Exercícios resolvidos conjuntos

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  • 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CONJUNTOS Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de alunos desta classe que gostam de matemática e de história é: a) Exatamente 16 b) Exatamente 10 c) No máximo 6 d) No mínimo 6 e)Exatamente 18 Solução: Usando o teorema da inclusão, teremos: N(M υ H) = N(M) + N(H) – N( M H) substituindo obteremos N(M υ H) = 16 + 20 - N( M H) N(M υ H)= 36 - N( M H) Ora mais o conjunto tem 30 alunos e isto significa que tem no máximo 30 alunos. Assim 30 = 36 - N( M H)
  • 2. Logo N( M H) = 6 , concluímos que no mínimo 6 alunos gostam de matemática e de história. Item d Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então: a) A tem no máximo 1 elemento. b) A c) (A d) (A e)A Solução: a) É falso já que o número de elementos de A é 2, isso significa que A pode ter no máximo 2 elementos. b) É falso já que A pode ser no máximo 6 elementos, basta considerar o caso em que os conjuntos não têm nenhum elemento em comum.
  • 3. c) Esse é o item verdadeiro como A tem 2 elementos considere que esses 2 elementos também pertence a B e assim A , logo essa interseção com o conjunto C pode ter no máximo 2 elementos . d) É falso já que e como C tem 4 elementos, isso implica que (A e)A tem exatamente 2 elementos já que por definição o conjunto vazio não possui nenhum elemento. Numa universidade são lidos apenas 2 jornais X e Y. 80% dos alunos da mesma lêem o jornal X e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos. a) 80% b) 14 % c) 40% d)60% e) 48%
  • 4. Solução: Pela leitura é garantido que a interseção é diferente de vazio, então analisando o diagrama temos: 80% - x+ x+ 60% - x = 100% 140% - x = 100% X= 40 % (FUVEST) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A=48% A e B = 18% B=45% B e C = 25%
  • 5. C=50% A e C= 15% NENHUM DAS MARCAS A, B e C= 5% a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C. b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das 3 marcas. Solução a) Veja a figura
  • 6. Como não sabemos o valor da interseção dos 3 conjuntos vamos chamar de x. Assim 1 )A 2)A 3)A 4)B , Logo, 5) n(A)= 48 – (15 –x +x +18-x)= 15 + x 6)n(B)= 45 - (18 – x +x 25 – x)= 2+ x 7)n(C)= 50 – (15- x +x + 25 – x)=10 + x Lembrando que 5% não consome nenhuma das marcas. Então, basta agora somar todos esses valores e igual a 100% que representa todos os entrevistados. 15% + x – x + 15% - x +18% -x + 2% +x + 25% -x + 10% + x + 5% = 100% 90% + x = 100% X= 10% b) 15% + x + 2% + x 10% +x = y
  • 7. 27% + 3x= y 27% + 3. 10% = y 27% + 30%= y 57% = y (PUC-SP) Em um exame de vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20 % optaram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual era a porcentagem dos que optaram por Direito. a) 50% b)20% c)10% d) 6% e) 5% Solução: Observem que essa é uma questão bem simples basta apenas o candidato ter conhecimento de porcentagem, já que podemos ver essa pergunta como sendo quanto é 20% de 30%. Assim 30% X =6%