UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA...
<ul><li>Finalidades da Educação Matemática </li></ul><ul><li>“ Educação Matemática é uma área de conhecimento interdiscipl...
<ul><ul><li>Ao refletir sobre “Por que ensinar Matemática?” Ubiratan D’Ambrósio propõe que nos situemos no contexto de um ...
OBJETIVOS E METAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA <ul><li>Proporcionar aos alunos e alunas a construção integral dos conhecimentos ...
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES DO FUTURO PROFESSOR PARA O SÉCULO XXI <ul><li>capacidade de expressar-se escrita e oralmente co...
<ul><li>A formação dos professores de matemática é um dos grandes desafios para o futuro. Segundo Beatriz D’Ambrósio, no l...
INTRODUÇÃO  <ul><li>Modelagem: método científico de pesquisa ou estratégia de ensino-aprendizagem? </li></ul><ul><li>Model...
CONSIDERAÇÕES <ul><li>A consistência de ou sua própria validação tem sido dependente, muitas vezes, da linguagem matemátic...
OBJETIVOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>Aproximar uma outra área do conhecimento da matemática; </li></ul><ul><li>Enfati...
PASSOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>Escolha do tema; </li></ul><ul><li>Reconhecimento da situação/problema; </li></ul><...
PRECURSORES DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>Aristides Barreto Camargo: </li></ul><ul><li>Aristides C. Barreto tomou conhec...
<ul><li>Ubiratan D’Ambrosio: </li></ul><ul><li>&quot;A relação entre a matemática escolar e a matemática da vida cotidiana...
<ul><li>Rodney Carlos Bassanezi: </li></ul><ul><li>“ A  modelagem matemática é um processo que alia teoria e prática, moti...
DESCARTES E A MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>O método proposto por  Descartes para  conduzir a  razão  e buscar  a  verdade ...
<ul><li>O  terceiro,  conduzir  por  ordem  meus  pensamentos,  começando  pelos objetos  mais  simples  e  mais  fáceis  ...
O SONHO DE DESCARTES Razão  Unificação e  esclarecimento de  toda ciência. método A busca do  conhecimento científico.
<ul><li>Aceitar somente aquilo que seja tão claro em nossa mente, que exclua qualquer dúvida; </li></ul><ul><li>Dividir os...
<ul><li>Modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. </li></u...
 
<ul><li>A s abelhas têm nos dado uma lição sobre organização comunitária, comunicação e engenharia. As “operárias” vivendo...
<ul><li>A COLETA DE ALIMENTOS </li></ul><ul><li>Uma abelha campeira voa, aproximadamente, 24 km/h, consumindo para isso ce...
<ul><li>Em uma hora, deve consumir: </li></ul><ul><li>0,5 mg  ->  1 km </li></ul><ul><li>x  ->  24km </li></ul><ul><li>X= ...
A DANÇA DAS ABELHAS <ul><li>Ao dançar na colméia, outras abelhas podem aprender a posição e o odor das flores, embora não ...
<ul><li>Resolução 1: </li></ul><ul><li>y = ax + b </li></ul><ul><li>y -> a distância em metros </li></ul><ul><li>x -> o nº...
PRESSUPOSTO <ul><li>A atividade proposta foi baseada no livro “Modelagem Matemática no ensino”, de Maria Salett Biembengut...
PONTOS POSITIVOS  DA MODELAGEM MATEMÁTICA: <ul><li>Contribuição para a formação da cidadania e para o debate em torno de t...
PONTOS NEGATIVOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>perderá seu valor se for introduzido de forma irresponsável, ou seja, sem...
