5715-76835“AÑO DE LA UNIÓN NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA “<br />UNIVERSIDAD NACIONAL<br />TECNOLOGICA DEL CONO SUR D...
ejercicios de limites (matematica)
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ejercicios de limites (matematica)

  1. 1. 5715-76835“AÑO DE LA UNIÓN NACIONAL FRENTE A LA CRISIS EXTERNA “<br />UNIVERSIDAD NACIONAL<br />TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA<br />CURSO: <br /> MATEMATICA I<br />TEMA:<br />LIMITES<br /> INTEGRANTES:<br />CASTRO LAZO PATRICIA INÉS<br />LÓPEZ CORTES YUDIT MABEL<br />HUAMANCHA ESPILLCO, IRIS INÉS<br />HUAMANI CÓRDOVA, NATHALY NANCY<br />SURICHAQUI GUTIÉRREZ KARIM PAMELA<br />VÁSQUEZ ROBLES MIRIAM<br />:<br />PROFESOR TASAYCO<br />CICLO:<br /> II<br />EJERCICIOS DE MATEMÁTICA I<br />aplicando la definición de limite, demostrar los siguientes limites, hallado el valor de δ, (δ>0), para los valores de ε dados.<br />limx→35x-3=12, є = 0.03<br />RESOLUCION: <br />a=3, L=12, δ=?<br />fx-L < Є siempre que 0 < x-a < δ<br />5x-3-12 < 0.03 siempre que 0 < x-3 < δ<br />5x-15 < 0.03 siempre que 0 < x-3 < δ<br />5x-3 < 0.03 siempre que 0 < x-3 < δ<br />x-3 < 0.035 Siempre que 0 < x-3 < δ<br />x-3 < 0.006 siempre que 0 < x-3 < δ<br />∴ δ = 0.006<br /> <br /> limx→-23x+5=-1, є = 0.012<br />RESOLUCION:<br /> a=-2, L=-1, δ=?<br />fx-L < є siempre que 0 < x-a < δ<br />3x+5+1 < 0.012 siempre que 0 < x+2 < δ<br />3x+6 < 0.012 siempre que 0 < x+2 < δ<br />3x+2 < 0.012 siempre que 0 < x+2 < δ<br />x+2 < 0.0123 Siempre que 0 < x+2 < δ<br />x+2 < 0.004 siempre que 0 < x+2 < δ<br />∴ δ = 0.004<br /> limx→2x2-4x-2=4, є = 0.004<br />RESOLUCION: <br />a=2, L=4, δ=?<br />fx-L < є siempre que 0 < x-a < δx-2(x+2)x-2 = 4 < 0.004 siempre que 0 < x-2 < δ<br />x+2-4 < 0.004 siempre que 0 < x-2 < δ<br />x-2 < 0.004 siempre que 0 < x-2 < δ<br />∴ δ = 0.004<br /> <br />limx→37x2-20x+2=5, є = 0.001<br />RESOLUCION:<br /> a=3, L=5, δ=?<br />fx-L < є siempre que 0 < x-a < δ<br />7x2-20x+2 < 0.001 siempre que 0 < x-3 < δ<br />7x2-20x-3 < 0.001 siempre que 0 < x-3 < δ<br />x-3(7x+1) < 0.001 siempre que 0 < x-3 < δ<br />x-3 < 0.001(7x+1) Siempre que 0 < x-3 < δ<br />I (2; 4)<br />X=2<br />x-3 < 0.00172+1) Siempre que 0<x-3 < δ<br />x-3 < 0.00115 Siempre que 0<x-3 < δ<br />x-3 < 0.00006 siempre que 0<x-3 < δ<br />∴ δ = 0.00006<br />X=4<br />x-3 < 0.00174+1 siempre que 0<x-3 < δ<br />x-3 < 0.00122 siempre que 0<x-3 < δ<br />x-3 < 0.00003 siempre que 0<x-3 < δ<br />∴ δ = 0.00003<br />∴ δ = 0.00003<br /> <br />limx→13x2-2x-1x-1=4, є = 0.015<br />RESOLUCION: <br /> a=1, L=4, δ=?<br />fx-L < є siempre que 0 < x-a < δ3x+1(x-1)x-1 = 4 < 0.015 siempre que 0 < x-1 < δ<br />3x+1-4 < 0.015 siempre que 0 < x-1 < δ<br />3x-3 < 0.015 siempre que 0 < x-1 < δ<br />3(x-1) < 0.015 siempre que 0 < x-1 < δ<br />x-1 < 0.0153 siempre que 0 < x-1 < δ<br />∴ δ = 0.005<br />limx→124x2-12x-1=2, є = 0.07<br />RESOLUCION:<br />a=12, L=2, δ=?<br />fx-L < є siempre que 0 < x-a < δ2x-1(2x+1)2x-1 = 2 < 0.07 siempre que 0 < x-12 < δ<br />2x+1-2 < 0.07 siempre que 0 < x-12 < δ<br />2x-1 < 0.07 siempre que 0 < x-12 < δ<br />2(x-12) < 0.07 siempre que 0 < x-12 < δ<br />x-12 < 0.072 siempre que 0 < x-12 < δ<br />∴ δ = 0.035<br /> limx→1x-1x-1= ½, є = 0.013<br />RESOLUCION: <br />a=1, L=½, δ=?