Cap 4-potencial electrico 46-74
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Cap 4-potencial electrico 46-74 Cap 4-potencial electrico 46-74 Document Transcript

  • Cuaderno de Actividades: Física II 4) Potencial Eléctrico y Energía Potencial ElectrostáticaLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 46
  • Cuaderno de Actividades: Física II4) Potencial EléctricoV à CAMPO ESCALAR •P → Escalar  ρ → 1  r − r′ r r   r r 1E, F → r r 2 { r − r ′}4.1) Definición de potencial de una carga puntualLa diferencia de V, ∆V , entre los puntos A y B, será igual al trabajocuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, porunidad de carga de prueba. VA VB r r A FEXT FE B 0 r q0 qW ≡E r rProceso cuasiestacionario : − FEXT ≡ FE rr FeE= : Definición operacional del E q0 r r r kqr kq ( r − r ′) kq E(r) ≡ 3 ≡ 3 ≡ 2 er ˆ r r − r′ rLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 47
  • Cuaderno de Actividades: Física II r FEXT , q0 W B→ A∆VAB ≡ VA − VB ≡ q0 rA rA r r r r ∫ rB FEXT .dr − ∫ Fe .dr rBVA − VB ≡ ≡ q0 q0 rA r r rVA − VB ≡ − ∫ E.dr ← ∆V ≡ ∆V E ( ) rBA → r cualquieraB → r " refererencial " ← VB " REFERENCIAL " rA  kq  r rV ( r ) − V ( rREF ) ≡ − ∫  2 er dr , dr ≡ drer ˆ ˆ rB r  rA kq→ V ( r ) − V ( rREF ) ≡ − ∫ dr rB r2 rA ≡ r  −kq → V ( r ) − V ( rREF ) ≡ −   r rB ≡ rREF 1 1 → V ( r ) − V ( rREF ) ≡ kq  −   r rREF  1 1  V ( r ) ≡ V ( rREF ) + kq  −  rREF → ∞ ⇒ VREF ≅ 0  r rREF  kq → V q (r ) ≡ r rGeneralizando para una carga q colocada en r ′ , kq V q (r ) ≡ r r r − r′Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 48
  • Cuaderno de Actividades: Física II4.2) Potencial para diversas distribuciones de cargasExtendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresionespara distribuciones discretas y continuas,i) Distribuciones Discretas: n q q1 kq r r V q (r ) ≡ r ir , r ′ ≡ ri qn r − r′ qi V DD (r ) ≡ ∑ i V i (r ) q r •P ri i =n r kq V DD (r ) ≡ ∑ r ir r i =1 r − riii) D. Continuas: ρ , σ y λ k ρ dv V ρ (r ) ≡ ∫ r r ρ dq ρ r −r ′ P kσ da V σ (r ) ≡ ∫ r r σ r − r′ k λ dl V λ (r ) ≡ ∫ r r λ r −r ′ Ju [V ] ≡ ≡ volt ≡ V CLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 49
  • Cuaderno de Actividades: Física II4.3) Lugares equipotenciales i) Superficies equipotenciales Son regiones del R3 donde el V se mantiene constante. j) Volumétricos Volumen A Q ρ V=cte jj) Superficiales σ Plano A V=cte jjj) Lineales + Líneas A V=cte − SE r E*El E es perpendicular a las superficies equipotenciales.Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 50
  • Cuaderno de Actividades: Física IIii) Equipotenciales asociadas a ciertas ρ i) ρ àq Kq V= R à CASACARONES r≡R ii) ρ à D. Discretas r E r ρ →E r r E.dr = 0 Superficie Equipotencialiii) ρ → λ r E λ λ Superficie EquipotencialLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 51
  • Cuaderno de Actividades: Física IIiv) ρ →σ σ r E Planos // σ σv) ρ → ρ ρ ρ ( r) ≡ q Superficie Equipotencial r4.4) Relación entre V ∧ E r E →V r r r1ºà V1ºà ρ ( r ) − Vref ≡ − ∫ E ρ . dr rref r V →E r E ≡− V ∇ r2ºà E → CAMPO CONSERVATIVO2ºà ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ∇≡ i+ j+ k V ≡ V ( x, y,z ) ∂x ∂y ∂zAplicacionesLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 52