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A Modelagem E Suas AplicaçõEs MatemáTicas

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A Modelagem E Suas AplicaçõEs MatemáTicas

  1. 1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA INTRODUÇÃO A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PROFª MSC. JEANE DA SILVA MODELAGEM E SUAS APLICAÇÕES MATEMÁTICAS “ A educação existe por toda parte e, muito mais do que a escola, é o resultado da ação de todo meio sócio-cultural sobre os seus participantes. É o exercício de viver e conviver o que educa. A escola de qualquer tipo é apenas um lugar e um momento provisórios onde isto pode acontecer.” - C. Brandão” Durvalino Freitas Neto José Nunes Neto Rodrigo Nascimento
  2. 2. <ul><li>Finalidades da Educação Matemática </li></ul><ul><li>“ Educação Matemática é uma área de conhecimento interdisciplinar e não se confunde com a mera justaposição de conhecimentos oriundos da Matemática e da Educação.” </li></ul><ul><li>“ Por que ensinamos Matemática?” </li></ul><ul><ul><ul><li>Segundo Rico (2004), o debate sobre os fins da educação matemática é uma questão crucial para o currículo de matemática no sistema educativo, em especial, para o período de educação obrigatória. Ele considera que as questões que se colocam não são triviais e afetam um nível de reflexão geral, nas dimensões culturais, políticas, educacionais e sociais. </li></ul></ul></ul>
  3. 3. <ul><ul><li>Ao refletir sobre “Por que ensinar Matemática?” Ubiratan D’Ambrósio propõe que nos situemos no contexto de um marco educativo variável, que se tem modificado profundamente. </li></ul></ul><ul><li>Os benefícios da educação devem se estender a todas as camadas da sociedade; todas as crianças e jovens tem direito a alcançar as possibilidades que lhes permitam suas próprias capacidades individuais. </li></ul>
  4. 4. OBJETIVOS E METAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA <ul><li>Proporcionar aos alunos e alunas a construção integral dos conhecimentos matemáticos; </li></ul><ul><li>Desenvolver o pensamento lógico; </li></ul><ul><li>Desenvolver o espírito investigativo, crítico e criativo através da resolução de situações-problema; </li></ul>
  5. 5. COMPETÊNCIAS E HABILIDADES DO FUTURO PROFESSOR PARA O SÉCULO XXI <ul><li>capacidade de expressar-se escrita e oralmente com clareza e precisão; </li></ul><ul><li>estabelecer relações entre a matemática e outras áreas do conhecimento; </li></ul><ul><li>conhecimento de questões contemporâneas; </li></ul><ul><li>trabalhar na interface da matemática com outros campos de saber. </li></ul><ul><li>desenvolver estratégias de ensino que favoreçam a criatividade, a autonomia e a flexibilidade do pensamento matemático dos educandos, buscando trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e algoritmos; </li></ul>
  6. 6. <ul><li>A formação dos professores de matemática é um dos grandes desafios para o futuro. Segundo Beatriz D’Ambrósio, no livro “Formação de professores de Matemática para o século XXI: o grande desafio.”, o professor de Matemática deverá ter: </li></ul><ul><li>Visão do que vem a ser Matemática; </li></ul><ul><li>Visão do que constitui a atividade Matemática; </li></ul><ul><li>Visão do que constitui a aprendizagem Matemática; </li></ul><ul><li>Visão do que constitui o ambiente propício a atividade da Matemática. </li></ul>EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
  7. 7. INTRODUÇÃO <ul><li>Modelagem: método científico de pesquisa ou estratégia de ensino-aprendizagem? </li></ul><ul><li>Modelagem matemática: arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. </li></ul>
  8. 8. CONSIDERAÇÕES <ul><li>A consistência de ou sua própria validação tem sido dependente, muitas vezes, da linguagem matemática que a envolve. “Toda teoria específica é, na verdade, um modelo matemático de um pedaço da realidade”(Bunge, [1]). </li></ul>
  9. 9. OBJETIVOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>Aproximar uma outra área do conhecimento da matemática; </li></ul><ul><li>Enfatizar a importância da matemática para a formação do aluno; </li></ul><ul><li>Despertar o interesse pela matemática ante a aplicabilidade; </li></ul><ul><li>Desenvolver habilidades para resolver problemas; </li></ul><ul><li>Melhorar a apreensão dos conceitos matemáticos; </li></ul><ul><li>Estimular a criatividade. </li></ul>