<br />fx-L < є siempre que 0 < x-a < δx-1x-1 - ½ < 0.013 siempre que 0 < x-1 < δ<br />2x-2-x+12x-2 < 0.013 siempre que 0 < x-1 < δ <br />2x-x-12x-2 < 0.013 siempre que 0 < x-1 < δ<br />2x-x-12x-1 < 0.013 siempre que 0 < x-1 < δ<br />-(x+1-2x)x-1 < 0.026 siempre que 0 < x-1 < δ<br />(x+1)²x-1 < 0.026 siempre que 0 < x-1 < δ<br />(x+1)²x-1²x-1 < 0.026x-1² siempre que 0 < x-1 < δ <br />x-1 < 0.026x-1²x+1² siempre que 0 < x-1 < δ <br />I (0; 2)<br />X=0<br />x-1 < 0.0260-1²0+1² siempre que 0<x-1 < δ<br />x-1 < 0.0261 siempre que 0<x-1 < δ<br />x-1 < 0.026 siempre que 0<x-1 < δ<br />∴ δ = 0.026<br />X=2<br />x-1 < 0.0262-1²2+1² siempre que 0<x-1 < δ<br />x-1 < 0.0262.414² siempre que 0<x-1 < δ<br />x-1 < 0.0265.828 siempre que 0<x-1 < δ<br />x-1 < 0.00446 siempre que 0<x-1 < δ<br />∴ δ = 0.00446<br />∴ δ = 0.00446<br />limx→-33x-13x2-25=-5, є = 0.001<br />RESOLUCION: <br />a=-3, L=-5, δ=?<br />fx-L < є siempre que 0 < x-a < δ3x-13x2-25+5 < 0.001 siempre que 0 < x+3 < δ<br />3x-1+15x2-1253x2-25 < 0.001 siempre que 0 < x+3 < δ<br />5x-14(3x+9) < 0.001 siempre que 0 < x+3 < δ<br />3x+3 < 0.0015x-14 siempre que 0 < x+3 < δ<br />x+3 < 0.0013∣5X-14∣ siempre que 0 < x+3 < δ<br />I (2; 4)<br />X=2<br />x+3 < 0.001352-14 siempre que 0<x+3 < δ<br />x+3 < 0.00112 siempre que 0<x+3 < δ<br />x+3 < 0.00008 siempre que 0<x+3 < δ<br />∴ δ = 0.00008<br />X=4<br />x+3 < 0.001354-14 siempre que 0<x+3 < δ<br />x+3 < 0.00118 siempre que 0<x+3 < δ<br />x+3 < 0.00005 siempre que 0<x+3 < δ<br />∴ δ = 0.00005<br />∴ δ = 0.00005<br />limx→2x27x-13=4, ε = 0.01<br />RESOLUCION: <br />a=2, L=4, δ=?<br />fx-L < ε siempre que 0 < x-a < δx27x-13+4 < 0.01 siempre que 0 < x-2 < δ<br />x2-28x+527x-13 < 0.01 siempre que 0 < x-2 < δ<br />x-26(x-2)7x-13 < 0.01 siempre que 0 < x-2 < δ<br />x+3 < 0.01∣7x-13∣∣x-26∣ siempre que 0 < x-2 < δ<br />I (1; 3)<br />X=1<br />x+3 < 0.01∣71-13∣∣1-26∣ siempre que 0<x-2 < δ<br />x+3 < 0.01*625 siempre que 0<x-2 < δ<br />x+3 < 0.002 siempre que 0<x-2 < δ<br />∴ δ = 0.002<br />X=3<br />x+3 < 0.01∣73-13∣∣3-26∣ siempre que 0<x-2 < δ<br />x+3 < 0.01*823 siempre que 0<x-2 < δ<br />x+3 < 0.003 siempre que 0<x-2 < δ<br />∴ δ = 0.003<br />∴ δ = 0.002<br /> <br />limx→4x³-14x10x-4 = -8, ε= 0.1<br />RESOLUCION:<br />a= 4 L: -8, δ,=?<br />fx-L < ε siempre que 0 < x-a < δ<br />x³-14x10x-4+8<0.1 siempre que 0 < x-4 < δ<br />x3-14x+80x-32810x-41<0.1 siempre que 0 < x-4 < δ<br />x-4(x2+4x+82)10x-4<0.1 siempre que 0 < x-4 < δ<br />x-4x2+4x+82110x-4<0.1 siempre que 0 < x-4 < δ<br />x-4<0.1(10x-4)x2+4x+82 siempre que 0 < x-4 < δ<br />I (3;5)<br />X= 3<br />x-4<0.1(10(3)-4)(3)2+4(3)+82 siempre que 0 < x-4 < δ<br />x-4<0.02524 siempre que 0 < x-4 < δ<br />∴ δ = 0.02524<br />X=5<br />x-4<0.1(10(5)-4)52+4(5)+82 siempre que 0 < x-4 < δ<br />x-4<0.03622 siempre que 0 < x-4 < δ<br /> <br />∴ δ = 0.03622<br />∴ δ = 0.02524<br />II. Aplicando la definición de límite, demostrar los siguientes límites<br /> limx→23x²-x-2 = 8<br />limx→23x²-x-2 = 8 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, si 0<|x-2|<δ ⇒ |(3x²-x-2)-8|<ε<br />3x²-x-2-8 < ε<br />3x²-x-10 < ε<br />3x+5x-2 < ε ……..