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61178886 i-o-ii-principal

  1. 1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZULCAIIOAJ) MANUAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II CATEDRÁTICO: m. c. RAÚL LEONEL GUZMÁN SAMPAYO. REALIADO POR: CASTRO OCHOA AGUSTIN. ELIZALDE RAMIREZ FERNANDO.RODRIGUEZ MARTINEZ JOAQUIN C. SONI SANTOS IRIS ABRIL. ESPECIALIDAD:INGE NIERÍA INDUSTRIAL PERIODO: AGOSTO-DICIEMBRE 2008 CERRO AZUL, VER.
  2. 2. ÍNDICEUNIDAD I: PROGRAMACIÓN DINÁMICA1.1 Características de la programación dinámica: etapas, estados,fórmula recursiva, programación en avance y retroceso…….. .........................41.2 Algunos modelos de ejemplos de ProgramaciónDinámica………………...61.3 Programación dinámicadeterminística……………………………………..…71.4 Programación dinámicaprobabilística………………………………….……..81.5 Problema dedimensionalidad de Programación Dinámica…………………8Ejercicios resueltos……………………………………………………………..…..10Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…21UNIDAD II: TEORÍA DE COLAS2.1 Introducción y casos de aplicación……………………………………………242.2 Definiciones características y suposiciones………………………………….242.3 Terminología y notación. …………………………………………………..…..262.4 Proceso de nacimiento y muerte Modelos Poisson. ……………………………………………………………....272.5 Un servidor, fuente finita, cola finita. ……………….…………………………282.6 Un servidor, cola infinita, fuente infinita…………………………………….…302.7 Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita. ……………………………322.8 Servidores múltiples, cola finita, fuente finita. ……………………………..…34Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..36Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…40UNIDAD III: TEORÍA DE DECISIÓN3.1 Características generales de la teoría de decisiones. ……………………..433.2 Criterios de decisión determinísticos y probabilísticos……………………..443.3 Valor de la información perfecta. ……………………………………………..453.4 Árboles de decisión. …………………………………………………………...463.5 Teoría de dualidad. ………………………………………………………….…473.6 Decisiones secuenciales. ………………………………………………….…..493.7 Análisis de sensibilidad. …………………………………………………...…..49Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..51Ejercicios propuestos………………………………………………………………..55UNIDAD IV: CADENAS DE MARKOV4.1 Introducción. …………………………………………………………………….584.2 Formulación de las cadenas de Markov. ……………………………….……58 2
  3. 3. 4.3 Procesos estocásticos. …………………………………………………….…604.4 Propiedad Markoviana de primer orden. ……………………………………604.5 Probabilidades de transición estacionarias de un solo paso……………...614.6 Probabilidades de transición estacionarias de n pasos…………………...634.7 Estados absorbentes. …………………………………………………………644.8 Probabilidades de transición estacionarias de estados estables. Tiempos de primer paso. ………………………………………………….65Ejercicios resueltos…………………………………………………………………66Ejercicios propuestos………………………………………………………………72UNIDAD V: OPTIMIZACIÓN DE REDES5.1 Terminología……………………………………………………………………755.2 Problema de la ruta más corta. Redes cíclicas y acíclicas. ………………775.3 Problema del árbol de mínima expansión. …………………………………805.4 Problema de flujo máximo. …………………………………………………...815.5 Problema de flujo de costo mínimo. ………………………………………...835.6 Programación lineal en teoría de redes. ……………………………………865.7 Uso de programas de computación. ……………………………………..…88Ejercicios resueltos……………………………………………………………..….95Ejercicios propuestos……………………………………………………………..103Bibiliografía………………………..………………………………………………..105 3
  4. 4. UNIDAD I: PROGRAMACIÓN DINÁMICA1.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DEPROGRAMACIÓNDINÁMICA : ETAPAS, ESTADOS,FÓRMULARECURSIVA, PROGRAMACIÓN EN AVANCE Y ENRETROCESO La programación dinámica es una técnica matemática que se utiliza paralasolución de problemas matemáticos seleccionados, en los cuales se tomaunaserie de decisiones en forma secuencial. Proporciona un procedimiento sistemático para encontrar lacombinaciónde decisiones que maximice la efectividad total, al descomponer elproblema enetapas, las que pueden ser completadas por una o más formas (estados),yenlazando cada etapa a través de cálculos recursivos. La programación dinámica es un enfoque general para la solucióndeproblemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas.Lasdecisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura delsistema,afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en elfuturo(denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro. La programación dinámica parte de una pequeña porción del problemayllega a la solución óptima para esa pequeña parte del problema, entoncesgradualmente se agranda el problema hallando la solución óptima en cursoapartir de la anterior. Este proceso se repite hasta obtener la solución óptimadel problema original. El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemasdeprogramación dinámica. Por tanto una manera de reconocer una situaciónquese puede formular como un problema de programación dinámica espoderidentificar una estructura análoga a la del problema de la diligencia.Características básicas.1.- El problema se puede dividir en etapas que requieren una políticadedecisión en cada una de ellas.2.- Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio.Losestados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrarelsistema en cada etapa del problema.3.- El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar elestadoactual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa. 44.- El procedimiento de solución está diseñado para encontrar unapolíticaóptima para el problema completo.
  5. 5. 5.- Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantesesindependiente de la política adoptada en etapas anteriores. Este es elprincipiode optimalidad para programación dinámica.6.- El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima paralaúltima etapa.7.- Se dispone de una relación recursiva que identifica la política óptima paralaetapa n, dada la política óptima para la etapa n+1. La forma precisa de relaciónrecursiva difiere de un problema a otro de programación dinámica,perousaremos una notación análoga a la siguiente:N = número de etapas.n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1,2,...,N)sn = estado actual para la etapa nxn = variable de decisión para la etapa nxn* = valor óptimo de xn (dado sn)fn(sn,xn) = contribución a la función objetivo de las etapas n, n+1,...,N, sielsistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisión inmediata es xny en adelante se toman decisiones óptimas. fn*(sn) = fn(sn,xn*) Larelaciónrecursiva siempre tendrá la forma: fn*(sn) = mín fn(sn,xn) ó fn*(sn) =maxfn(sn,xn)8.- Cuando se usa esta relación recursiva, el procedimiento de solucióncomienza al final y se mueve hacia atrás etapa por etapa, hasta que encuentrala política óptima desde la etapa inicial.Procedimiento de solución.1. Se construye una relación recursiva que identifica la política óptimaparacada estado en la etapa n, dada la solución óptima para cada estado enlaetapa n + l.2. Se encuentra la decisión óptima en la última etapa de acuerdo a lapolíticade decisión establecida. Comúnmente la solución de esta últimaetapa estrivial, es decir, sin ningún método establecido, tomando en cuentasolamentela "contribución" de la última etapa.3. La idea básica detrás de la relación recursiva es trabajar "hacia atrás",preguntándose en cada etapa: ¿qué efecto total tendría en el problema si tomouna decisión particular en esta etapa y actúo óptimamente en todas las etapassiguientes? 5