  • Cuaderno de Actividades: Física IIS2P1) Una esfera conductora de radio R posee una densidad de carga: ρ ( r ) ≡  ρ0 R  r , ρ0 ≡ cte     a) Halle la carga total. b) Halle la carga en el interior de una esfera de radio r. c) Halle el E y úselo para determinar el V en cualquier lugar y graficar.Solución: r r R EI EII R r r da  ρ0 r  4πρ0 r 3 πρ0 r 4a ) q ≡ ∫ ρ dv ≡ ∫   { 4π r dr} → q ( r ) ≡ R ∫ 2 r dr = ρ ρ R  0 Rb) Q ( r ≡ R ) ≡ πρ0 R 3c) El potencial se puede hallar con : k ρ dv r r rV ρ ( r ) ≡ Vref − ∫ E.dr ∨ V ρ ( r ) ≡ ∫ r r r ρ r −r ′ ref r r q r rII ) Ñ .da ≡ NE ∫E → E//da SG ε0 r r  ρ R3  1 → E cte∀punto SG EII =  0  2  4ε 0  r r πρ R 3 EII { 4π r 2 } ≡ 0 → 4ε 0Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 53
  • Cuaderno de Actividades: Física II r πρ r 4I ) EI { 4π r 2 } ≡ 0 → r  ρ  EI =  0  r 2 Rε 0  4 Rε 0  r  CII   r dr   II )V ( r ) ≡ VREF − ∫  2 er  .{ drer } ≡VREF − CII ˆ ˆ  ∫ 2 rREF   r  rREF r     −1  = VREF − CII  ]rREF r → rREF → ∞, VREF ≈ 0 r  CII ρ0 R 3 VII ( r ) = ≡ r 4ε 0 r r  r 2   I )V ( r ) ≡ VREF − ∫ { C r e } .{ dre } ≡V − CI  ∫ r dr  2 I ˆ ˆ r r REF rREF  rREF    r  r3  VI ( r ) ≡ VREF − CI   ← VREF ≡ ?  3  rREFArgumentación: à Continuidad del V: VI ( R ) ≡ VII ( R ) ρ0 R 2 ρ  r 3 R3  VI ( r ) ≡ − 0  − à 4ε 0 4 Rε 0  3 3 Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 54
  • Cuaderno de Actividades: Física II4.5) Energía potencial electrostática, EPe = U Q q r 0 →∞ Inicio kqQ W FEXT ≡ −W − FE ≡ q∆V ≡ R Q q 0 r finLa Epe se puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luegode constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar elsistema de cargas.  Para un sistema q1,q2,r: kq1q2 E pe ≡ r  En general, Kq1q2 Kq1q2 E pe ≡ ≡ d r2 − r1 q1 d r q2 r1 r r2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 55
  • Cuaderno de Actividades: Física IIEpe para ciertas distribuciones de cargai) Distribuciones Discretas qi Caso n=4 q2 q2 q3 q q3 2 E1 E2 E3 E4 q1 q1 q1 q1 q4 n=4 EPe ≡ ∑ Ei q2 q3 i q1 q4E1 = 0 Kq1q2E2 = l Kq q Kq qE3 = 3 2 + 3 1 l l 2 Kq4 q3 Kq4 q2 Kq4 q1E4 = + + l l 2 lLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 56
  • Cuaderno de Actividades: Física II j ≡n 1i≡n kq E pe ≡ ∑ qiV j , V j ≡ ∑ r jr i ≡1 2 j ≡1 ri − rj j ≠iii) Distribuciones Continuas 1 2∫  Para el volumen: Ep = ρ dvV ρ 1  Para el área: Ep = 2σ∫ ρ daV 1 2∫  Para la longitud: Ep = ρ dlV λ4.6) Dipolo eléctrico,AISLANTE - ≡ + r r ≡ - - -+ - + + P, p - - + - - - -+ -+ - + -Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo - 57
  • Cuaderno de Actividades: Física IIDefinición de dipolo eléctrico rEs el caso más simple {el modelo más sencillo} del momento dipolar, p , de un dipolar,sistema de cargas.Para el caso de Distribuciones Discretas: Discretas: r i =n r p = ∑ qi ri i =1Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:n = 2 : q1 ≡ + q ∧ q2 ≡ −q r r r r r → p ≡ r1 ( + q ) + r2 ( −q ) ≡ q ( r1 − r2 ) r r si ( r1 − r2 ) = d , +q −q r r r1 r2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 58