(1)<br />3x+5 < M<br />tomamos δ₁ =1<br />x-2 < 1<br />-1 < x-2 < 1<br />1 < x < 3<br />3 < 3x < 9<br />8 < 3x+5 < 14<br />|3x+5| < 14…………(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />x-23x+5 < 14x-2<br />x-2 < ε14;<br /> δ₂ = ε14<br />Luego se elige δ = min. 1; ε14<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min. 1; ε14Se tiene: si 0<|x-2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→23x²-x-2 = 8<br />limx→-2x2+3x+2=0<br />limx→-2x2+3x+2=0⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+2|<δ ⇒ |(x2+3x+28|<ε<br />x2+3x+2<ε <br />x+1 x+2<ε………….(1)<br />tomamos δ1=12<br />X+2<12 <br />-12<x+2<12<br />- 32<x+1<-1<br /> |x+1|<1……..…..(2)<br />Reemplazamos (2) en (1):<br />|X+2 | |x+1 | <1 |x+2|< ε<br />Luego se elige δ=min12,ε<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min12,ε. Se tiene: si 0<|x+2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→-2x2+3x+2=0<br /> limx→34x-2= 4<br /> limx→34x-2= 4⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-3|<δ ⇒ |4x-2- 4|<ε<br />|4x-2 - 4|<ε<br />|4+4x+8x-2|<ε<br />|-4(x-3)x-2|<ε<br />|-4||x-3||1x-2|<ε……….(1)<br />Acotando la función |1x-2| y para esto calculamos δ₁= ½|3-2|= ½<br />|x-3|<½ ⇒ -½<x-3<½<br />52<x<72<br />12<x-2<32<br />2<1x-2<23<br />|1x-2|<2…………(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />|-4||x-3||2|<ε<br />|x-3|<ε8 ⇒ δ₂=ε8<br />Luego se elige δmin= {½, ε8 }<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min½, ε8 . Se tiene: si 0<|x-3|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→34x-2= 4<br />limx→½3+2x5-x= 8/9<br />limx→½3+2x5-x= 8/9 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-½|<δ ⇒ |3+2x5-x- 8/9|<ε<br />|3+2x5-x- 89| < ε<br />|93+2x- 8(5-x)9(5-x)|<ε<br />|27+18x-40+8x9(5-x)|<ε|26x-139(5-x)|<ε<br />|26(x-½)9(5-x)|<ε<br />|269||15-x||x-½|<ε……………..(1)<br />Acotando la función |15-x| y para esto calculamos δ₁= ½|½-5|=9/4<br />0<|x-½|<9/4 ⇒ -9/4<x-½<9/4<br />-7/4<x<11/4<br />-27/4<x-5<-9/4<br />-4/27>1x-5>-4/9<br />|1x-5|<49………………(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />|269||15-x||x-½|<|269||49||x-½|<ε<br />|10418||x-½|<ε<br />|x-½|<ε(104)18<br />δ₂= ε(52)9<br />Luego se elige δmin{ 94 , ε529 }<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min { 94 , ε529 } Se tiene: si 0<|x-½|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→½3+2x5-x= 8/9<br />limx→56-x = 1<br />limx→56-x = 1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-5|<δ ⇒ |6-x -1|<ε<br />6-x-1 < ε <br />6-x-1(6-x+1)(6-x+1) < ε <br />6-x-16-x+1 < ε <br />x-56-x+1 < ε <br />16-x+1 x-5 < ε …………..(1)<br />Acotando la función 16-x+1 y para esto calculamos δ₁= ½5-6= ½<br />6-x ≥ 0<br />6-x +1 ≥ 1<br />16-x +1 ≤ 1………..(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />16-x+1 x-5 < ε <br />1 x-5 < ε <br />δ₂=ε<br />Luego se elige δmin { 12 , ε }<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min { 192 , ε } Se tiene: si 0<|x-5|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→56-x = 1<br />limx→7 x+19x-60=83<br />limx→7 x+19x-60=83⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-7|<δ ⇒ | x+19x-60- 83 |<ε<br />X+133x-20-85<ε <br />X+1-24x+16033x-20<ε<br />-23X+16133x-20<ε<br />23(x-7)33x-20<ε<br />233 13x-20x-7<ε……………………………..