  6. 6. Si se resolviera el problema "hacia adelante", es decir, de la primeraetapa hacia la sería necesario realizar una enumeración exhaustiva detodaslas alternativas, que resolviéndolo "hacia atrás" reducimos el número de alternativasa analizar, simplificando la solución del problema. Cuando se llegaa la etapainicial se encuentra la solución óptima.1.2 EJEMPLOSDEMODELOSDEPROGRAMACIÓNDINÁMICAEl problema de la diligencia. Un cazafortunas desea ir de Missouri a California en una diligencia,yquiere viajar de la forma más segura posible. Tiene los puntos de salida ydestino conocidos, pero tiene múltiples opciones para viajar a travésdelterritorio. Se entera de la posibilidad de adquirir seguro de vida comopasajerode la diligencia.El costo de la póliza estándar (cij ) se muestra en la tabla siguiente. -£ y 1 E -V E G B C D B 4 6 E 1 4 H A 4 3 C 3 4 F 6 3 3 I D 4 1 5 G 3El problema de las monedas. Para el problema de las monedas con programación dinámica senecesita crear un algoritmo que permita a una máquina expendedora devolverel cambio mediante el menor número de monedas posible. Mediante laprogramación dinámica se solucionará el caso en el que el número demonedas de cada tipo es ilimitado. En el problema de las monedas mediante elalgoritmo voraz el que el número de monedas es ilimitado. 6
  7. 7. El problema de la mochila. Sean n objetos no fraccionables de pesos pi y beneficios bi. Elpesomáximo que puede llevar la mochila es C. Queremos llenar la mochilaconobjetos, tal que se maximice el beneficio. Los pasos que vamos a seguir son los siguientes: • Ver que se cumple el principio de optimalidad de Bellman. • Buscar ecuaciones recurrentes para el problema. • Construir una tabla de valores a partir de las ecuaciones.1.3 PROGRAMACIÓNDINÁMICADETERMINÍSTICA Los problemas determinísticos de programación dinámica son aquellosenlos cuales el estado asociado en la etapa siguiente está totalmentedeterminado por el estado y la política de decisión de la etapa actual.Lasiguiente figura describe el funcionamiento de la programación dinámicadeterminística. Sn Sn +1 n n n Contribución n objetivo n al f n+1* (Sn+1* ) f (S ,X ) C (X ) Los problemas de programación dinámica determinística son aquéllosenlos que el estado en la etapa siguiente queda completamente determinadoporel estado y la política en la etapa actual. Una manera de catalogar los problemas de programacióndinámicadeterminística es por la forma de la función objetivo. Por ejemplo, elobjetivo podría ser minimizar la suma de contribuciones de las etapasindividuales, obien minimizar un producto de tales términos y así sucesivamente. En unproblema de programación dinámica, las temporadas deben ser las etapas. 7
  8. 8. 1.4 PROGRAMACIÓNDINÁMICAPROBABILÍSTICA La programación dinámica probabilística difiere de la programacióndinámica determinística en que el estado de la etapa siguiente noquedacompletamente determinado por el estado y la decisión de la políticaen elestado actual. En lugar de ello existe una distribución de probabilidadpara loque será el estado siguiente. Sin embargo, esta distribución deprobabilidadtodavía esta completamente determinada por el estado y ladecisión de lapolítica del estado actual. En la siguiente figura se describediagramáticamentela estructura básica que resulta para la programacióndinámica probabilística,en donde N denota el número de estados posibles en laetapa n+1. Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estadosydecisiones posibles en todas las etapas, a veces recibe el nombre de árboldedecisión. Si el árbol de decisión no es demasiado grande, proporcionaunamanera útil de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir.1.5 PROBLEMADEDIMENSIONALIDAD EN PROGRAMACIÓNDINÁMICA La programación dinámica tradicional permite obtener las trayectoriasóptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cualquier tipo defuncional o índice de desempeño y con restricciones en las variables. Losalgoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cómputo digitalampliamente disponibles en la actualidad. La aplicación de estos algoritmos asistemas continuos exige la discretización de las ecuaciones diferenciales quemodelan el proceso o sistema, así como la cuantificación de las variables deestado, de las variables de decisión o control y del tiempo. Para obtener resultados útiles se debe construir una rejilla de estadossuficientemente fina. En cada punto de la rejilla, en cada etapa de tiempo, sedeben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de lasvariables de decisión cuantificadas, para seleccionar aquella que minimiza elíndice de desempeño. Se generan requisitos adicionales de cálculo cuando latrayectoria, calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estadocuantificado en la etapa siguiente. Para ello es necesario realizarinterpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisión o controlóptima y del índice de costo.tradicionales de programación dinámica Con un número del orden de cinco variables de estado, los algoritmos exigen elevados requisitos de memoriadimensionalidad” cálculo a los sistemas de procesamiento digital. Estay de tiempo decaracterística dinámica metodología fue denominada “maldición deprogramación de la por el propio Bellman, lo cual desalentó el empleo de la tradicional durante más de veinte años. 8
  9. 9. Por otro lado, las ventajas significativas que ofrece la programacióndinámica para la solución de problemas de control óptimo, tales como, laobtención de una solución óptima global, el tratamiento de sistemas no linealesy variantes, la utilización de cualquier índice de desempeño, y el hecho de quecuanto más restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro detiempo de cómputo y memoria, promovieron el interés de muchosinvestigadores por encontrar métodos alternativos para superar los problemasque presenta la técnica tradicional 9
  10. 10. EJERCICIOS RESUELTOSEjercicio # 1 Considere la siguiente red en la que cada número junto a unaligadurarepresenta la distancia real entre el par de nodos que conecta. Elobjetivo esencontrar la ruta mas corta del origen al destino. Utilice programación dinámica para resolver este problemaconstruyendomanualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1. f*i(A>=l l fi(C)=13Solución:n=3S3 f3*(s) X3*D 6 TD 7 Tn=2sx2 D E --------- f2*(s) X2*A 5+6=11 - 11 DB 7+6=13 - 8+7015 13 13 DEC --------- 6+7=13n=1sx1 A B C f1(s) X1*O 9+11=20 6+13=19 7+13=20 19 BRuta: 0→B→D→T 10
  11. 11. Ejercicio # 2 Una compañía esta planeando una estrategia de publicidad duranteelaño próximo para sus 3 productos mas importantes. Como los 3 sonbastantediferentes, cada esfuerzo de publicidad estará dedicado a un soloproducto. Sedispone de un total de 6 millones de dólares para esta campaña depublicidad yse supone que el gasto para cada producto deberá ser un númeroenteromayor o igual a uno. El vicepresidente de mercadotecnia haestablecido elobjetivo como sigue: determinar cuanto gastar en cada productocon el fin demaximizar las ventas totales. La siguiente tabla da un incrementoestimado enventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos enpublicidad:Gasto en 7 Producto 1 Producto 2 48 Producto 3 69publicidad 10 11 1312 14 14 1534 17 Utilice programación dinámica para resolver este problema.Solución:n=3S3 f3*(s) X3*1 6 12 9 13 233 15 44 11
  12. 12. n=2X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 4+6 = 10X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 4+9 = 13X2 = 2 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 8+6 = 14X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 4+13 = 17X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 8+9 = 17X2 = 3 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-4) = 11+6 = 17 12