  • Cuaderno de Actividades: Física II r r p = qd r r ri) Potencial del Dipolo à “P muy lejos al dipolo” ( r1 − r2 <<< r ) d −q +q r r′ r r P r− r+ r r 12  % d  % d   % 2 % d  2 % d   * r − r− ≡ r + ≡  r +   r +  ≡  r + r .d +  2  2  2  4    12  % r d  r r d r r r 2 % 1 + r .d ≡ r +  % ;(r− ≡ r − ),(r ≡ r − r ) 2  r %2 %  4r  2  ...despreciandolos cuadrados... d*Considerando a << 1 (" pequeño ") : BINOMIO : (1 +x ) n ≈ +nx, x < 1 1 < % rLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 59
  • Cuaderno de Actividades: Física II 12  %   %  r .d  1 %  1  1 r .d r −r ′ ≡ r 1 + 2  ≡ 1 − %    r  r − r− % r  2 r  %2   −1 2  %  → 1 1  r .d  ≡ 1 + 2  %  − Kq  1 r .d  → V− q ( r ) ≡ 1− r − r′ r  %  % r   %  r  2 r  %2     %  Kq  1 r .d  r .d d cos θ % → V+ q ( r ) ≡ 1+ ≡ ,θ = θ ( r , d ) % %  %2 r  2 r   %2 r % r   ⇒ Vp ( r ) ≡ Kq ( r% .d ) (r) ≡K ( r% . p ) ( p = qd ) ⇒ V p %3 r %3 r → Vp ( r ) ≡ k { ( r − r ′ ) . p} 3 r − r′r ′ : localiza el pr : localiza el P(punto de calculo)V p ( r ) en mejores coordenadas De la ecuación anterior : Z P Vp ( r ) ≡ k { ( r ) . p} 3 p r θ r rp cos θ k p cos θ 0 Y Vp ( r ) ≡ k ≡ r3 r2 X ii) EP ( r ) "Campo del Dipolo" p E r r′ r rLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 60
  • Cuaderno de Actividades: Física II 3( r . p ) r % p r  % EP ( r ) ≡ k  5 . 3  r % % r   EP ( r ) = E− q ( r ) + E+ q ( r ) ← DD...iii) Energía de Interacciónp − E ≡ E pe para formar p p à Energía para formar el dipolo E en ese campo y posición. E pe ≡ W ≡ − p.Eiv) Fuerza sobre un p en una región de E r Fp Fp ≡ −∇W E Fp ≡ −∇E peLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 61
  • Cuaderno de Actividades: Física IIv) Torque sobre un p en una región de E p E r′ r { } τ p ≡ r ′ × p. ( ∇E ) + p × E Si r ′ es cero o si E es uniforme : τ p = p× EAplicaciones:Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 62
  • Cuaderno de Actividades: Física IIS2P17) Un volumen esférico de radio R0 está lleno con carga de densidad uniforme ρ. Supongamos que dicha esfera se construye, capa por capa, a partir de una esfera de radio r, a) ¿Cuál es la carga total en este estado?, b) Seguidamente añada una capa infinitesimal delgada de espesor dr. ¿Cuánto vale el trabajo dw efectuado en trasladar la carga de esta capa desde el infinito hasta el radio r?, c) Finalmente realice una integración desde r = 0 a r = R0 para calcular el trabajo total, ¿Cuál es la energía total asociada al sistema?, expréselo en función de la carga total Q y del radio de la esfera R0.Solución:A) Por superposición de capas: forma distinguible. Q ρ q q +dq dr r r R0Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 63
  • Cuaderno de Actividades: Física II  4  kdq { q} { k ρ (4π r 2 dr )  ρ ( π r 3 )   3 }  ≡ k ( 4π ) ρ 2 r 4 dr 2dW ≡ ≡ r r 3 k ( 4π ) ρ 2 k ( 4π ) ρ 2 2 2 R0 R0W ≡ E ≡ ∫ dw ≡ ∫ r dr ≡ 4 5 R0 0 0 3 15 k ( 4π ) 2 Q2≡ × 2 × R0 × 9 3 5 5 15 4 3   π R0  R0 3  3kQ 2W ≡E≡ 5 R0B) Usando la Ec general: forma indistinguible 1E pel = 2 ∫ ρdvV ρV =Vp ≡V ( r ) r r r kQV ( r ) =Vref − ∫ E.dr ; rref = R0 , Vref = ref R0 4 r k [ ρ( πr 3 )] kQ 3V (r ) = − ∫{ }{dr} R0 R0 r2 kQ 4 1V (r ) = −k ρ π × {r 2 −R0 } 2 R0 3 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 64