(1)<br />Acotando la función 13x-20 y para esto calculamos δ1=127-203=16<br />X-7<16<br />- 16<x-7<16 <br />12<3x-20<32<br />2<13x-20<23……………………………………….(2)<br />Reemplazando (2) en (1) :<br />23313x-20x-7<469x-7<E<br />x-7<9E46<br />Luego se elige δmin16,9E46<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min { 16,9E46} Se tiene: si 0<|x-7|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→7 x+19x-60=83<br />limx→-42x-45x+23=-4 <br />limx→-42x-45x+23=-4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+4|<δ ⇒ |2x-45x+23+ 4 |<ε<br />∣2x-45x+23+4∣< ε <br />2x-4+20x+925x+23 <ε <br />22x+885x+23 <ε <br />22∣15x+23∣∣x+4∣< ε…..(1) <br /> Acotando la función (15x+23) y para esto calculamos δ₁=12∣-4+235∣=310 <br /> <br />0 < x+4 < δ=310<br />-310 < x+4 < 310 <br /> - 4310< x < - 3710 <br /> - 432< 5x < -372<br />32< 5x+23< 92 <br />29<∣15x+23∣<23<br /> ∣ 15x+23∣<23 ………………(2)<br />Reemplazando (2) en (1)<br />22∣15x+23∣∣x+4∣<2223∣x+4∣<ε<br />∣x+4∣<3ε44<br />δ₂=3ε44<br />Luego se elige S=min310;3δ44<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {310;3δ44} Se tiene: si 0<|x+4|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→-42x-45x+23=-4<br />limx→1x-1x²+3-2 = 2<br />limx→1x-1x²+3-2 = 2 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-1|<δ ⇒ |x-1x²+3-2-2 |<ε<br />|x-1x²+3-2 -2|<ε<br />|x+3-2x²+3x²+3-2|<ε<br />|[x+3- 2x²+3][x+3+2x²+3)x²+3-2[x+3+ 2x²+3]|<ε<br />|x+32- (2x²+3)²x+3x2+3-2+2x2+3(x²+3-2)|<ε<br />|x²+9+6x-4x²-12x2+3-2(x+3-2x²+3)|<ε<br />|3x²+6x+3x2+3-2(x+3-2x²+3)|<ε<br />|3(x-1)²x2+3-2(x+3-2x²+3)|<ε<br />|3x+3-2x²+3||(x-1)²||1x²+3-2|<ε<br />Por propiedad:<br />|x²+3|≥0<br />|x²+3-2|≥-2<br />|1x²+3-2|≥ -½<br />Concluimos:<br />|3x+3-2x²+3||(x-1)²| |1x²+3-2|<|3x+3-2x²+3||(x-1)²||½|<ε<br />|(x-1)²|<ε2(x+3-2x²+3)3<br />δ= ε2(x+3-2x²+3)3<br />limx→23x2-113 = 13 <br />limx→23x2-113 = 13 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ |3x2-113- 1/3|<ε<br />33x2-113-13 < ε <br />33x2-11-1(33x2-112+33x2-11+1)3(33x2-112+33x2-11+1) < ε <br />3x²-11-13 (33x2-112+33x2-11+1) < ε <br />3 x-2(x+2)3(33x2-11+14)2+34 < ε <br />(33x2+11+14 )² ≥ 0<br />(33x2+11+14 )²+ 34 ≥ 34 <br />1(33x2+11+14 )²+ 34 ≤ 43 <br />x-2x+233x2+11+14 2+ 34 ≤ 43 x-2x+2 < ε<br />x-2 < 3ε4x+2 <br />∴ δ = 3ε4x+2<br />limx→1x+1x=2<br />limx→1x+1x = 2⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ |x+1x- 2|<ε<br />X+1X-2<ε <br />X+1-2XX<ε <br />(X+1)211X<ε ……………………..(1)<br />Acotando la función 1X y para esto calculamos δ1=121-0=12<br />X-1<12<br />- 12<x-1<12<br />2 3<1X<2<br />1X<2……………………………………………………(2)<br />Reemplazando (2) en (1) :<br />(X+1)211X<(X+1)212<ε<br />X-1<ε42<br />Luego se elige δ=min12,E42<br />Por lo tanto, dado ε>0, ∃ δ = min {12,E42} Se tiene: si 0<|x-2|<δ ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→1x+1x=2<br /> limx→0x-22x+3=-23 <br />limx→0x-22x+3=-23 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ |x-22x+3+23 |<ε <br /> <br />∣x-22x+3+23∣< ε <br />3 x- 6 +22+63(2x+ 3) <ε <br /> <br />x(3 +223∣2x+3∣ <ε <br /> <br />∣(3 +22 )∣x∣3∣2x+3∣∣< ε…..