  13. 13. X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 4+15 = 19X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 8+13 = 21X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 19+9 = 20X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 14+6 = 20 X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2*S21 10 10 122 13 14 14 1,2,33 17 17 17 17 24 19 21 20 20 21n=1X1 = 1 f1(6,1) = P1(1) + f2*(6-1) = 7+21 = 28X1 = 2 f1(6,2) = P1(2) + f2*(6-2) = 10+17 = 27X1 = 3 f1(6,3) = P1(3) + f2*(6-3) = 14+14 = 28X1 = 4 f1(6,4) = P1(4) + f2*(6-4) = 7+10 = 27 X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2*S26 28 27 28 27 28 1,31→2→3 = 7+8+13 = 283→2→1 = 14+8+6 = 28 13
  14. 14. Ejercicio # 3 El World Health Council, se dedica a mejorar la atención médica enlospaíses subdesarrollados del mundo. Dispone de 5 brigadas médicasparaasignarlas a 3 de estos países con el fin de mejora el cuidado de lasalud, laeducación para la salud y los programas de capacitación, entones, elconsejonecesita determinar cuantas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada unodeestos países para maximizar la medida de eficiencia de las 5 brigadas.Losequipos deben mantenerse como están formados por lo que el número asignado a cada país debeser un entero. La medida de desempeño se tomara en términos de los años devidaadicionales por persona (para una país especifico, esta medida es igualalincremento en el promedio de vida esperado en años, multiplicado porsupoblación). En la tabla siguiente se dan las estimaciones de estos años devidaadicionales de vida por persona (en múltiplos de mil) para cada país yparacada número posible de brigadas médicas asignadas. ¿Cual es la asignación que maximiza la medida de desempeño?Brigadas Medicas País 1 País 2 País 30 0 0 0123 45 70 20 45 50 7045 90 75 80 105 110 100 120 150 130 14
  15. 15. Solución:n=3S3 f3*(s3) X3*0 0 01 50 70 122 80 343 100 54 1305n=2X2 = 0 f2(0,0) = P2(0) + f3*(0-0) = 0+0 = 0X2 = 0 f2(1,0) = P2(0) + f3*(1-0) = 0+50 = 50X2 = 1 f2(1,1) = P2(1) + f3*(1-1) = 20+0 = 20 15
  16. 16. X2 = 0 f2(2,0) = P2(0) + f3*(2-0) = 0+70 = 70X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 20+50 = 70X2 = 2 f2(2,2) = P2(2) + f3*(2-2) = 45+0 = 45X2 = 0 f2(3,0) = P2(0) + f3*(3-0) = 0+80 = 80X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 20+70 = 90X2 = 2 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 45+50 = 95X2 = 3 f2(3,3) = P2(3) + f3*(3-3) = 75+0 = 75X2 = 0 f2(4,0) = P2(0) + f3*(4-0) = 0+100 = 100X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 20+80 = 100X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 45+70 = 115X2 = 3 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-3) = 75+50 = 125X2 = 4 f2(4,4) = P2(4) + f3*(4-4) = 110+0 = 110X2 = 0 f2(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+130 = 130 X2=1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 20+100 = 120X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 45+80 = 125 X2=3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 75+70 = 145X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 110+50 = 160X2 = 5 f2(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 150+0 = 150 X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2*S20 0 50 0 50 001 70 20 70 0,12 80 70 45 95 23 100 90 95 75 125 344 130 100 115 125 110 1605 120 125 145 160 150n=1X2 = 0 f1(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+160 = 160X2 = 1 f1(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 45+125 = 170X2 = 2 f1(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 70+95 = 165X2 = 3 f1(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 90+70 = 160X2 = 4 f1(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 105+50 = 155X2 = 5 f1(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 120+0 = 120 16
  17. 17. X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2*S25 160 170 165 160 155 120 170 11→3→1 = 45+75+50=170Ejercicio # 4 Una estudiante universitaria tiene 7 días para preparar losexámenesfinales de 4 cursos y quiere asignar el tiempo que tiene paraestudiar de lamanera más eficiente posible. Necesita por lo menos un día paracada curso yquiere concentrarse solo en un curso cada día, por lo que quiereasignar 1, 2, 3ó 4 días a cada curso. Como hace poco tomó un curso deinvestigación deoperaciones, ha decidido aplicar programación dinámica para hacerestasasignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4cursos.Estima que las distintas opciones de días de estudio redituaránpuntos decalificación según la siguiente tabla: Puntos de calificación estimadosNúmero de Curso 1 Curso 2 Curso 3 Curso 4Días 3 5 2 612 5 5 4 734 6 6 7 9 7 9 8 9 17
  18. 18. n=4S4 F4*(s4) X4*1 6 12 79 233 9 44n=3X3 = 1 f3(3,1) = P3(1) + f4*(3-1) =2+6 = 8X3 = 1 f3(4,1) = P3(1) + f4*(4-1) = 2+7 = 9 X3=2 f3(4,2) = P3(2) + f4*(4-2) = 4+6 = 10X3 = 1 f3(5,1) = P3(1) + f4*(5-1) = 2+9 = 11X3 = 2 f3(5,2) = P3(2) + f4*(5-2) = 4+7 = 11X3 = 3 f3(5,3) = P3(3) + f4*(5-3) = 7+6 = 13X3 = 1 f3(6,1) = P3(1) + f4*(6-1) = 2+9 = 11X3 = 2 f3(6,2) = P3(2) + f4*(6-2) = 4+9 = 13X3 = 3 f3(6,3) = P3(3) + f4*(6-3) = 7+7 = 14X3 = 4 f3(6,4) = P3(4) + f4*(6-4) = 8+6 = 14 F3*(s3) X3 1 2 3 4 X3*S31 89 8 122 11 10 10 23 11 11 13 13 3,44 13 14 14 14n=2X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) =5+8 = 13X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f2*(4-1) = 5+10 = 15X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f2*(4-2) = 5+8 = 13X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 5+13 = 18X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 5+10 = 15X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 6+8 = 14X2 = 1 f2(6,1) = P2(1) + f3*(6-1) = 5+14 = 19X2 = 2 f2(6,2) = P2(2) + f3*(6-2) = 5+13 = 18X2 = 3 f2(6,3) = P2(3) + f3*(6-3) = 6+10 = 16X2 = 4 f2(6,4) = P2(4) + f3*(6-4) = 9+8 = 17 18
  19. 19. X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*S21 13 13 12 15 13 15 13 18 15 14 18 14 19 18 16 17 19 1X1 = 1 f2(7,1) = P1(1) + f2*(7-1) = 3+19 = 22X2 = 2 f2(7,2) = P1(2) + f2*(7-2) = 5+18 = 23X3 = 3 f2(7,3) = P1(3) + f2*(7-3) = 6+15 = 21X4 = 4 f2(7,4) = P1(4) + f2*(7-4) = 7+13 = 20 X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*S2 7 22 23 21 20 23 22→1→3→1 =5+5+7+6=23Ejercicio # 5 Una compañía está a punto de introducir un nuevo producto almercadomuy competido y está planeando su estrategia de comercialización. Hatomadola decisión de introducir el producto en 3 fases. La fase 1 incluirá ofertas especiales de introducción a un preciomuyreducido para atraer a los compradores de primera vez. La fase 2 comprenderá una campaña intensa de comerciales yanunciospara persuadir a estos compradores de primera vez, que continúencomprandoel producto a precio normal. Se sabe que otra compañía introducirá otronuevoproducto competitivo más o menos cuando termine la fase 2. La fase 3 entonces, incluirá una campaña de seguimiento depromociónpara tratar de evitar que los clientes regulares cambien alproducto de lacompetencia. Se cuenta con un presupuesto total de $ 4 millones de dólares paraestacampaña comercial. El problema consiste ahora en determinar comoasignareste dinero de la manera más efectiva a las 3 fases. Sean m elporcentaje demercado inicial que se logra en las fases, f 2 la fracción de este mercado queseretiene en la fase 2 y f 3 la fracción restante del porcentaje de mercado queseretiene en la fase 3. Con los datos de la siguiente figura, apliqueprogramacióndinámica para determinar cómo asignar los $ 4 millones dedólares paramaximizar el porcentaje final del mercado para el nuevoproducto, es decir,maximizar m+ff+ff. Suponga que el dinero se debe gastar en cantidadesenterasmúltiplos de 1 millón en cada fase y que el mínimo permisible es 1 para 19la fase1 y 0 para las fases 2 y 3.
