EstadíStica Nº 04 Medidas Estadisticas

Parámetros y estadísticos
Parámetro: Es una cantidad numérica calculada sobre una población
La altura media de los individuos de un país
La idea es resumir toda la información que hay en la población en unos pocos números (parámetros).
Estadístico: Ídem (cambiar población por muestra)
La altura media de los que estamos en este aula.
Somos una muestra (¿representativa?) de la población.
Si un estadístico se usa para aproximar un parámetro también se le suele llamar estimador .
Normalmente nos interesa conocer un parámetro, pero por la dificultad que conlleva estudiar a *TODA* la población, calculamos un estimador sobre una muestra y “confiamos” en que sean próximos. Más adelante veremos como elegir muestras para que el error sea “confiablemente” pequeño.

Tipos de Mediciones

MEDIA O PROMEDIO Esta es una de las medidas de tendencia central más usadas. Existen 3 tipos de medias: Media aritmética, Media geométrica, Media harmónica La media aritmética tal como se define, se puede calcular a partir de: a) Datos No Agrupados: La media que se obtiene a partir de “n” datos originales Xi se denomina MEDIA ARITMETICA SIMPLE.

Ejemplo
En una muestra de presupuestos familiares, se ha obtenido la siguiente información respecto al numero de hijos de 21 familias
La variable es el numero de Hijos por familias, es decir X i = Nº de hijos/ familia, donde los 21 valores de la variable serian X 1, X 2 ... X 21 N = 21 Entonces el valor de la media (Nº de los hijos) será: Redondeando por se variable discreta, se tiene que el numero de hijos promedio por familia es = 2 3 2 3 1 3 2 0 3 3 3 3 2 1 2 1 4 1 1 2 2 2 3

b) DATOS AGRUPADOS EN TABLAS
Los datos se pueden presentar o agrupar en tablas sin intervalos y en tablas con intervalos , en ambos casos se usa la Media Aritmética Pondera.
Tablas sin Intervalo (Ejemplo) Hijos por familia 44 21 TOTAL 4 1 4 21 7 3 14 7 2 5 5 1 0 1 0 X i *n i Nº de familias F i Nº hijos X i

TABLAS CON INTERVALOS
El calculo de la media es a partir del uso de la “marca de clase” Y i para representar el valor de cada elemento incluido en su respectivo intervalo.
crom. 2685 90 total 42,5 1 42,5 44 41 118,5 3 39,5 41 38 109,5 3 36,5 38 35 368,5 11 33,5 35 32 823,5 27 30,5 32 29 1100 40 27,5 29 26 122,5 5 24,5 26 23 X i n i n I X i (Y´ i-1 - Y´ i ] Nº de cromosomas ponderadas Nº de herbáceas Marca de clase Nº de cromosomas

Observación:
Para un mismo conjunto de datos se obtiene valores ligeramente diferentes para su media; hay que tener presente que toda agrupación de intervalos siempre produce sesgos, y ésta es una característica del trabajo estadístico. Los estadígrafos no son valores exactos, pero si son representativos de una realidad.

MEDIANA (Me) Para un conjunto de datos ORDENADOS de mayor a menor, la mitad de los valores serán menores o iguales a la MEDIANA mientras que la mitad restante será mayor o igual a la MEDIANA X mín X máx Me 50% 50% La mediana divide una distribución de frecuencia en 2 mitades

El ritmo cardíaco de 9 pacientes asmáticos en estado de paro respiratorio : 167-125-120-150-150-40-136-120-150 Para datos no agrupados 40 -120- 120-125- 136 - 150-150-150- 167 El ritmo cardíaco de 10 pacientes asmáticos en estado de paro respiratorio : 167-150-125-120-150-150-40-136-120-150 40-120-120-125- 136-150 -150-150-150-167

El número de hijos en 80 familias se distribuye de la siguiente forma: PARA DATOS AGRUPADOS Es aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones 7 7 13 5 10 6 15 4 80 12 3 10 2 8 1 5 5 0 Ni ni Nº de hijos Me = 4 hijos

Para calcular la mediana se usa la siguiente fórmula: Donde: L i-1 = Límite inferior del intervalo que contiene a la mediana F i-1 = Frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al que contiene a la mediana n i = Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana a i = Amplitud del intervalo que contiene a la mediana PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

Ejemplo ... 4 49.5 – 54.5 12 44.5 – 49.5 20 39.5 – 44.5 14 34.5 – 39.5 8 29.5 – 34.5 f Intervalo 58 54 42 22 8 F