δ1 <br /> <br /> Acotando la función (13∣2x+3∣) y para esto calculamos δ₁12∣-32∣=-34<br />∣x∣<--34 <br />-34<2x<34 <br /> -32<2x<32 <br /> <br /> 32<2x+3<332 <br /> 332 <12x+3 <2 3<br />|12x+3|<23<br />Reemplazando (2) en (1): <br /> <br /> 3+22∣x∣3 ∣12x+3∣<3+223 23∣x∣<ε <br />∣x∣<3ε 2(3+22)<br />Luego se elige δ=min34,3ε2(3+22)<br />Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {34,3ε2(3+22)} Se tiene:si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→0x-22x+3=-23<br />limx→08x64x-1= 0<br />limx→08x64x-1= 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ |8x64x-1- 0|<ε <br />|8x64x-1|<ε<br />|8x8(8x- 18)|<ε<br />|x(8x-18)|<ε<br />|18x-18||x|<ε<br />Acotando la función 18x-18| y para esto calculamos δ= ½|0-164|=1128<br />|x|<1128<br />- 1128< x <1128<br />-8128< 8x <8128<br />-316< 8x+18 <-116<br />-16/3>18x-18>-16<br />|18x-18|<16<br />Reemplazando (2) en (1):<br />|18x-18||x|<16|x|<ε<br />|x|<ε/16<br />Luego se elige δ= min { 1128 , ε16 }<br />Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {1128 , ε16 } Se tiene: si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→08x64x-1= 0<br />limx→-73xx+8 = -21<br />limx→-73xx+8 = -21 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+7|<δ ⇒ |3xx+8+21|<ε <br />3xx+8+21 < ε <br />3x+21x+168x+8 < ε <br />24x+71x+8 < ε… (1) <br />Acotado la función 1x+8 < ε podemos calcular δ₁ = 12-7+8 = 12<br />x+7 < δ₁ = 12 <br />-12 < X+7 < 12 <br />-152 < x < -132 <br />12 < X+8 < 32<br />2 > 1x+8 > 23 <br />23 < 1x+8 < 2<br />1x+8 < 2… (2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />24x+71x+8 < 24x+7 <br />x+7 < ε48 = δ₂<br />Luego se elige δ = min 12 ; ε48 <br />Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12 ; ε48 } Se tiene: si 0<|x+7|<δ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→-73xx+8 = -21<br />limx→0x2+2x+2x2-2x+1=2<br />limx→0x2+2x+2x2-2x+1=2 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ |x2+2x+2x2-2x+1-2|<ε <br />x2+2X+2x2-2X+1-2<ε <br />X(X-6)(X-1)2<ε <br />XX-6(X-1)2<ε <br />|x||x-6||1(x-1)²|<ε……………….(1)<br />Acotando la función |1(x-1)²| se puede caldular δ1=12=121<br />X<12<br />- 12<x<12<br />-3 2<X-1<-12<br />9 4<(X-1)2<14<br /> 49>1X-12>4<br />X-6X-12<4X-69……………………………….(2)<br />Reemplazando (2) en (1) :<br />XX-6(X-1)2<4X-69X<ε<br />X<9E4X-6<br />Luego se elige δ=min12, 9E4X-6 <br />Por lo tanto, dado ε>0,∃ δ=min {12, 9E4X-6 } Se tiene: si 0<|x-0|<δ⇒|f(x) – L |<ε<br />∴limx→0x2+2x+2x2-2x+1=2<br /> limx→-1∣x∣x2+1=12 <br />limx→-1∣x∣x2+1=12 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+1|<δ ⇒ |∣x∣x2+1-12 |<ε <br />∣∣x∣x2+1-12 ∣< ε <br />∣2∣x∣-x2-12(x2+1)∣<ε <br />∣-(x2-2∣x∣+12(x2+1)∣<ε <br /> 2∣x2+1∣2∣1x2+1∣<ε <br />Acotando la función ∣1x2+1∣ podemos calcular<br /> x2≥0<br /> x2+1≥1<br /> ∣1(x2+1)∣≤∣x2+1∣2<ε<br /> ∣x2+1∣<2ε=δ<br /> limx→1|2-x|3x-1 = ½<br />limx→1|2-x|3x-1 = ½ ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-1|<δ ⇒ |2-x3x-1- ½ |<ε <br />||2-x|3x-1- 12|<ε<br />|4-2x-3x+16x-2|<ε<br />|-5x+56x-2|<ε<br />|-5(x-1)2(3x-1)|<ε<br />|-52||13x-1||x-1|<ε…………….