  20. 20. n=3S3 F3*(s3) X3*0 0.3 01 0.5 0.6 122 0.7 33X2 = 0 f2(1,0) = P3(0) + f3*(1-0) = 0.2*0.5 = 0.1 X2=1 f2(1,1) = P3(1) + f3*(1-1) = 0.4*0.3 = 0.12X2 = 0 f2(2,0) = P3(0) + f3*(2-0) = 0.2*0.6 = 0.12X2 = 1 f2(2,1) = P3(1) + f3*(2-1) = 0.4*0.5 = 0.2X2 = 2 f2(2,2) = P3(2) + f3*(2-2) = 0.5*0.3 = 0.15X2 = 0 f2(3,0) = P3(0) + f3*(3-0) = 0.2*0.7 = 0.14X2 = 1 f2(3,1) = P3(1) + f3*(3-1) = 0.4*0.6 = 0.24X2 = 2 f2(3,2) = P3(2) + f3*(3-2) = 0.5*0.5 = 0.25X2 = 3 f2(3,3) = P3(3) + f3*(3-3) = 0.6*0.3 = 0.18 F2*(s2) X2 0 1 2 3 X2*S20 0.6 0.2 01 0.1 0.12 0.12 13 0.12 0.2 0.15 0.2 13 0.14 0.24 0.25 0.18 0.250 2X1 = 0 f1(4,0) = P3(0) + f2*(4-0) = 20*0.25 = 5 X1=1 f1(4,1) = P3(1) + f2*(4-1) = 30*0.2 = 6X1 = 2 f1(4,2) = P3(2) + f2*(4-2) = 40*0.12 = 4.8X1 = 3 f1(4,3) = P3(3) + f2*(4-3) = 50*0.2 = 10 20
  21. 21. X2 1 2 3 4 F3*(s3) X3*S2 4 5 6 4.8 10 10 33 millones en la 1a fase1 millones en la 2a fase0 millones en la 3a faseEJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio Propuesto # 1 El gerente de ventas de una editorial de libros de textouniversitariostiene seis agentes de ventas que puede asignar a tres regionesdistintas del país. Ha decidido que cada región debe tener por lo menos unagente y quecada agente individual debe quedar restringido a una de estasregiones con elfin de maximizar las ventas. La siguiente tabla da el incremento estimado en lasventas de cada región si se le asignan diferentes cantidades de agentes.Agentes Región 1 Región 2 Región 31 35 21 2823 48 70 42 56 41 634 89 70 75Ejercicio Propuesto # 2 Una campaña política se encuentra en su última etapa y laspreliminaresindican que la elección está pareja. Uno de los candidatos tienesuficientesfondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horasdemayor audiencia en estaciones localizadas en 4 áreas diferentes. Con baseenla información de las preliminares se hizo una estimación del número devotosadicionales que se pueden ganar en las diferentes áreas de difusión segúnelnúmero de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan enlasiguiente tabla en miles de votos.Comerciales Área 1 Área 2 Área 3 Área 40 0 0 0 012 47 68 59 37345 9 12 15 10 11 11 10 9 12 14 12 16 21
  22. 22. Utilice programación dinámica para determinar como debendistribuirselos 5 comerciales entre las 4 áreas con el fin de maximizar el númeroestimadode votos ganados.Ejercicio Propuesto # 3 El propietario de una cadena de tres supermercados compró 5 cargasdefresas frescas. La distribución de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes deque se echen a perder difiere entre los 3supermercados. El propietario quiere saber como debe asignar las 5 cargasalas tiendas para maximizar la ganancia esperada. Por razonesadministrativasno quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, estade acuerdo enasignar cero cargas a cualquiera de ellas. La siguiente tablaproporciona laganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidadesde cargas:Numero de cargas Tienda 1 Tienda 2 Tienda 30 0 0 012 59 6 11 4934 14 17 15 19 13 185 21 22 20 Utilice programación dinámica para determinas cuantas cargasdebenasignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.Ejercicio Propuesto # 4 La presidenta de un partido político en un estado está haciendoplanespara las próximas elecciones presidenciales. Cuenta con la colaboraciónde 6voluntarios para trabajar en los distritos electorales y los quiere asignara 4distritos de manera que se maximice su efectividad. Ella piensa queseríaineficiente asignar un voluntario a más de un distrito pero está dispuestaa noasignar a nadie a cualquiera de ellos si pueden lograr más en otro distrito.Lasiguiente tabla da el aumento estimado en el número de votos para elcandidato del partido en cada distrito si se asignan distintos númerosdevoluntarios:Voluntarios Distrito 1 Distrito 2 Distrito 3 Distrito 40 0 0 0 012 49 7 11 5 10 6 113456 15 18 22 16 18 20 15 18 21 14 16 17 24 21 22 18 22
  23. 23. Este problema tiene varias soluciones optimas sobre cantosvoluntariosdeben asignarse a cada distrito a fin de maximizar el incremento totalesperadoen la popularidad del candidato del partido. Utilice programación dinámicaparaencontrar todas las soluciones óptimas, para que la presidenta delpartidopueda hacer una selección tomando en cuenta otros factores.Ejercicio Propuesto # 5 Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipoPERT,donde el número junto al arco es el tiempo requerido para la actividadcorrespondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria másgrande(el mayor tiempo total) a través de esta red desde el vento uno(inicio delproyecto) al evento 9 (terminación del proyecto), ya que la trayectoriamás larga es la ruta crítica. a) ¿Cuáles son las etapas y los estados para la formulación de programación dinámica de este problema? b) Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo las tablas usuales. 23
  24. 24. UNIDAD II: TEORÍA DE COLAS2.1 INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN. Las líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja enunbanco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, vehículos esperandopagar ante una estación de peaje o continuar su camino,ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los análisis de colas ayudan a entender el comportamiento deestossistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividadesdemantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operacionesenplanta, etc.). Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, lospacientesque esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadasesperandoreparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requierenderecursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cureose los haga funcionar nuevamente.2.2 DEFINICIONES CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una coleccióndemodelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particularesosistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buencompromisoentre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea deespera para unsistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas queproporcionanservicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema endonde lostrabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salendespuésde que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar lossistemas deeste tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colasinterconectadas formando una red de colassistema desde una determinada La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento delíneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un“lugar”demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una ciertacapacidad deatención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el 24cliente decideesperar, entonces se forma la línea de espera.
  25. 25. A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un fuente demandando un servicio. Losservidores del sistema seleccionan miembros de la cola según una regla
  26. 26. predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un clienteseleccionadotermina de recibir su servicio (tras un tiempo de servicio)abandona el sistema,pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas.Fuente Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan lasunidadesque piden un servicio. Si el número de unidades potenciales es finito,se diceque la fuente es finita; en caso contrario se dice que es infinita. Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de queseproduzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño delafuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio desistemasde colas con fuentes infinitas.Tiempo entre llegadas Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalodetiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble,endonde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo.Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es inciertoyvariable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen medianteunadistribución de probabilidad.Mecanismos de servicio Se llama capacidad del servicio al número de clientes que puedenserservidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay unsoloservidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de unservidor,multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender lademanda de uncliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio.uno de losDisciplina de la cola • ElEn • El sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con • El siguientes criterios (prioridades): • El que llegó antes. que llegó el último. que menos tiempo de servicio requiere. que más requiere. 25
  27. 27. Supuestos El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa enlassiguientes suposiciones:a) Un solo prestador del servicio y una sola fase.b) Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas.c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio.d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todaslasllegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidaddeuna longitud infinita en la cola.2.3 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN. Características operativas.- Medidas de desempeño para una líneadeespera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema,lacantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc. Operación de estado estable.-Operación normal de la línea de esperadespués de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Lascaracterísticas operativas de las líneas de espera se calculan para condicionesde estado estable. Tasa media de llegada.- Cantidad promedio de clientes o unidadesquellegan en un periodo dado. Tasa media de servicio.- Cantidad promedio de clientes o unidades quepuede atender una instalación de servicio en un periodo dado. Línea de espera de canales múltiples.- Línea de espera con dosomás instalaciones de servicio paralelas. Bloqueado.- Cuando las unidades que llegan no pueden entrar alalínea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidadesbloqueadaspueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando laslíneasde espera tienen una capacidad finita. Población infinita.- Población de clientes o unidades que puedenbuscar servicio, no tiene un límite superior especificado. Población finita.- Población de clientes o unidades que puedenbuscarservicio, tiene un valor fijo y finito. Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminologíaestándar: 26
  28. 28. P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos). Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio. Todas estas características operativas de estado estable seobtienenmediante formulas que dependen del tipo de modelo de línea de esperaque seeste manejando. Para calcular éstas, se necesitan los siguientes datos: λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegadas) μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio)2.4 PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE. MODELOSPOISSON. La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen quelasentradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) delsistemaocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importanteproceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas.Sinembrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiereallegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere alasalida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotadopor N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempot.El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticoscómocambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos ymuertesindividuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias deocurrenciadependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, lassuposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actualdeltiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial 27conparámetro (n=0,1,2,….).