  10. 10. PASSOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>Escolha do tema; </li></ul><ul><li>Reconhecimento da situação/problema; </li></ul><ul><li>Familiarização com o tema a ser modelado Formulação do problema ->hipóteses; </li></ul><ul><li>Formulação de um modelo matemático; </li></ul><ul><li>Resolução do problema a partir do modelo; </li></ul><ul><li>Interpretação da solução e validação do </li></ul><ul><li>modelo ->avaliação. </li></ul>
  11. 11. PRECURSORES DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>Aristides Barreto Camargo: </li></ul><ul><li>Aristides C. Barreto tomou conhecimento sobre modelagem matemática quando cursou Engenharia na década de 1960. A idéia de usar a modelagem em Educação Matemática começou na metade dos anos de 1970, na PUC – Rio; </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Ubiratan D’Ambrosio: </li></ul><ul><li>&quot;A relação entre a matemática escolar e a matemática da vida cotidiana denomina-se ser um problema pedagógico, em lugar da necessária valorização do conhecimento cotidiano, vê-se ocorrer algumas pesquisas na educação matemática, uma super valorização desse conhecimento, na qual se perde de vista a relação com o conhecimento escolar.&quot; </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Rodney Carlos Bassanezi: </li></ul><ul><li>“ A modelagem matemática é um processo que alia teoria e prática, motiva o usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca na busca de meios para agir, sobre ela e transformá-la”. </li></ul>
  14. 14. DESCARTES E A MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>O método proposto por Descartes para conduzir a razão e buscar a verdade nas ciências consiste em decompor o complexo em partes mais simples, estudá- las e recompô- las sem desvios que prejudiquem a verdade almejada (Neves, 2007). Para isso, ele recomenda seguir alguns procedimentos: </li></ul><ul><li>O primeiro era não aceitar jamais alguma coisa como verdadeira que eu não conhecesse evidentemente como tal; </li></ul><ul><li>O segundo, dividir cada uma das dificuldades que eu examinasse em tantas parcelas possíveis e que fossem necessárias para melhor resolvê-las; </li></ul>
  15. 15. <ul><li>O terceiro, conduzir por ordem meus pensamentos, começando pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer, para subir aos poucos até o conhecimento dos mais compostos; </li></ul><ul><li>fazer em toda parte enumerações tão completas, e revisões tão gerais, que eu tivesse a certeza de nada omitir. </li></ul><ul><ul><li>Os procedimentos descritos acima se assemelham ao fazer matemática por modelagem. Durante a modelagem do fenômeno é preciso se despojar de qualquer tipo de pré-julgamento, de qualquer idéia dada como verossímil pelo senso comum. É necessário que o indivíduo faça uma análise global da situação, remontando as porções menores para que seja garantida a síntese dessas partes. </li></ul></ul>
  16. 16. O SONHO DE DESCARTES Razão Unificação e esclarecimento de toda ciência. método A busca do conhecimento científico.
  17. 17. <ul><li>Aceitar somente aquilo que seja tão claro em nossa mente, que exclua qualquer dúvida; </li></ul><ul><li>Dividir os grandes problemas em problemas menores; </li></ul><ul><li>Argumentar, partindo do simples para o complexo; </li></ul><ul><li>Verificar o resultado final. </li></ul>
  18. 18. <ul><li>Modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. </li></ul><ul><li>A modelagem é eficiente a partir do momento que nos conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade, ou seja, que estamos elaborando sobre representações de um sistema ou parte dele. </li></ul>
  19. 20. <ul><li>A s abelhas têm nos dado uma lição sobre organização comunitária, comunicação e engenharia. As “operárias” vivendo menos que sessenta dias fazem sua moradia, favo, sua alimentação, mel e proporciona à “rainha” uma vida de até cinco anos, por ser esta a mais importante: pela reprodução e orientação da colméia. </li></ul><ul><li>A seguir, apresentamos o dispêndio de energia da abelha na busca do alimento, sua forma de comunicação e a dinâmica populacional de uma colméia a partir de uma hipótese: as taxas de mortalidade e natalidade são lineares. Estas três propostas permitem desenvolver regra de três, relações métricas do triângulo retângulo e progressão aritmética. A proposta pode ser desenvolvida para qualquer grau de escolaridade. </li></ul>ABELHAS