(1)<br />Acotando la función |13x-1| podemos calcular δ= ½|1 – 1/3|= 1/3<br />|x-1|<1/3<br />-1/3<x-1<1/3<br />2/3<X<5/3<br />2<3x<5<br />1<3x-1<4<br />1<13x-4<1/4<br />|13x-4|<1…………………(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />|52||13x-1||x-1|<|52||1||x-1|<ε<br />|x-1|<ε2/5<br />δ= ε2/5<br />Luego se elige δmin ={1/3 , ε2/5}<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1/3, ε2/5} se tiene: si 0<|x-5 |<ε<br />∴limx→1|2-x|3x-1 = ½<br /> limx→-64x-13x+3 =1<br />limx→-64x-13x+3 =1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+64|<δ ⇒ |x-13x+3-1 |<ε <br />x-13x+3-1 < ε <br />x-1-3x-33x+3 < ε <br />x-3x-43x+3 < ε <br />(3x³+4³) = (3x +4) (3x² -43x+16)<br />x3x+3-3x+43x+3 < ε <br />x3x+3-3x+4(3x2-43x+16)3x+3(3x2-43x+16) < ε<br /> x3x+3-x+643x-22+12 < ε <br />x+643x-22+12-x3x+3 < ε <br />x+643x-22+12 – x3x+3 < ε <br />x+643x-22+12 < ε + x3x+3 <br />(3x-2)² ≥ 0<br />3x-22+12 ≥ 12<br />13x-22+12 ≤ 112 <br />x+643x-22+12 ≤ x+6412 < ε + x3x+3 <br />x+64 < 12ε+12x3x+3 <br />x+64 < δ<br />δ = 12ε+12x3x+3<br />limx→54+xx2-9=34<br />limx→54+xx2-9=34 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-5|<δ ⇒ |4+xx2-9- 34 |<ε <br />4+xx2-9-34<ε <br />44+x-3x2-94x2-9<ε <br />(44+x-3x2-9)(44+x+3x2-9)4x2-9(44+x+3x2-9)<ε <br />X-5(9X+29)4x2-9(44+x+3x2-9)<ε <br />|x-5||9x-29|14x2-9(44+x+3x2-9)<ε<br />Acotando la función 14x2-9(44+x+3x2-9) podemos calcular δ1=125-3=1<br />X-5<1<br />-1<X-5<1<br />47 <4x2-9) < 427<br />47(44+x+3x2-9)<4x2-9(44+x+3x2-9) <4274(44+x+3x2-9)<br />1427(44+x+3x2-9) < 14x2-9(44+x+3x2-9)<147 (44+x+3x2-9)<br />14x2-9(44+x+3x2-9)<147 (44+x+3x2-9)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />9X+29 427 (44+x+3x2-9) < (9X+29)4x2-9(44+x+3x2-9) < (9X+29)47 (44+x+3x2-9)<br />X-5(9X+29)4x2-9(44+x+3x2-9)< (9X+29)X-547 (44+x+3x2-9) < ε<br />X-5<E 47 (44+x+3x2-9)(9X+29)<br />Luego se elige δ=min1, E 47 (44+x+3x2-9)(9X+29) <br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1, E 47 (44+x+3x2-9)(9X+29)} se tiene: si 0<|x-5 |<ε<br />∴limx→54+xx2-9=34<br />limx→12xx+1 =0<br />limx→12xx+1 =0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-12|<δ ⇒ |xx+1-0|<ε<br />x1x+1<ε<br />Acotando la función 1x+1y para esto calculamos δ₁= ½ 12-1= ¼<br />x-12<δ1<br />x-12<14<br />-14<x-12<14<br />14<x<34<br />54<x+1<74<br />47<1x+1<45<br />1x+1<45……….(2)<br />reemplazado 2en 1:<br />x1x+1<ε<br />x45<ε<br />δ₂= 5ε4<br />Luego se elige δ₂= {¼ ,5ε4}<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {¼ ,5ε4} se tiene: si 0<|x-1/2 |<ε<br />∴limx→12xx+1 =0<br />limx→π3x6x-5π =3<br />limx→π3x6x-5π =3 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-π|<δ ⇒ |3x6x-5π- 3 |<ε<br />|3x6x-5π- 3|<ε<br />|3x-18x+15π6x-5π|<ε<br />|-15(x-π)6x-5π|<ε<br />|-15||16x-5π||x-π|<ε<br />Acotando la función 16x-5π y para esto calculamos δ=|π- 5π6|= π/12<br />-π /12< x-π < π/12<br />-11π12< x <13π12<br />-11π2< 6x <13π2<br />-21π2< 6x-5 <3π2<br />-221π<16x-5π<3π2<br />|16x-5π|<2/3π<br />Reemplazando (2) en (1):<br />|15||16x-5π||x-π|<|15||2π3||x-π|<ε<br />10π|x-π|<ε<br />δ= ε/10π<br />Luego se elige δmin= { π12 , ε10π }<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { π12 , ε10π } se tiene: si 0<|x-π |<ε<br />∴limx→π3x6x-5π =3<br />limx→23x²+1x4+1 =75<br />limx→54+xx2-9=34 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ |3x²+1x4+1 - 75|<ε<br />3x²+1x4+1-75 < ε <br />15x²+5-7x4-75(x4+1) < ε <br />-(7x4-15x2+2)5(x4+1) < ε <br />x2-2(7x2-1)5(x4-1) < ε <br />15 x-2x+2(7x2-1)x4+1 < ε <br />15x-2x+2(7x2-1)1x4+1 < ε <br />Acotando la función 1x4+1 y para esto calculamos <br />X⁴ ≥ 0<br />X⁴+1 ≥ 1<br />1X⁴+1 ≤ 1=δ₁<br />Reemplazando (2) en (1):<br />x-2x+2(7x2-1)5x4+1 ≤ x-2x+2(7x2-1)5 < ε<br />x-2 < 5εx+2(7x2-1) <br />δ ₂= 5εx+2(7x2-1) <br />Luego se elige δmin= {1, 5εx+2(7x2-1) }<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1, 5εx+2(7x2-1) } se tiene: si 0<|x-2 |<ε<br />∴limx→23x²+1x4+1 =75<br />limx→04x2+1=1<br />limx→04x2+1=1⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ |4x2+1- 1 |<ε<br />4x2+11-1<ε <br />(4x2+1 -1)(4x2+1 +1)(4x2+1 +1)<ε <br />4x2(4x2+1 +1)<ε <br />41(4x2+1 +1)x2<ε…………….._ (1)<br />Acotando la función 1(4x2+1 +1)y para esto calculamos<br />4x2+1 ≥0<br />4x2+1 +1≥1<br />14x2+1+1≤1=δ₁………….(2)<br />reemplazano 2en 1:<br />41(4x2+1 +1)x2≤4x2 <ε →x2<ε4<br />X<1ε2<br />,δ₂=1ε2<br />Luego se elige δmin= {1, 1ε2}<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { 1, 1ε2 } se tiene: si 0<|x-0 |<ε<br />∴limx→04x2+1=1<br />limx→02x63x-1 = 0<br />limx→02x63x-1 = 0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-0|<δ ⇒ |2x63x-1-0|<ε<br />2x63x-1<ε<br />2x163x-1<ε……………. (1)<br />Acotando la función 163x-1 y para esto calculamos δ₁= ½ 0-163=1126<br />|x|<1126<br />-1126<x<1126<br />-12<63x<12<br />-32<63x-1<-12<br />-2<163x-1< - 2/3<br />163x-1<2……………… (2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />2x2<ε<br />x<ε/4<br />δ₂= ε/4<br />Luego se elige δmin={1126 , ε/4}<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {1126 , ε/4 } se tiene: si 0<|x-0 |<ε<br />∴limx→02x63x-1 = 0<br />limx→52x+2x² =1625<br />limx→52x+2x² =1625⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-52|<δ ⇒ |x+2x2- 1625|<ε<br />2+2x²+1625 <ε<br />16x-52(x+52)(5x)²<ε<br />125x²16x-52x +52 <ε<br />Acotando la función 125x² y para eso calculamos δ₁= ½52-15=2320<br />x-52< 2320<br />-2320<x-52<2320<br />2720<x<7320<br />2720²<x²<7320²<br />2720²25<x²25<7320²25<br />17320²25<1x²25<12720²25<br />1x²25< 17320²25<br />Reemplazando (2) en (1):<br />17320²2516x-52x +52 <ε<br />x-52<7320²25x +52 ε<br />δ₂=7320²25x +52 ε<br />Luego se elige δmin= {2320 , 7320²25x +52 }<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { 2320 , 7320²25x +52 } se tiene: si 0<|x- 52|<ε<br />∴limx→52x+2x² =1625<br /> limx→-14x²+13x+2 = -5<br />limx→-14x²+13x+2 = -5⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+1|<δ ⇒ |4x2+13x+2+5|<ε<br />4x²+13x+2+5 < ε <br />4x²+1+15x+103x+2 < ε <br />4x²+15x+113x+2 < ε <br />4x+11(x+1)3x+2 < ε <br />x+14x+113x+2 < ε <br /> <br />Acotando la función:4x+113x+2 y para esto calculamos δ₁ = 12-1-23 = 56 <br />3x+2 ≥ 0<br />13x+2 ≤ 0<br />x+14x+113x+2 ≤ 0<br />x+1 ≤ 0<br />δ₂ =0<br />El cual se elige δ = min. 56 ;0<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min { 56 ;0} se tiene: si 0<|x+1 |<ε<br />∴limx→-14x²+13x+2 = -5<br />limx→3sgn(x2-1)x+4=15<br />limx→3sgn(x2-1)x+4=15 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-3|<δ ⇒ |sgnx2-1x+4- 15|<ε<br />1X+4-15<ε <br />,X-37(X+4)<ε<br />17X-31(X+4)<ε ………………………………..