  29. 29. SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actualdeltiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) esexponencial con parámetro (n=1,2,….).SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo quefaltahasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2(eltiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso denacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra encondición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre estadistribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tenerunbuen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar estadistribucióndespués de que el sistema ha alcanzado la condición de estadoestable (encaso de que pueda alcanzarla).Distribución de llegadas. Definir el proceso de llegada para una línea de espera implicadeterminar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en unperiodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cadallegadaocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemospredecir cuando ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos hasencontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona unabuena descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad dexllegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como sigue: x -λ e P(x)= μ x! para x= 0,1,2,…2.5 UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA. Para los modelos de línea de espera introducidos hasta ahora,lapoblación de unidades o clientes que llegan para servicio se han consideradoilimitadas. En términos técnicos, cuando no se pone límite respecto acuántasunidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene unapoblacióninfinita. Bajo esta suposición, la tasa media de llegada λ permanececonstantesin importar cuántas unidades hay en el sistema de línea deespera. Esta 28suposición de una población infinita se hace en la mayoría de los modelos de
  30. 30. línea de espera. En otros casos, se asume que la cantidad máxima de unidades oclientesque pueden buscar servicio es finita. En esta situación, la tasamedia dellegada para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad deunidades en lalínea de espera y se dice que el modelo de línea de espera tieneuna poblaciónfinita. Las fórmulas para las características operativas de los modelos delíneade espera anteriores deben modificarse para explicar el efecto de lapoblaciónfinita. 1.Las llegadasde población finita que se expone en esta sección se basa El modelo para cada unidadenlas siguientes suposiciones. 2. Los tiempos de servicio siguen una distribución dede siguen una probabilidad dePoisson, con una tasa media de llegada λ. 3. La población de unidades que pue distribución finita.probabilidad servicio es exponencial, con una tasa media de servicio μ. den buscar Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conocecomomodelo M/M/1 con una población finita. La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una poblaciónfinitase define en función de cuán a menudo llega o busca servicio cadaunidad.Esta situación difiere de la de modelos de línea de espera anteriores en los queλdenotaba la tasa media de llegada para el sistema. Con una población finita,latasa media de llegada para el sistema varía, dependiendo de la cantidad deunidades en el sistema. En lugar de ajustar para la tasa de llegada delsistemacambiante, en el modelo de población finita λ indica la tasa media dellegadapara cada unidad.Características operativas para, el modelo M/M/1 con una poblaciónfinitade demandantes. Las siguientes formulas se usan para determinar lascaracterísticasoperativas de estado estable para el modelo M/M/1 con unapoblación finitadonde: 1.λ = la tasa media de llegada para cada unidadμ= la tasa media de servicio pN = el tamaño de la población ° = i N) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: £ (N-n)f ¿ 0 m 29
  31. 31. 2. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera: X + fi L„ = N - — - P ) 1 0 3. Cantidad promedio de unidades en el sistema: L = L + (1 - P ) q 0 4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera: i r . - - q í* - (N - L)X 5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema: 6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por elservicio: P = 1 -P w 0 7. Probabilidad de n unidades en el sistema: P NI AY 1 0 P para n = 0 , 1 , . N " (N -nVA/i 02.6 UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA. Las fórmulas que pueden usarse para determinar las características ope-rativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal se citaránmás adelante. Las fórmulas son aplicables si las llegadas siguen unadistribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguenunadistribución de probabilidad exponencial. Mostramos cómo pueden usarselasfórmulas para determinar las características de operación de un sistema deunservidor, cola infinita y fuente infinita, y por tanto, proporcionarle a laadministración información útil para la toma de decisiones. La metodología matemática usada para derivar las fórmulas paralascaracterísticas operativas de las líneas de espera es bastante compleja.Sinembargo, el propósito no es proporcionar el desarrollo teórico de estosmodelos, sino mostrar cómo las fórmulas que se han elaborado puedendarinformación acerca de las características operativas de la línea de espera. 30
  32. 32. Características operativas. Las fórmulas siguientes pueden usarse para calcular lascaracterísticasoperativas de estado estable para una línea de espera de unsolo canal conllegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde:λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegada).μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio). P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema: Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera: 2 = A q - X) L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos): Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera: W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. 31
  33. 33. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio.2.7 SERVIDORES MÚLTIPLES, COLA INFINITA, FUENTEINFINITA. Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos omáscanales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista desucapacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperanen una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas.Laoperación de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistemadedos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figuramuestraun diagrama de la línea de espera de dos canales de Burger Dome. En esta sección presentamos fórmulas que pueden usarse paradeterminar las características operativas de estado estable para una línea deespera de varios canales. Estas fórmulas son aplicables si existen lassiguientes condiciones.1.-Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.2.-Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución deprobabilidadexponencial.3.- La tasa media de servicio μ es la misma para cada canal.4.- Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer canal disponible para el servicio. Sistema - m-m . Canal 1 i Empleado A Los Los clientes clientes se Llegadas van de pasan al siguiente canal después de clientes que les I abierto . Línea de espera surten su I pedido i I ("anal 2 | Empleado B jCaracterísticas Operativas 32
  34. 34. Pueden usarse las siguientes fórmulas para calcular lascaracterísticasoperativas de estado estable para líneas de espera concanales múltiples,donde:λ.- la tasa media de llegada para el sistema.μ.- la tasa media de servicio para cada canal.k.- la cantidad de canales. P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema 1 ku « =o A2I Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera 2 (k - l)(kpi - A) L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos). Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. w = w +- a Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. k para n^ k para n > Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio: 33
  35. 35. kfi) kfi - X) Debido a que μ es la tasa media de servicio para cada canal, kμ eslatasa media de servicio para el sistema de canales múltiples. Como sucedióconel modelo de línea de espera de un solo canal, las fórmulas para lascaracterísticas operativas de las líneas de espera conmúltiples canales sólopueden aplicarse en situaciones donde la tasa mediade servicio para elsistema es mayor que la tasa media de llegadas; en otras palabras,lasfórmulas son aplicables sólo si kμ es mayor que λ.2.8 SERVIDORES MÚLTIPLES, COLA FINITA, FUENTE FINITA. Este tipo de modelo es el M/M/c : DG/∞/∞, donde el límite del sistemaesfinito igual a N; eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N – c.Lastasas de llegada y de servicio son λ y μ. Las características operativas para este sistema se calculan como sigue: í , < n < N 0 , N O [nL, < n < c n > C|x, n < N O c < Probabilidad de n unidades en el sistema: O < c < n < TV c n < Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 34