  • Cuaderno de Actividades: Física II R 1 0  Qr 2 1 1 4 1 1 2 2 E pel = ( ρ 4π ) k{ ∫  2 − × r + × R0 r dr} 2 0  ρ 4π R0 3 2 3 2  1 QR03 1 1 R05 1 1 R05= ( ρ 4π ) 2 k{ − × + × } 2 ρ 4π R0 3 3 2 5 3 2 3 1 1 1 1 = ρ 2 (4π )2 kR05  − +  2  9 30 18  3kQ 2W ≡E≡ 5R0S2P38) Determine el V en el eje de un anillo de radio R y densidad λ Z P z≡d λ k λ dl V ( z) ≡ ∫ r r 0 y λ r −r φ R r ˆ r x dq r ≡ zk , r ≡ R cosθ i + Rsenθ ˆ ˆ j r r→ ( r − r ) ≡ − R cosθ i − Rsenθ ˆ + zk ˆ j ˆ 1r r {r − r ≡ R2 + z 2 } 2; dl ≡ RdθLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 65
  • Cuaderno de Actividades: Física IIV λ ( z) ≡ kλ R 1 { ∫ dθ } 2π { } 0 R2 + z 2 2 2π k λ RV λ ( z) ≡ 1 {R 2 +z } 2 2S2P39) Una partícula de masa m y carga – q se coloca en el centro de un anillo cargado uniformemente, de radio a. El anillo tiene una carga total positiva Q y la partícula está confinada a moverse en el eje del anillo (X). Si se desplaza una pequeña distancia x de su posición de equilibrio a lo largo del eje (x << a) y luego es soltado, demuestre que la partícula oscilará con MAS y halle la frecuencia de oscilación.Solución:A) Usando EpeLa Ep para formar el sistema Anillo-carga, 2π k λ aqE p ≡ qV λ ( x ) ≡ 1 {a 2 +x } 2 2Aplicando la condición,Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 66
  • Cuaderno de Actividades: Física II 1 −  x  2E p ≡ −qV λ ( x ) ≡ −2π k λ q 1 + ( ) 2   a   1 x E p ≡ −2π k λ q 1 − ( ) 2   2 a  π kλq 2 1 % 2 %Ep ≡ 2 x ≡ kx ; k : cteelastica a 21 % π kλq % (2π aλ )kq ≡ Qkq ≡ ω 2 m k≡ →k ≡2 a2 a3 a3 1 Qkq ω 1  kQq  2ω 2m ≡ → ω ≡← ν ≡ →ν ≡   a3 2π 2π  ma 3 B) Usando fuerza eléctrica Z Y dq r r dθ r dF X x -q Qdq ≡ λ ds λ= 2π adFx ≡ dF cosφ(solo interesa fuerza hacia la izquierda)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 67
  • Cuaderno de Actividades: Física IIDistribución contínua de carga∑→∫ kdqq cos φF = ∫ dF cos φ = ∫ r2 k λ ( adθ ) ( q ) cos φ≡∫ r2 k λ aq cos φ 2π≡ r2 ∫0 dθ xF ≡ kQq 3 r x≡ kQq ( ) 3/ 2 x2 + a2r xFe = − kQq ˆ i (x ) 3/ 2 2 +a 2 xx << a << 1 ar xFe = −kQq 3/ 2  3  x 2  a    + 1  a    r kQq ˆFe = − 3 xi ≡ −cxi ˆ ar r ˆFe ≡ Fe ≡ −cxi ≡ mxi&&ˆ c&& +x x≡0 m→ && → w2 x ≡ 0 xLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 68
  • Cuaderno de Actividades: Física II cw= m w 1 kQq→ν ≡ ≡ 2π 2π ma 3S2P21) Calcule la energía que se requiere para hacer el + q arreglo de cargas que se observa en la figura, donde a = 0,20, b = 0,40 m y q = 6µC. Deducir las expresiones que usará. -2q aSOLUCION: +2q b +3q q1 q2 Ep,el =? a q4 b q3a) q1 a * w1 = 0 bLic. Percy Víctor Cañote Fajardo 69
  • Cuaderno de Actividades: Física II q1 q2 a k .q1.q2 * w2 = b b q1 q2 a k .q1.q3 k .q1.q3 w3 = + (a 2 +b ) 2 1/ 2 a b q3 q1 q2 k .q1.q4 k .q2 .q4 k .q .q w3 = + + 3 4 a ( a 2 + b2 ) 1/ 2 a b q4 b q3 → E p ,el = wT = w1 + w2 + w3 + w4   kq kq3 kq b) * q1 : q1  2 + + 4  = w1  b ( a 2 + b 2 ) 1/ 2 a      kq kq kq4 * q2 : q2  1 + 3 + =w  b a ( a +b )2 1/ 2  2 2     kq1 kq kq * q3 : q3  + 2 + 4  = w3  ( a 2 + b 2 ) 1/ 2 a b   Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 70