(1)<br />Acotando la función 1(X+4) y para esto calculamos δ1=12=121<br />X-3<12<br />- 12<x-3<12<br />215<1(X+4)<213<br />1(X+4)<213………………………(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />17X-31(X+4)<X-317213<ε<br />El cual se elige δ=min12,91ε2 <br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {12,91ε2 } se tiene: si 0<|x-3 |<ε<br />∴limx→3sgn(x2-1)x+4=15<br />limx→4x³-15x-4x-3 =0<br />limx→4x³-15x-4x-3 =0 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-4|<δ ⇒ |x³-15x-4x-3-0|<ε<br />x³-15x-4x-3 <ε<br />x-4x²+4x+11x-3<ε<br />Acotando la función 1x-3 y para esto calculamos δ₁=½4-3=½<br />x-4<½<br />-½<x-4<½<br />7/2<x<9/2<br />1/2<x-3<3/2<br />23<1x-3<2<br />1x-3< 2…………..(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />x-4x²+4x+12<ε<br />x-4<εx2+4x+12<br />δ₂= εx2+4x+12<br /> <br />Luego se elige δmin= {½, εx2+4x+12}<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {½, εx2+4x+12 } se tiene: si 0<|x-4 |<ε<br />∴limx→4x³-15x-4x-3 =0<br />limx→2x+x3+x-x² = 1<br />limx→2x+x3+x-x² = 1 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x-2|<δ ⇒ |x+x3+x-x2- 1|<ε<br />|1+x3+x-x² - 1|<ε<br />|1+x-3-x+x²x²-x-3|<ε<br />|x²-2x²-x-2-1|<ε<br />|x-2(x+2)x-2x+1-1|<ε<br />|1x-2(x+1)||x-2||x+2|<ε……..(1)<br />Acotando la función |1x-2(x+1)| y para esto calculamos δ=½|2-2|= 2-22<br />|x-2|<2-22<br />- 2-22< x-2 <2-22<br />2+22<x<32-22<br />2-22<x-2<32-62…….(a)<br />2+42<x-2<322……….(b)<br />(a) *(b)<br />22-64<(x-2)(x+1)<18(1-2)4<br />22-104<( x-2)(x+1) - 1<181-2-44<br />22-104> 1( x-2)(x+1) – 1 >181-2-44<br />|1( x-2)(x+1) – 1 |<181-2-44…….(2)<br />Reemplazando (2) en (1):<br />|181-2-44||x-2||x+2|<ε……..(1)<br />|x-2||x+2|<4ε181-2-4<br />δ= 4ε[181-2-4](x+2)<br />δmin={ 2-22 , 4ε[181-2-4](x+2)}<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {2-22 , 4ε[181-2-4](x+2) } se tiene: si 0<|x-2 |<ε<br />∴limx→2x+x3+x-x² = 1<br />limx→-22+x+x²2x+5 = 4<br />limx→-22+x+x²2x+5 = 4 ⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+2|<δ ⇒ |2+x+x²2x+5- 4|<ε<br />x²+x+22x+5-4 < ε <br />x²-7x-182x+5 < ε <br />x-9x+22x+5 < ε <br />x-9x+212x+5<ε<br /> <br />Acotando la función 12x+5 y para esto calculamos δ₁= ½|-2+5/2|=1/4<br />|x+2|<1/4<br />-1/4<x+2<1/4<br />-9/2<x<-7/2<br />-9<2x<-7<br />-4<2x+5<-2<br />-12<12x+5<- 14<br />12x+5<12<br />Reemplazando (2) en (1):<br />x-9x+212<ε<br />,x+2<2εx-9<br />δ₂= 2εx-9<br />luego se elige δmin= {14, 2εx-9}<br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {14, 2εx-9 } se tiene: si 0<|x+2 |<ε<br />∴limx→-22+x+x²2x+5 = 4<br />limx→-3-4x-3x+2=-3<br />limx→-3-4x-3x+2=-3⇔∀ ε>0, ∃ δ=? /, Si 0<|x+3|<δ ⇒ |-4x-3x+2+3|<ε<br />-4X-3X+2+3<ε <br />(-4X-3+3X+6)(-4X-3-3X+6)X+2(-4X-3-3X+6)<ε <br />9X+13(X+3)(X+2)(-4X-3-3X+6)<ε <br />9x+13x+31(X+2)(-4X-3-3X+6)<ε<br />Acotando la función 1(X+2)(-4X-3-3X+6)y para esto calculamos δ1=12<br />X+3<12<br />- 12<x+3 < 12<br /> - 72<x< - 52<br />- 32<x+2< - 12<br />- 23>1x+2>- 21<br />- 2<1x+2<- 23<br />1x+2<23<br />9X+13x+2(-4X-3-3X+6)< 29X+133(-4X-3-3X+6)……………………………………..(2)<br />Reemplazando (2) en (1) :<br />9X+13(X+3)(X+2)(-4X-3-3X+6)<2X+39X+133(-4X-3-3X+6)<ε<br />X+3<3(-4X-3-3X+6)ε29X+13<br />Luego se elige δ=min12, 3(-4X-3-3X+6)ε29X+13 <br />Por lo tanto dado ε>0,∃ δ=min {12, 3(-4X-3-3X+6)ε29X+13} se tiene: si 0<|x+3 |<ε<br />∴limx→-3-4x-3x+2=-3<br />

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