siguiente manera s1=ra,s2=ra2,…..,s2t=r(a2t). Después formar el polinomio syndrome Sz=s1+s2z+s3z2+…+s2tz2t-1.
      Construir la tabla del algoritmo euclidiano para el polinomio z2t y S(z) en F[z] y detenerse hasta que el primer renglón j donde grad (rj)Encontrar la posición del error en r(x) encontrando las raíces de Ѵ(Z). si las raíces de Ѵ(Z) son ai1,ai2,ai3,…aik entonces las posiciones del error contenidas en r(X) seran x-i1,x-i2,…x-in.
      Para encontrar los coeficientes de e(X) en dichas posiciones del error usaremos el termino x-i en e(X) en la siguiente formula:
      e-i=r(ai )Ѵ1 (ai )
      Teorema: sea C un codigo Redd-Salomon en f2m donde n=2m-1, entonces
      ⊘*C≔{(⊘(C0) ,…, ⊘(Cn-1):C0,…,Cn-1EC}
      Es un código binario [mn,mk] con distancia mínima de al menos n-k+1.
      Para un código Reed-Salomón C, el código ⊘*C no puede correguir demaciados errores aleatoriamente debido a que la distancia no es muy grande. Sin embargo, puede corregir mucho mas errores en forma de burst.
      Teorema: sea C un código reed-salomon en F2m entonces el código *(C) puede corregir m [(n-k)2]-m+1 errores en forma de burst, donde n=2m-1 es la longuitud del código.
      POTENCIAELEMENTO DEL CAMPO4-TUPLEa1a0100a2a20010a3a30001a4a+11100a5a2+a0110a6a3+a20011a7a3+a+11101a8a2+11010a9a3+a0101a10a2+a+11110a11a3+a2+a0111a12a3+a2+a+11111a13a3+a2+11011a14a3+11001a1511000000000
      Para construir un código Reed-Salomón, comenzamos por elegir primero un polinomio primitivo p(X). similar a los códigos BCH, las palabras códigos de un Reed-Salomón son polinomios de grado menor que 2n-1, sin embargo en un BCH los elementos están en z2[x] y las palabras código de un Reed-Salomón son elementos en F[x] y además, F=z2x/p(x).
      Para construir un código Reed-Salomón que corrija t errores usamos el siguiente polinomio generador gx=x-ax-a2…(x-a2t) en f[x].
      Ejemplo: para diseñar un código Reed-Salomón que corrija 2 errores primero elegimos el polinomio generador con px=x4+x+1 E z2[x]. Usando el campo F donde F=z2x/p(x), se obtiene el siguiente polinomio generador:
      gx=x-ax-a2x-a3(x-a4)
      =(x2+a2+ax+a3)(x2+a4+a3x+a7)
      =x2+a5x+a3(x2+a7x+a7)
      =x4+a7+a5x3+a7+a12+a3x2+a12+a10x+a10
      =x4+a13x3+a6x2+a3x+a10
      Existe un método para convertir una palabra código Reed-Salomón en un vector binario. Por únicamente tomar las coeficicientes de la palabra código y transformarlos en elementos del campo finito del orden 2n. Estos coeficientes podrán ser expresados como polinomios de grado menor que n con coeficientes en z2.
      Para nuestro ejercicio hay 17592186044416 palabras código.
      Una palabra código C es trasmitido y el vector binario recibido es el siguiente:
      (0000 0000 0000 1111 0110 0001 1011 0111 0100 0111 0010 1001 1010 1110 0000)
      rx=1+a+a2+a3x3+a+a2x4+a3x5+1+a2+a3x6+a+a2+a3x7+ax8+a+a2+a3x9+a2x10+1+a3x11+1+a2x12+(1+a+a2)x13
      Siguiente paso es expresar los exponentes polinomiales de r(x) como una simple potencia de a
      rx=a12x3+a5x4+a3x5+a13x6+a11x7+ax8+a11x9+a2x10+a14x11+a8x12+a10x13