  36. 36. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera: c p (N - c){N - c + 1) 2c! -Po, Para determinar W q, W y L, se calcula el valor de λef como sigue: — ^•perdido ^PN = = Kf r A-perdido 0- ~ PN)^ EJERCICIOS RESUELTOSEjercicio Resuelto # 1 Marty’s Barber Shop tiene una peluquería. Los clientes llegan a latasade 2.2 clientes por hora, y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio decinco 35
  37. 37. por hora. Use el modelo de llegadas de Poisson y tiempos deserviciosexponenciales para responder las siguientes preguntas.a.-¿Cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?b.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de peloynadie este esperado?c.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de peloyun cliente este esperando?d.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de peloydos cliente este esperando?λ = 2.2 clientes/hr. = 0.037 clientes/min.μ = 5 cortes/hr. = 0.083 cortes/min.a) P0 = 1 - 2.2 = 0.56 5 0b) P0 = 2.2 0.56 = 0.56 5 1c) P1 = 2.2 0.56 = 0.2464 5 2d) P2 = 2.2 0.56 = 0.1084 5Ejercicio Resuelto # 2 Willow Brook Bank opera una ventanilla para atención deautomovilistasque permite a los clientes completar sus transaccionesbancarias desde susautos, en las mañanas de los días hábiles, las llegadas a lasventanillasocurren al azar, con una tasa media de llegada de 24 clientes porhora o 0.4clientes por minuto.a.- ¿Cuál es la cantidad media o esperada de clientes que llegara enunperiodo de cinco minutos?b.- Suponga que puede usarse la distribución de probabilidad de Poissonparadescribir el proceso de llegada. Use la tasa media de llegada del inciso ay 36
  38. 38. calcule las probabilidades de que llegaran exactamente 0, 1, 2 y 3clientesdurante un periodo de cinco minutos.c.- Se esperan demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier periodode cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran esas demoras? a) 0.4 x 5 = 2 clientes/5min. = λ b) P0 = (2)0 e -2 = 0.1353 0! P1 = (2)1 e -2 = 0.2707 1! P2 = (2)2 e -2 = 0.2707 2! P3 = (2)3 e -2 = 0.1804 3! c) P(demoras) = 1 – (0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804) = 0.1429Ejercicio Resuelto # 3 En el sistema de línea de Willow Brook National Bank, suponga quelostiempos de servicio para la ventanilla de atención en el automóvil siguenunadistribución de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de36clientes por hora o 0.6 clientes por minuto. Use la distribución de probabilidadexponencial para responder las siguientes preguntas.a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto omenos?b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos omenos?c.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de mas de dominutos? -0.6(1) = 0.4512 a) P (tiempo de servicio ≤ 1 min) = 1 – e 37
  39. 39. b) P (tiempo de servicio ≤ 2 min) = 1 – e-0.6(2) = 0.6988 c) P (tiempo de servicio ≥ 2 min) = 1 – 0.6988 = 0.3012Ejercicio Resuelto # 4 Los pacientes llegan a un consultorio de un dentista a un tasa mediade2.8 pacientes por hora. El dentista puede tratar a los pacientes a una tasa media de 3pacientespor hora. Un estudio de los tiempos de espera de los pacientesmuestra que,en promedio, un paciente espera 30 min de ver al dentista. a) ¿Cuáles son las tasas medias de llegada y de tratamiento en función de pacientes por minuto? b) ¿Cuál es la cantidad promedio de pacientes en la sala de espera? c) Si un paciente llega a las 10: 10 A. M. ¿A que hora se espera que salgadel consultorio? λ = 2.8 pacientes / hrs. µ = 3 pacientes / hrs. Wq = 30 min. a) λ = 2.8 / 60 = 0.0467 pacientes / min. µ = 3 / 60 = 0.05 pacientes / min. b) Lq = (0.0467 * 30) = 1.401 pacientes c) Wq = 30 min. W = 30 + (1/0.05) = 50 minutos 10: 10 + 50 min. = 11: 00 A. M.Ejercicio Resuelto # 5 Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta deensamblado;suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora.Los tiemposde servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribución la probabilidad 38
  40. 40. exponencial. A continuación se muestra dos diseños propuestos para laoperación de ensamblado de la planta. TIEMPO DE SERVICIO DISEÑO MEDIA DESVIACIÓN ESTÁNDAR A 6. 0 3. 0 B 6. 25 0. 6 a) ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cada diseño? b) Para las tasas medias d e servicio en el inciso a, ¿Qué diseño parece proporcionar la tasa de servicio mejor o mas rápida? c) ¿Cuáles son las desviaciones estándar de los tiempos de servicio en horas? d) Use el modelo M/ G / 1 para calcular las características operativas para cada diseño e) ¿Cuál diseño proporciona las mejores características operativas? ¿Por qué?λ = 5 trabajos / hra = 0.0833 trabajos / min.a) Para A.- µ = 6.0 min. / trabajo = 10 trab / hra = 0. 167 trabajos / min. Para B.- µ = 6.25 min. / trabajo = 9.6 trabajos / hora = 0.16 trabajos / min.b) La del diseño Ac) A.- σ = 3.0 min / 60 min. = 0.05 hrs B.- σ = .6 min / 60 min. = 0.01 hrsd) A.- Po = 1 – 5/10 = 0.5 Lq = (52 * 0.052)+ (5 /10)2 = 0.3125 trabajos 2* (1-(5/10) L = 0.3125 + 5/10 = 0.8125 trabajos Wq = 0.3125 / 5 = 0.0625 hrs. W = 0.0625 + 1/ 10 = 0.1625 hrs. Pw = 5/10 = 0.5 B.- Po = 1 – 5/ 9.6 = 0.4792 Lq = (52 * 0.01 2) + (5/9.6)2 = 0.2857 trabajos 2 * (1 – 5)/9.6) 39
  41. 41. L = 0.2857 + 5/9.6 = 0.8065 trabajos Wq = 0.2857/ 5 = 0.0571 hrs W = 0.2857 + 1/9.6 = 0.1613 hrs Pw = 5 / 9.6 = 0.5208 e) El diseño B. porque tiene un tiempo de espera ligeramente menor yexistemayor probabilidad de que no haya ningún cliente en la fila. EJERCICIOS PROPUESTOSEjercicio Propuesto # 1 El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibesolicitudes de ayuda. Suponga que puede usarse una distribución deprobabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por horaquedescribe el patrón de llegada y que los tiempos de servicio siguenunadistribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de12solicitudes de ayuda en el sistema?a.- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda enelsistema?b.- ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperan por el servicio?c.- ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que empieceelservicio?d.- ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencias enminutos(tiempos de espera mas tiempo de servicio?e.- ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar porelservicio?Ejercicio Propuesto # 2 El gerente de la marina Fore and Aft desea investigar la posibilidaddeagrandar el muelle de modo de que dos embarcaciones puedan detenerseparacargar combustible y recibir servicio de manera simultanea. Suponga quelatasa media de llegada es de 5 yates por hora y que la tasa media de serviciopara cada canal es de 10 por hora. a) b) ¿Cuál es la probabilidad de que el muelle estará ocioso? ¿Cuál es a cantidad promedio de embarcaciones que estará esperando por servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara una embarcación esperando e) por servicio en el muelle? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara un bote en el muelle? Si usted fuera el gerente de la marina Fore and Aft, ¿Estaría satisfechocon el nivel d servicio que proporcionara su sistema? ¿Por qué? 40
  42. 42. Ejercicio Propuesto # 3 Un estudio de una operación de servicio de comidas con canalesmúltiples en el parque de béisbol Red Birds muestra que el tiempopromedioentre la llegada de un cliente al mostrador y su partida con un pedidosurtido esde 10 minutos. Durante el juego, los clientes llegan a una tasa promedio de4por minuto. La operación de servicio de comida requiere un promedio de2minutos por pedido del cliente. a) ¿Cuál es la tasa media de servicio por canal en función de clientes por minuto? b) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en la línea antes de colocar un pedido? c) En promedio ¿Cuántos clientes hay en el sistema del servicio de comidas?Ejercicio Propuesto # 4 3.-Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos yDVDpara clientes que ven películas en casa. Durante las noches entre semana,losclientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1.25 clientesporminuto. El dependiente del mostrador puede atender un promedio dedosclientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicioexponenciales.a.- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema?b.- ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio?c.- ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comienceelservicio?d.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperarporel servicio?e.- ¿ Las características operativas indican que el sistema de mostrador conunsolo dependiente proporciona un nivel de servicio aceptable?Ejercicio Propuesto # 5 Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceiteylubricación de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2.5automóviles por hora y la tasa media de servicio es de cinco automóvilesporhora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidaddePoisson y que los tiempos de servicio que siguen una distribución exponencial.a.- ¿Cuál es la capacidad promedio de automóviles en el sistema?b.- ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil para que comienceelservicio de aceite y lubricación?c.- ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema? 41
  43. 43. d.- ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar porelservicio?UNIDAD III: TEORÍA DE DECISIÓN 42