  20. 21. <ul><li>A COLETA DE ALIMENTOS </li></ul><ul><li>Uma abelha campeira voa, aproximadamente, 24 km/h, consumindo para isso cerca de 0,5 mg de mel por km. Para colocar uma única carga de néctar , capaz de encher o estômago, uma única abelha chega a visitar de 50 a 100 flores. Ao fornecer um litro de mel uma colônia tem que voar nada menos que 40 mil km, ou seja, a distância aproximada de uma volta ao redor da Terra, isso tudo numa área que não ultrapassa 707 hectares, num raio de 1,5 km ao redor da colméia. No vaivém dessas viagens elas coletam os ingredientes para compor o mel ou seja, o néctar, o pólen e a água. </li></ul><ul><li>Qual a quantidade de mel que uma colônia necessita consumir para buscar ingredientes para 1 litro de mel? </li></ul><ul><li>Quantas viagens deverão fazer da florada da colméia para obter 1 litro de mel? </li></ul>
  21. 22. <ul><li>Em uma hora, deve consumir: </li></ul><ul><li>0,5 mg -> 1 km </li></ul><ul><li>x -> 24km </li></ul><ul><li>X= 12 mg </li></ul><ul><li>Para voar a abelha consome 0,5 mg de mel por km. Se em um litro de mel a colônia precisa percorrer 40.000 km, logo: </li></ul><ul><li>0,5 mg -> 1 km </li></ul><ul><li>X -> 40.000 km </li></ul><ul><li>Fazendo uma regra de três, obtemos que o consumo médio da colônia é de 20.000 mg ou 20g de mel para cada órbita. </li></ul><ul><li>Supondo que o raio entre a colméia e a florada seja 1,5km, fazendo: </li></ul><ul><li>40.000km ÷ 1,5km ≈ 26.670 idas e vindas entre colméia e florada. </li></ul>
  22. 23. A DANÇA DAS ABELHAS <ul><li>Ao dançar na colméia, outras abelhas podem aprender a posição e o odor das flores, embora não aprenda sua cor e sua forma. O número e vezes por segundo que a abelha perfaz o circuito “dançando” indica a distância da florada em relação a colméia. Crane (1983) apresenta a duração de cada circuito de dança versus a distância: </li></ul><ul><li>Como podemos localizar uma florada a partir da dança da abelha? </li></ul>Distância (m) 200 500 1000 2000 3500 4500 Duração do circuito (s) 2,1 2,5 3,3 3,8 5,6 6,3
  23. 24. <ul><li>Resolução 1: </li></ul><ul><li>y = ax + b </li></ul><ul><li>y -> a distância em metros </li></ul><ul><li>x -> o nº de vezes do circuito em segundos </li></ul><ul><li>a e b -> os coeficientes angular e linear a serem determinados </li></ul><ul><li>500 = a(2,5) + b </li></ul><ul><li>3500 = a(5,6) + b </li></ul><ul><li>Resolvendo temos: a ≈ 967,74 e b ≈ - 1919,35; Substituindo, temos: </li></ul><ul><li>y = 967,74 x – 1919,35 ; para x > 2,1 </li></ul><ul><li>y = 967,74(3) – 1919,35 </li></ul><ul><li>Logo, a florada está a cerca de 983,87 metros. </li></ul>
  24. 25. PRESSUPOSTO <ul><li>A atividade proposta foi baseada no livro “Modelagem Matemática no ensino”, de Maria Salett Biembengut e Nelson Hein. Pudemos perceber, ao longo de nossa pesquisa, que torna-se mais fácil de se compreender o assunto e de ser ministrado, uma vez que o aluno busca encontrar aquele resultado não pelo simples dever de achar, mas sim pelo fato de se sentir atraído e instigado em “matar a sua curiosidade” por que se usa exemplos do cotidiano. Isso tudo contribui para o processo de aprendizagem da Matemática. </li></ul>
  25. 26. PONTOS POSITIVOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA: <ul><li>Contribuição para a formação da cidadania e para o debate em torno de temas sócio-político-econômico-culturais, pois possibilita a abordagem de outros assuntos de contextos não necessariamente “matemáticos” ; </li></ul><ul><li>Estimula a criatividade e habilidades de resolver problemas; </li></ul><ul><li>Desperta a motivação e o trabalho em grupo, isto é, a interação e a cooperação entre alunos e o professor, despertando interesse em conhecer a Matemática; </li></ul>
  26. 27. PONTOS NEGATIVOS DA MODELAGEM MATEMÁTICA <ul><li>perderá seu valor se for introduzido de forma irresponsável, ou seja, sem planejamento e sem respaldo pedagógico; </li></ul><ul><li>o professor poderá ter grandes entraves para desenvolver seu trabalho de Modelagem, caso a escola não o garanta certa autonomia, seja no sentido de modificar uma parte dos conteúdos da proposta curricular, ou mesmo em alterar o tempo de seu desenvolvimento. </li></ul>
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