MODA
Se refiere al valor de la variable que más se repite en una distribución de frecuencia, o el valor que está representado por el mayor número de observaciones
En un gráfico de barra o histograma la moda corresponde al valor en que la distribución alcanza el máximo

MODA PARA DATOS AGRUPADOS La Moda son 4 hijos 7 7 13 5 10 6 15 4 80 12 3 10 2 8 1 5 0 ni Nº de hijos

Si la distribución es un histograma existe la Intervalo (CLASE) MODAL la MODA es la marca de clase del intervalo que contiene la mayor frecuencia

Dependiendo del número de modas que tenga la distribución de frecuencias se hablará de una distribución ...
Un Máximo = Unimodal
Dos Máximos = Bimodal
Más de 2 máximos = Multimodal

Para calcular la moda se usa la siguiente fórmula: Donde: L i-1 = Límite inferior del intervalo que contiene a la mediana n i = Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la moda n i+1 = Frecuencia absoluta inmediata superior n i-1 = Frecuencia absoluta inmediata inferior a i = Amplitud del intervalo que contiene a la mediana

43 TOTAL 1 28.5 - 31.5 9 25.5 - 28.5 9 22.5 - 25.5 13 19.5 - 22.5 9 16.5 - 19.5 2 13.5 - 16.5 Frecuencias Intervalos Agrupando en 6 clases A 43 TOTAL 1 28.5 - 32.5 11 24.5 - 28.5 16 20.5 - 24.5 13 16.5 - 20.5 2 12.5 - 16.5 Frecuencias Intervalos Agrupando en 5 clases B Clase Modal = 19.5-22.5 Clase Modal = 20.5-24.5 Moda = ? Moda = ? En el caso de frecuencias agrupadas, la MODA varía según la forma de agrupar

DISTRIBUCIONES SIMETRICAS - ASIMETRICAS Si Md<Me<Y : Asmétrica Positiva

DISTRIBUCIONES SIMETRICAS - ASIMETRICAS Si Y<Me<Md : Asimétrica Negativa

MEDIDAS DE POSICIÓN
LOS CUANTILES
Son valores que dividen a la distribución en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de observaciones. Los que más se utilizan son: los CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES.
Los CUARTILES son 3 valores que dividen a la distribución en 4 partes iguales, cada una de las cuales contienen el 25% de las observaciones.
Los DECILES (PERCENTILES) son 9 (99) valores que dividen a la distribución en 10 (100) partes iguales, cada una de las cuales contiene el 10% (1%) de las observaciones.

MEDIDAS DE POSICIÓN LOS CUANTILES

100 110 120 150 140 130 1er cuartil 3er cuartil Mediana

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Recorrido (Rango) Cuanto mayor es el recorrido mayor es la dispersión de la distribución de la variable en estudio

Varianza Varianza para datos no agrupados Varianza para datos agrupados

Desviación Estándar Representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, así podemos Tener dos muestras que tienen la misma media, pero que tienen diferente Desviación Estándar

El Coeficiente de Variación Nos permite la comparación entre distintas variables y poblaciones. Mide el grado de homogeneidad o heterogeneidad en una o mas poblaciones. Su principal característica es estar desprovisto de unidades. El valor se puede expresar en términos porcentuales

MEDIDAS DE FORMA

Asimetría o Sesgo
Una distribución es simétrica si la mitad izquierda de su distribución es la imagen especular de su mitad derecha.
En las distribuciones simétricas media y mediana coinciden. Si sólo hay una moda también coincide
La asimetría es positiva o negativa en función de a qué lado se encuentra la cola de la distribución.
La media tiende a desplazarse hacia las valores extremos (colas).
Las discrepancias entre las medidas de centralización son indicación de asimetría.

Coeficiente de asimetría

Apuntamiento o curtosis
La curtosis nos indica el grado de apuntamiento (aplastamiento) de una distribución con respecto a la distribución normal o gaussiana. Es adimensional.
Platicúrtica : curtosis < 0
Mesocúrtica : curtosis = 0
Leptocúrtica : curtosis > 0
Los gráficos que veis poseen la misma media y desviación típica, pero con diferente grado de apuntamiento. En el curso serán de especial interés las mesocúrticas y simétricas (parecidas a la normal).

Apuntamiento

EstadíStica Nº 04 Medidas Estadisticas

by franco antonio irpanmoka nuñez

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