  44. 44. 3.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LA TEORÍA DEDECISIONES. En lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupación ahoraserefiere a tomar quizá una sola decisión (o a lo más una secuencia deunascuantas decisiones) sobre que hacer en el futuro inmediato. Noobstante,todavía se tienen factores aleatorios fuera de nuestro control quecrean ciertaincertidumbre sobre el resultado de cada uno de los diferentescursos deacción. El análisis de decisiones proporciona un marco conceptual y unametodología para la toma de decisiones racional en este contexto. Unapregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en estemomento o hacer primero algunas pruebas (con algún costo) para reducirelnivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisión. Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promoción de pruebadeun nuevo producto propuesto para ver la reacción del consumidor antesdetomar la decisión de proceder o no con la producción y comercialización agranescala del producto. Se hace referencia a estas pruebas como realizarexperimentación. Entonces, el análisis de decisiones divide la toma dedecisiones en los casos sin experimentación y con experimentación.Ejemplo prototipo. La GOFERBROKE COMPANY es dueña de unos terrenos en losquepuede haber petróleo. Un geólogo consultor ha informado a la gerenciaquepiensa que existe una posibilidad de 1 a 4 de encontrar petróleo. Debido aestaposibilidad, otra compañía petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90000.Sin embargo, la Goferbroke está considerando conservarla para perforarellamisma. Si encuentra petróleo, la ganancia esperada de la compañíaseráaproximadamente de $700 000; incurrirá en una pérdida de $100 000siencuentra un pozo seco (sin petróleo). Sin embargo, otra opción anterioratomar una decisión es llevar a cabo una exploración sísmica detallada en elárea para obtener una mejor estimación de la probabilidad de encontrarpetróleo. Este caso es de una toma de decisiones con experimentación, y enesemomento se proporcionarán los datos adicionales necesarios. Estacompañíaestá operando sin mucho capital por lo que una pérdida de $100000 seríabastante seria. 43
  45. 45. 3.2 CRITERIOS DE DECISIÓN DETERMINÍSTICOS YPROBABILÍSTICOS.Determinísticos. Los enfoques de la toma de decisiones que no requieren unconocimiento de las probabilidades de los estados de la naturaleza son apro -piados en situaciones en los que el tomador de decisiones tiene poca confianzaen su capacidad para evaluar las probabilidades, o en las que es deseableunanálisis simple del mejor y el peor caso. Debido a que en ocasionesenfoquesdiferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador dedecisionesnecesita entender los enfoques disponibles y luego seleccionar elenfoqueespecífico que, de acuerdo con su juicio, sea el más apropiado.Enfoque optimista El enfoque optimista evalúa cada alternativa de decisión en funcióndelmejor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión que se recomienda es laque da el mejor resultado posible. Para un problema en elque se desea laganancia máxima el enfoque optimista conduciría al tomadorde decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia.Paraproblemas que implican minimización, este enfoque conduce a elegir laalternativa con el resultado más pequeño. Para mostrar el enfoque optimista, primero, determinamos el mejorresultado para cada alternativa de decisión; luego, seleccionamos laalternativade decisión que proporciona el máximo resultado global. Estos pasosidentifican de manera sistemática la alternativa de decisión que proporcionalamayor ganancia posibleEnfoque conservador El enfoque conservador evalúa cada alternativa de decisión desdeelpunto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisiónrecomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultadosposibles.Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia elenfoqueconservador conduciría al tomador de decisiones a elegir laalternativa quemaximiza la ganancia mínima posible que podría obtenerse. Paraproblemasque implican minimización, este enfoque identifica la alternativa queminimizaráel resultado máximo. Para mostrar el enfoque conservador, primero, identificamos elresultadomínimo para cada una de las alternativas de decisión, luego,seleccionamos laalternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo.Este enfoque dedecisión se considera conservador debido a que identifica 44 elpeor resultado
  46. 46. posible y luego recomienda la alternativa de decisión que evita la posibilidadderesultados extremadamente "malos".Probabilísticos. En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtenerevaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Cuandoestándisponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valoresperadopara identificar la mejor alternativa de decisión. Definamos primeroel valoresperado de una alternativa de decisión. SeaN= el número de estados de la naturalezaP(sj)= la probabilidad del estado de la naturaleza sj Debido a que puede ocurrir uno y sólo uno de los N estados delanaturaleza, las probabilidades deben satisfacer dos condiciones: P(sj) |f O para todos los estados de la naturaleza jlÍ| ;lililí P(5 ) + ••• + F(^ ) = 1 S 2 El valor esperado (VE) de la alternativa de decisión d 1 se define comosigue: N V E ( 4 ) § ^PiSjWtj En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisión es lasumade los resultados ponderados para la alternativa de decisión. El pesopara unresultado es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado y,porconsiguiente, la probabilidad de que ocurrirá el resultado.3.3 VALOR DE LA INFORMACIÓN PERFECTA. Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valorpotencial. Existe un método que supone (de manera poco realista) quelaexperimentación eliminará toda la incertidumbre sobre cuál es el estado delanaturaleza verdadero y después hace un cálculo rápido sobre cuál sería lamejora en el pago esperado (ignorando el costo de experimentación).Estacantidad, llamada valor esperado de la información perfecta proporcionauna 45
  47. 47. cota superior para el valor potencial del experimento. Entonces, si estacotasuperior es menor que el costo del experimento, este definitivamentedebellevarse a cabo. Suponga que el experimento puede identificar de manera definitivacuales el verdadero estado de la naturaleza, proporcionando con esto,información“perfecta”. Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado,seelegirá la acción con el máximo pago para ese estado. No se sabedeantemano cuál estado se identificará, por lo que el cálculo del pagoesperadocon la información perfecta (ignorando el costo de la experimentación)requiereponderar el pago máximo para cada estado de la naturaleza con laprobabilidada priori de ese estado. Para evaluar si debe de realizarse el experimento, se usa la cantidaddelpago esperado para calcular el valor esperado de la informaciónperfecta(VEIP); éste se calcula como:VEIP= pago esperado con información perfecta – pago esperado sinexperimentación. Así, como la experimentación casi nunca puede proporcionarinformación perfecta, el VEIP da una cota superior sobre el valor esperado dela experimentación.3.4 ÁRBOLES DE DECISIÓN. Un árbol decisión proporciona una forma para desplegar visualmenteelproblema y después organizar el trabajo de cálculos. Estos árboles dedecisiónson especialmente útiles cuando debe tomarse una serie de decisiones. Ejemplo de un árbol de decisión: 46
  48. 48. Pago 670 -130 60 670 -130 60 700 -100 90 Figura 20.1 El árbol de decisión (antes de realizar los cálculos) para el problema de la Goferbroke Co. Los nodos del árbol de decisión se conocen como nodos de decisiónylos arcos se llaman ramas. Un nodo de decisión, representado por uncuadrado, indica que una decisión necesita tomarse en ese punto delproceso.Un nodo de probabilidad, representado por un círculo, indica queocurre unevento aleatorio en ese punto.3.5 TEORÍA DE DUALIDAD. El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente deunmodelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionadosatal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dosproblemasconduce en forma automática a la solución óptima del otro. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hayunaasociación y una relación muy importante con otro problema deprogramaciónlineal, llamado precisamente dual. Si el Primal es: 47
  49. 49. Máx Z = CXs.a.AX≤ b xi≥ 0 El Dual es:Min Z = bYs.a. TA Y≥Cyi≥ 0 T TUsos de la formulación dual. Las estructuras duales permiten entre otras cosas: a ) Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que actividades. Como el grado de dificultad en resolver un programa lineal por medio de una computadora está en función del número de filas de la matriz A y no en el número de columnas, al aplicarse la dualidad a un problema primal donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde el número de filas n es menor al número de columnas m. b ) Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programación lineal. Crear nuevos algoritmos para la solución de problemas de redes c) deoptimización. Generar métodos como el dual simples para el análisis de d) sensibilidadde los programas de programación lineal.Propiedades del primal y del dual. Si el Primal es un problema de Maximización (Minimización), el Dual a) esun problema de Minimización (Maximización). b) Los valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientes de la función objetivo del Dual. Y los valores de los coeficientes de la función objetivo del Primal son los valores de los recursos del Dual. c) La matriz de los coeficientes tecnológicos del Dual es la matriz transpuesta de los coeficientes tecnológicos del Primal. Y como (A ) =A entonces el Dual(Dual)=Primal. T T d) El número de restricciones del Primal es igual al número de variables de decisión del Dual, es decir, por cada restricción del Primal existe una variable Dual asociada. 48