  • Cuaderno de Actividades: Física II   kq kq2 kq * q4 : q4  1 + + 3  = w4  a ( a 2 + b 2 ) 1/ 2 b    1 → E p ,el = ( w 1 + w 2 + w 3 + w 4 ) 2 = ( w1 + w2 + w3 + w4 )S2P27) La esfera de radio “a” constituye un sistema de cargas con densidad volumétrica ρ = ρ0 r. Se a S encuentra rodeada concéntricamente por un b cascaron metálico de radio interno “b”. a) Calcule el potencial eléctrico en r = a/2 b) Si se conecta el interruptor S, ¿Cuál es el nuevo potencial en r = a/2?SOLUCION:ρ ( r ) = ρ0 .r E3 =0 s q (r) +Q -Q +Q ˆ er E1 E2 E4 0 a b c r (1) (2) (3) (4)Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 71
  • Cuaderno de Actividades: Física IIa) s↑ V( r = a/2) = ? r q ( r ) = ∫ ( ρ0 r ) ( 4π r 2 dr ) = πρ0 r 4 → q ( a ) = Q = πρ0 a 4 0 r r r→ V ( r ) = VREF − ∫ E.dr rREF kQ kq(4): E4 =? ← LG → E4 = → V4 ( r ) = r2 r(3): E3 =0 → V3 (r) = cte ← LGDebido a la continuidad del V, kQr = c; V (r = c) = V3 = V4 (r = c) = c kQ(2): E2 ( r ) = ← LG r2 r  kQ V2 ( r ) = V ( r = b ) − ∫  2 er . ( drer ) ˆ ˆ b r  kQ  kQ kQ → V2 ( r ) = + −  c  r b  r r q ∴ Ñ .ds = NE(1): E1 (r) =? ← LG→ ∫ E SG ε0Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 72
  • Cuaderno de Actividades: Física II πρ0 .r 4 ρ .r 2→ E1.{ 4π r 2 } = → E1 = 0 = kπ .ρ 0 .r 2 ε0 4ε 0 r r r kπρ 0 3V1 (r) =? → V1 ( r ) = V ( r = a ) − ∫ E1.dr → V1 ( r ) = V ( a ) − 3 ( r − a3 ) aPor continuidad del V, r = a : V1 ( a ) = V2 ( a ) 1 1 1→ V2 ( a ) = kQ  + −  = V1 ( a ) = V ( a ) c a b  1 1 1  kπρ 0 3→ V1 ( r ) = kQ  + −  − c a b 3 ( r − a3 )  1 1 1  7kπρ0 a 3→ V1 ( a / 2 ) = kQ  + −  + c a b 24b) s↓ V( r = a/2) = ?En estas condiciones la carga +Q externa es neutralizada por “tierra”,alcanzando el cascaron potencial cero.(4): E4 =0 ← LG → E4 = 0 → V4 ( r ) = 0 , debido a la continuidad del V,(3): E3 =0 → V3 (r) = 0 kQ(2): E2 ( r ) = ← LG r2 r  kQ V2 ( r ) = V ( r = b ) − ∫  2 er . ( drer ) ˆ ˆ b r   kQ kQ → V2 ( r ) =  −   r b Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 73
  • Cuaderno de Actividades: Física II r r qNE(1): E1 (r) =? ← LG→∴ Ñ .ds = ∫E SG ε0 πρ0 .r 4 ρ .r2→ E1.{ 4π r 2 } = → E1 = 0 = kπ .ρ 0 .r 2 ε0 4ε 0 r r r kπρ 0 3 3V1 (r) =? → V1 ( r ) = V ( r = a ) − ∫ E1.dr → V1 ( r ) = V ( a ) − 3 (r −a ) aPor continuidad del V en r = a : V1 ( a ) = V2 ( a ) 1 1→ V2 ( a ) = kQ  −  = V1 ( a ) = V ( a ) a b  1 1  kπρ 0 3→ V1 ( r ) = kQ  −  − a b 3 ( r − a3 )  1 1  7kπρ 0 a 3→ V1 ( a / 2 ) = kQ  −  + a b 24 2aq cos θS2P35) Usando la ecuación: V ( r , θ ) = , r >> a, demuestre que las 4πε 0 r 2 superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico son descritas por la ecuación r2 = b cosθ donde b es una constante.SOLUCION: 2a.q.cos θ V ( r ,θ ) = ; r >> a 4πε 0 r 2Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 74
  • Cuaderno de Actividades: Física IISE , V p : r 2 = b cos θ ; b : cte...? r kp cos θV ( r,θ ) = r2S E: V = cte kp kp→ r2 = cos θ → = b ( b : cte ) → r 2 = b cos θ V V Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 75