  50. 50. e) El número de variables de decisión del Primal es igual al número de restricciones del Dual, es decir, por cada variable del Primal existe una restricción asociada del Dual. f) Si una restricción del Primal esta en la forma canónica problema, la delvariable Dual asociada es no negativa y viceversa. g) Si una restricción del Primal no esta en la forma canónica del problema, la variable Dual asociada es no positiva y viceversa. h) Si una restricción del Prima es una igualdad, la variable Dual asociada es sin restricción de signo y viceversa.3.6 DECISIONES SECUENCIALES. Las decisiones secuenciales de inversiones es un caso interesantequese resuelve con lo que se denomina un árbol de decisiones. Para estoscasoses necesario primero conocer (con una encuesta) las probabilidades relativasala preferencia de los mercados con respecto a un nuevo servicio que sedesea ofertar y ello arrojaría un % tal que sería el peso subjetivo queseutilizaría en el árbol de decisiones. a su vez los rendimientos segúnalternativasse haría con el valor actualizado de una anualidad constante, a fin deconocerel van (valor actualizado neto) según cada inversión para cadacon susalternativa. Perosiempre considerando el van de la decisión de no hacer nada osea de seguir servicios actuales. Por ejemplo una empresa operadora de turismo tiene la posibilidaddecontratar por 10 años sus servicios para una nueva operación diferente asuactual operación. si sus servicios actuales le proporciona por ejemplo500.000unidades monetarias por año, y tendría que abandonar ese servicioparaaceptar el nuevo contrato, que incluso le supone realizar una nuevainversiónestimada en 6 millones de unidades monetarias, entonces se deben compararavalor presente los dos rendimientos de esas alternativas para poder decidir.3.7 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. El análisis de sensibilidad puede usarse para determinar cómo loscambios en las probabilidades para los estados de la naturaleza o loscambiosen los resultados afectan la alternativa de decisión recomendada. Enmuchoscasos, las probabilidades para los estados de la naturaleza y los resultados 49sebasan en afirmaciones subjetivas. El análisis de sensibilidad ayuda altomador
  51. 51. de decisiones a entender cuáles de estas entradas son críticas para laelecciónde la mejor alternativa de decisión. Si un cambio pequeño en el valor deuna de
  52. 52. las entradas causa un cambio en la alternativa de decisión recomendada,lasolución para el problema de análisis de decisión es sensible a esa entradaparticular. Debe hacerse un esfuerzo y tener un cuidado adicional paraasegurar que el valor de entrada es tan preciso como sea posible. Porotraparte, si un cambio de modesto a grande en el valor de una de las entradasnocausa un cambio en la alternativa de decisión recomendada, la soluciónalproblema de análisis de decisión no es sensible a esa entrada particular. Noserequeriría tiempo o esfuerzo adicional para refinar el valor de entradaestimado. Un enfoque para el análisis de sensibilidad es seleccionarvaloresdiferentes para las probabilidades de los estados de la naturalezay losresultados y luego resolver el problema de análisis de decisiones. Si cambialaalternativa de decisión recomendada, sabemos que la solución es sensiblealos cambios hechos. Es obvio que podríamos continuar modificando las probabilidades delosestados de la naturaleza y aprender aún más acerca de cómo afectanloscambios en las probabilidades a la alternativa de decisión recomendada.Elinconveniente de este enfoque son los numerosos cálculos que se requierenpara evaluar el efecto de varios cambios posibles en las probabilidadesdelestado de la naturaleza. Para el caso particular de dos estados de lanaturaleza, puede usarse un procedimiento gráfico, para determinarcómoafectan los cambios de las probabilidades a la alternativa de decisiónrecomendada.EJERCICIOS RESUELTOS 50Ejercicio # 1
  53. 53. Piénsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado,que desea suministrar a la granja tres tipos de pastillas vitamínicas.Estaempresa debe convencer a los responsables de la granja para que aportenlasvitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediantelospreparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta delaspastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1, P2.Sean y1, y2 y y3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y Crespectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios queconsiganmaximizar sus beneficios pero que además resulten atractivo para los responsables de la granja. a) Cada kilogramo del preparado P1 aporta 5 unidades de vitamina A, 1.5 unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que deberíapagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 5y1+1,5y2+1y3. A la granja no le resultarían rentables laspastillas a no ser que 5y1+1,5y2+1y3 ≤ 2. b) Cada kilogramo del preparado P 2 aporta 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina B y 1,5 unidades de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de c) Por supuesto, los precios 3y 1+3y2+1,5y3. A lavitamínicasle deben ser vitaminas en pastillas sería: de las pastillas granja no resultarían rentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1,5y3 ≤ 3. positivos, por tanto se tienen además las condiciones de no negatividadde y1, y2 y y3. Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas,compraránjustamente las necesarias para aportar las necesidades mínimas delganado decada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y día se comprarían27unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. Por tantolosingresos de la empresa por la venta de las pastillas serían de Z =lineal:27y1+15y2+9y3 por animal y día. Para establecer los precios, la empresa debería plantearse el programaPRIMAL Max Z = 27y1+15 y2+ 9y3 s.a. 5y1 + 1,5y2 + 1y3 ≤ 2 3y1 + 3y2 +1,5y3 ≤ 3 y1, y2, y3 ≥ 0DUAL 51Max = 2y1 + 3y2
  54. 54. s. a. 5y1 + 3y2 ≥ 271.5y1 + 3y2 ≥ 15 y1 + 1.5y2 ≥ 9Solución:(1.5) 5y1 + 3y2 = 27 (-5) 1.5y1 + 3y2 = 15 7.5y1 + 4.5y2 = 40.5 -7.5y1 - 15y2 = - 75 - 10.5y2 = -34.5 y2 = - 34.5 / - 10.5 y2 = 3.29 y1 + 1.5y2 = 9 y1 = 9 – 1.5(3.29) y1 = 4.07Max = 2(4.07) + 3(3.29) = 18.01Ejercicio # 2 Suponga que de sea invertir $10, 000, en el mercado devalores,comprando acciones de una de dos compañías: A y B. Las accionesde lacompañía A son arriesgadas, pero podrían producir un rendimiento de50%sobre la inversión durante el próximo año. Si las condiciones del mercadodevalores no son favorables, las acciones pueden perder el 20% de su valor.Laempresa B proporciona utilidades seguras, de 15% en un mercado a la alzaysolo 5% en un mercado a la baja. Todas las publicaciones queconsultopredicen que hay 60% de probabilidades que el mercado este a la alzay 40%de que este a la baja. ¿Dónde debería invertir su dinero? Invertir Mercado a la alza (0.6) en 52 acciones de A $ 5, 000
  55. 55. 2 Mercado a la baja (0.4) - $ 2, 000 1 Invertir enMercado a la alza (0.6) acciones de B $1, 500 3 Mercado a la baja (0.4) $ 500 Para las acciones A = $ 5, 000 *0.6 + (-200) * 0.4 = $2200 Para las acciones B = $ 1, 500 * 0.6 + $ 500 * 0.4 = $ 1100 En base a estos cálculos se recomienda invertir en la empresa A.Ejercicio # 3 Pittsburgh Development Corporation (PDC) compro unos terrenos en losque se construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. La ubicaciónproporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y del TrianguloDorado, donde se unen los ríos Allegheny y Monongahela para formar el rióOhio. PDC planea fijar los precios de las unidades del condominio entre$300,000 y $ 1 400 000 cada una. PDC comisiono los bocetos arquitectónicos preeliminares para tresproyectos de diferente tamaño: uno con 30 condominios, otro con 60 y unomás con 90. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño delcomplejode condominios y del evento fortuito para la demanda que existade losinmuebles. El problema de decisión de PDC es seleccionar eltamaño delnuevo proyecto que llevara a la mayor ganancia dada la incertidumbre enlademanda de los condominios.d1 = complejo pequeño con 30 condominios.d2 = complejo mediano con 60 condominios.d3 = complejo grande con 90 condominios. Los resultados posibles para un evento fortuito o estados de lanaturaleza son para PDC:s1 = Demanda fuerte para los condominios.s2 = Demanda débil para los condominios.Enfoque optimistaAlternativa de dedición Resultado máximo 53

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